滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊章節(jié)整合提升試題及答案（全冊）

最新滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊16章

專訓(xùn)1.巧用二次根式的有關(guān)概念求字母或代數(shù)式的值

名師點(diǎn)金：

本章涉及的概念有二次根式、最簡二次根式及被開方數(shù)相同的最簡二次根式

等，理解二次根式的定義要明確：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；最簡二次根式的特征：一

是被開方數(shù)中不含分母；二是被開方數(shù)中所有因數(shù)(或因式)的幕的指數(shù)都小于

2;被開方數(shù)相同的最簡二次根式要確保在最簡二次根式這一前提下看其被開方

數(shù)是否相同.

:創(chuàng)旅急醫(yī)工利用二次根式的定義判斷二次根式

1.下列式子不一定是二次根式的是()

A.y[3^B.^/X2+1

C.AJ—3X(XW0)X2+8X—16

冽粽食廢圭利用二次根式有意義的條件求字母的范圍

2.無論x取何實數(shù)，代數(shù)式Nx2—4x+m都有意義,化簡式子N(m—3)2+

7(4-m)2.

冽娓喙度3利用最簡二次根式的定義識別最簡二次根式

3.下列二次根式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？不是最簡二次根式

的請說明理由.

[412—4()2,弋8—x2,^22,-^x2—4x+4(x>2),—r\j2x>qo.75ab,A/aP(b>0,

Qylx

a>0),^/9x2+16y2,yj(a+b)2(a—b)(a>b>0),

y3-

4.把下列各式化成最簡二次根式.

(1)7^25;(2)、4a3b+8a2b(a20,b20)；

:明傣逸度4利用被開方數(shù)相同的最簡二次根式的條件求字母的值

5.如果最簡根式b―強(qiáng)和底W二是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，那

么（）

A.a=0,b=2B.a=2,b=0

C.a=-1,b=lD.a=l,b=—2

6.若最簡二次根式）5a+b和^2a—b能合并,則代數(shù)式一|^+（3a+2b＞的值

為.

7.如果最簡二次根式：3a—8與伺17—2a在二次根式加減運(yùn)算中可以合并,

求使，4a—2x有意義的x的取值范圍.

8.若m,n均為有理數(shù)，且小+也十=m+n小，求(m—n)2+2n的

值.

專訓(xùn)2.全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用

名師點(diǎn)金:

本章內(nèi)容在中考中主要考查二次根式及其性質(zhì)，二次根式的計算與化簡，多

以填空題'選擇題或計算題的形式出現(xiàn)，有時也與其他知識結(jié)合在一起綜合考查,

二次根式的內(nèi)容是中考熱點(diǎn)之一.其主要考點(diǎn)可概括為：二個概念四個性質(zhì)一

一個運(yùn)算一兩個技巧.

澧忌上二個概念

概念1：二次根式

1.下列各式一定是二次根式的是（）

A.yfaB.^/X3+1

C.^/l-x2D.-\jx2+1

2.己知x,y為實數(shù)，且滿足W+x—(y—Rl—y=0,那么x?。館―y2017

的值是多少？

概念2：最簡二次根式

3.二次根式4、同，而1,弧，,，（其中a,b均大于或等于0）中，

是最簡二次根式的有（）

A.4個8.3個C.2個￡>.1個

:潴;嘉妻四個性質(zhì)

性質(zhì)1：（6）2=a（a》0）

4.下列計算正確的是（）

A.一（由）2=-7B.辟？=25

仁（啊2=±9D—流）=卷

5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4—9=.

6.要使等式（勺8—x）2=x—8,則x=.

性質(zhì)2：=a（a20）

7.若實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖，則化簡-a2-4ab+4b2+|a+b|的結(jié)

果為.

~ba0?

（第7題）

8.已知三角形的兩邊長分別為3和5,第三邊長為c,化簡：#2-4?+4—

^^c2—4c+16.

9.甲、乙兩位同學(xué)做一道相同的題目:

化簡求值：2,其中a=1.

甲同學(xué)的解法是：

乙同學(xué)的解法是：

原式W+儕刁M+a—*a=g.

請問哪位同學(xué)的解法正確？請說明理由.

性質(zhì)3：積的算術(shù)平方根

10.化簡舊的結(jié)果是（）

A.4mB.2y[6C.6巾D.84

11.能使得N（3—a）~（a+l）=43—a-^/a+l成立的所有整數(shù)a的和是

性質(zhì)4：商的算術(shù)平方根

12.化簡下列二次根式:

121b5

（2>-^T（aV0,b>0）.

;考點(diǎn)3：一個運(yùn)算—二次根式的運(yùn)算

13.計算：

（1）（3仍+4）X（亞一472）；

（2）（小+加一也）X（小一加一地）;

4

考點(diǎn)?兩個技巧

技巧1：比較大小

14.比較4201772016與寸2016—72015的大小.

技巧2：整體代入求值

15.已知*=啦一1,y—y[2+l,求的值.

16.已知x+y=-8,xy=8,求T1+x、》的值?

17.已知a—b=45+4Lb~c=y[3-y[2,求2(a2+b2+c2—ab—bc—ac^T

值.

答案

專訓(xùn)1

1.D點(diǎn)撥：勺3a2、lx?+1、1―3x(xW0)是二次根式,x?+8x—16可

化為(x—4)2,只有當(dāng)x=4時，才是二次根式，故x2+8x—16不一定

是二次根式.

2.解：^/x2—4x+m=y](x-2)2+m—4,

且無論x取何實數(shù)，代數(shù)式52—4x+m都有意義,

，m—420,Am^4.

當(dāng)m24時，yj(m—3)2+^/(4—m)2=(m—3)+(m—4)=2m—7.

3.解：y/8—x2,yf22,-\/9x2+16y2,3K是最簡二次根式.

,?1412-402(41-40)X(41+40)=兩=9,

42—4x+4=yj(x—2)2=x—2(x>2),

_/T—X而1r—

一xA42x—而.必——利2x,

[0.75ab=M().25X3abVaP=bVa(b>0,a>0),

xV3x

y/(a+b)2(a—b)=(a+b)^/a-b(a>b>0),

3=3，

402,^jx2—4x+4(x>2),—x‘一，q().75ab,^/ab^(b>0,a>0),

NX

yj(a+b)2(a—b)(a>b>0),］不是最簡二次根式.

6

(2)Y4a3b+8a2b=、4a2(ab+2b)=2a^/ab+2b(a^0,b20).

-

1n_A/-nA/nA/—n

(3)由一/20,mn>0知：mVO,nVO,；.、27m2

m-mm,

也_置_(5一屈2x—2M+y

(xWy).

Vx+Vy(^/x+-\/y)(甫一正)x-y

b-a=2,a=0>

5.A點(diǎn)撥:由題意得＜解得故選A.

.3b=2b—a+2,b=2.

6.1點(diǎn)撥：,最簡二次根式，5a+b和d2a—b能合并,.*.5a+b=2a—b,

；.3a+2b=0,.,.3a=—2b.

，一行+(3a+2b尸1+0=1.

7.解：由題意得3a—8=17—2a.

a=5.44a—2x="\/20—2x.

要使，4a—2x有意義,只需"\/20-2x有意義即可.

.?.20—2x20,Ax^lO.

8.解：,:小4+2小+2^=2V3=m+n^/3,

.7

??m—0>n=2,

(7Y74977

.".(m—n)2+2n=|^0—2j+2X]=]+7=].

專訓(xùn)2

1.D

2.解：由已知可得qi+x+(l—y[l—y=0「；1—y20,

...(l—y)，T三20,由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得l+x=0且1—y=0,，X=-1,y

=1,.?.x2016-y2()I7=0

3.C點(diǎn)撥：根據(jù)最簡二次根式的定義可知，只有4叵,這兩個二次

根式是最簡二次根式.故選C

4.A5.(X2+3)(X+V3)(X-V3)6.8

7.—3b點(diǎn)撥：因為b<a<0,所以a—2b>0,a+b<0,所以，a?—4ab+4b2+

|a+b|=^/(a—2b)2+|a+b|=(a-2b)—(a+b)=a—2b—a—b=-3b.

8.解：根據(jù)題意得2<c<8,

#2一代+4—16=yj(c—2)2—=c-2-

ID*-6

9.解：甲同學(xué)的解法是正確的，理由如下：

?.?*+a2_2=[(a-=卜a(且a$

即:=5,aa，???4a>0,

,ba卜>a.

乙同學(xué)在去絕對值時忽略了;與a的大小關(guān)系，導(dǎo)致錯誤.

d

10.B

3—a20,aW3,

11.5點(diǎn)撥：由題意，得解得《

a+120,.a2一1,

又是整數(shù)，，a可以取一1,0,1,2,3.

,它們的和是一1+0+1+2+3=5.

-解:⑴泥7F贊平?

1121b$dlZlb^blib2加

⑵市=_4a.

13.解：(1)(方法一：先將根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，再計算)原式=(蘆及5

+^32)X(^/27-^><2)=(^27+^32)X(727-732)=27-32=-5.

(方法二：先化簡，再計算)原式=(3小+46)X(3y/3-46)=(3小>

-(4/)2=27—32=—5.

⑵原式=[(小—啦)+加]義[(小—6)—&]=(小—啦>一(%)2=5一

2X小X6+2-6=1-2y[lb.

/4由#3/5ab5/2acf/15bc),r—35

(3)原式=x5AJVx〔一2弋〔+辰=一mXg

X2X義l,c=--^5X2X5X3abc+y[^c=-5[6abe+

[abc.

14解.1____________________________________

'嶺:201772016川2017r2016)X(^2017+^2016)

J2017+J2016,------?------

="(^2017P-(^2016~=^^+^6，

]____________________^2016+^/2015

42016—42015一川2016r2015)X(A/2016+^2015)

、2016+、2015

5=42016+42015,

'(42016)2-(12015)

而42017+^2016*2016+、2015,

?廣「「，l」L

,\2017-^/2016^2016-^/2015'

又^2017-A/2016>0,^2016-A/2015>0,

^201772016<42016—、2015.

點(diǎn)撥：一般地，已知a〉0,b>0,如果;>(，那么a<b；如果!那么a>b.

dDaD

15.解：因為x+y=(啦-1)+(啦+1)=2啦，xy=(啦一1)義(6+1)=1,

g、jXYx2+y2(x+y)2-2xy(2/)2-2

所以g+x=^7-==1=6.

點(diǎn)撥：若將x,y的值直接代入計算，則計算量較大，而且容易出錯.通過

觀察已知條件和欲求值的式子可以發(fā)現(xiàn)x+y,xy的值是一個常數(shù)，故將x+y,

xy作為一個整體代入求值.

16.解：*.*x+y=—8,xy=8,

(x+y)2—2xy.

xya=

(-8)2-2X8

X小=-12y/2.

8

17.解：a—b=y/5+yfi,b-c=/一y/29

/.(a—b)+(b—c)=(y[3+V2)"I"(^3~y[2),即a—c=2y[3.

2(a2+b2+c2—ab—be—ac)=(a2—2ab+b2)+(b2—2bc+c2)+(a2—2ac+c2)

=(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2=(^3+A/2)2+^y[2)2+(2V§)2=5+2#+5一

2冊+12=22.

9

最新滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊17章專訓(xùn)全章熱門考點(diǎn)整合

應(yīng)用

名師點(diǎn)金：

一元二次方程題的類型非常豐富，常見的有一元二次方程的根'一元二次方

程的解法'一元二次方程根的情況、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方

程的應(yīng)用等，只要我們掌握了不同類型題的解法特點(diǎn)，就可以使問題變得簡單，

明了.本章熱門考點(diǎn)可概括為：兩個概念，一個解法，兩個關(guān)系，一個應(yīng)用，三

種思想.

澧式1兩個概念

概念1：一元二次方程的定義

1.當(dāng)m取何值時，方程(m—l)xm2+l+2mx+3=0是關(guān)于x的一元二次方

程？

概念2：一元二次方程的根

2.(中考?蘭州)若一元二次方程ax2—bx—2015=0有一根為x=-1,則a

+b=.

3-.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一根為一1,且a=^/4—c+

I---4(a+b)2016,,..

#—4—2,求2oi5c的值.

送■點(diǎn)2一個解法一一元二次方程的解法

4.用配方法解方程x2—2x—l=o時，配方后所得的方程為()

A.(x+1)2=0B.(x-l)2=0

C.(x+1產(chǎn)=2D.(x-l)2=2

5.一元二次方程x2—2x—3=0的解是()

A.xi=-1，X2=3B.XI=1，X2=-3

C.xi=-1，X2=-3D.xi=l，X2=3

6.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(l)(x-l)2+2x(x-l)=0；

(2)x2—6x—6=0；

(3)6000(1-x)2=4860；

(4)(10+x)(50-x)=800；

(5)(中考?山西)(2X—1)2=X(3X+2)—7.

:考點(diǎn)3兩個關(guān)系

關(guān)系1：一元二次方程的根的判別法

7.(中考?河北)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實數(shù)根，則a的取值范

圍是()

A.a<lB.a>lC.aWlD.a?l

8.在等腰三角形ABC中，三邊長分別為a,b,c.其中a=5,若關(guān)于x的

方程x2+(b+2)x+(6-b)=0有兩個相等的實數(shù)根，求4ABC的周長.

關(guān)系2：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

9.已知a,0是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個不相等

的實數(shù)根，且滿足渭=—1,則m的值是()

A.3B.1

C.3或一1D.-3或1

10.(中考?南充)已知關(guān)于x的一元二次方程(x—l)(x—4)=p2,p為實數(shù).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)p為何值時，方程有整數(shù)解.(直接寫出三個，不需說明理由).

11.設(shè)X”X2是關(guān)于X的一元二次方程x2+2ax+a2+4a—2=0的兩個實數(shù)

根，當(dāng)a為何值時，X3+X22有最小值？最小值是多少？

11

:考點(diǎn)4一個應(yīng)用—一元二次方程的應(yīng)用

12.（中考?湖州）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)（養(yǎng)老機(jī)構(gòu)指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)

養(yǎng)老中心等）建設(shè)穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.

（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2013年底的2萬個增長到2015年底的2.88萬個，

求該市這兩年（從2013年底到2015年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年平均增長率；

（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房

間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個養(yǎng)老床位），雙人間（2個養(yǎng)

老床位），三人間（3個養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，單人間房間數(shù)在10至30之間（包

括10和30）,且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍，設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為

t.

①若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位200個，求t的值；

②求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？最少提供養(yǎng)老床位多少

個？

13.小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實驗：把一根長為40c機(jī)的鐵絲剪成兩段，并把

每一段各圍成一個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cM,小林該怎么剪？

（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48CH?”他的說

法對嗎？請說明理由.

:考點(diǎn)5三種思想

思想1：整體思想

14.已知x=a是2J?+X—2=0的一個根，求代數(shù)式2a4+a3+2/+2a+]

的值.

思想2：轉(zhuǎn)化思想

15.解方程:(2x+l)2-3(2r+l)=-2.

12

思想3：分類討論思想

16.已知關(guān)于x的方程/一(2化+1卜+4,—；)=0.

(1)求證：無論％取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根.

(2)若等腰三角形ABC的一邊長。=4,另兩邊的長江c恰好是這個方程的

兩個根，求△ABC的周長.

答案

專訓(xùn)

1.解：當(dāng)m2+l=2且m—1W0時，方程(m—l)xm2+1+2mx+3=0是關(guān)

于x的一元二次方程.

由0?+1=2,得n?=l,所以m=±l.

由m—1W0,得mWl,所以只能取m=-1.

所以當(dāng)m=—1時，方程(m—l)xm2+i+2mx+3=0是關(guān)于x的一元二次方

程.

點(diǎn)撥：要準(zhǔn)確理解一元二次方程的概念，需從次數(shù)和系數(shù)兩方面考慮.

2.2015點(diǎn)撥：把x=-l代入方程中得到a+b—2015=0,即a+b=2015.

3.解：2,，c—4》0且4—c20,即c=4,則a=

—2.又:一1是一1元二次方程ax2+bx+c=0的根，a—b+c=0,/.b=a+c—

,.“(-2+2)2°i6

??原式=，

-2+4=2.0ZmU1cDvz\4/I=0

4.D5A

6.解：(l)(x-l)2+2x(x-l)=0,

(x-l)(x-l+2x)=0,

(x-l)(3x-l)=0,

13

Xl=l,X23?

(2)x2—6x—6=0,

,?*3—1,b=-6,c=-6,

???b2-4ac=(-6)2-4XIX(-6)=60.

AX=6^60=3±VB)

，xi=3+正，X2=3-^B.

(3)6000(1-x)2=4860,

(l-x)2=0.81,

1一x=±0.9,

xi=1.9,X2=0.1.

(4)(10+x)(50-x)=800,

X2-40X+300=0,

xi=10,X2=3O.

(5)(2X-1)2=X(3X+2)-7,

4x2—4x+1=3x2+2x-7,

x2—6x+8=0,

xi=2,X2=4.

7.B

8.解：?.?關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+(6—b)=0有兩個相等的實數(shù)根，

.,.J=(b+2)2-4(6-b)=0,Abi=2,b2=—10(舍去).

當(dāng)a為腰長時，^ABC周長為5+5+2=12.

當(dāng)b為腰長時，2+2V5,不能構(gòu)成三角形.

.,.△ABC的周長為12.

9.A

10.(1)證明：化簡方程，得x2—5x+4—p2=0.

J=(-5)2-4(4-p2)=9+4p2.

為實數(shù)，則p220,，9+4p2>0.即/>0,

...方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：當(dāng)p為0,2,—2時，方程有整數(shù)解.(答案不唯一)

點(diǎn)撥：(1)先將一元二次方程化為一般形式，由題意得，一元二次方程根的

判別式b2-4ac=(-5)2-4X1X(4-p2)=9+4p2,易得,9+4p2>0,從而得證.(2)

一元二次方程的解為x=2誓至，若方程有整數(shù)解，則9+4p2必須是完全平

方數(shù)，故當(dāng)p=0、2、一2時，9+4p2分別對應(yīng)9、25、25,此時方程的解分別

為整數(shù).

11.解：；方程有兩個實數(shù)根，."=3)2—4包2+42—2)力0,.,總

又<*]+x2=12a,xiX2=a2+4a—2,

.*.XI2+X22=(XI+X2)2—2xiX2=2(a—2)2—4.

且2(a—2)220,???當(dāng)a=g時，的值最小.

222

此時X1+X2=2(1-2)-4=1,即最小值為;.

點(diǎn)撥：本題中考慮/20從而確定a的取值范圍這一過程易被忽略.

12.解：(1)設(shè)該市這兩年(從2013年底到2015年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年

平均增長率為x,由題意可列出方程：

2(1+X)2=2.88.

解得xi=0.2=20%,及=一2.2(不合題意，舍去).

答：該市這兩年擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年平均增長率為20%.

(2)①因為規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為f(10W/W30),則建造雙人間的房間數(shù)

為2t,三人間的房間數(shù)為100—3f,由題意得：，+4/+3(100—3/)=200.解得片

25.

答：f的值是25.

②設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個，

由題意得：y=r+4r+3(100-3r)=-4r+300(10^r^30),

?.?%=-4<0,.'y隨「的增大而減小.

當(dāng)，=10時，y有最大值為300—4X10=260,

當(dāng)f=30時，y有最小值為300-4X30=180.

答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個，最少提供養(yǎng)老床位180

個.

13.解：(1)設(shè)剪成的較短的一段為XC7H,則較長的一段為(40—X)C/W,由題

意，得餅2=58,解得xi=12,X2=28.當(dāng)x=12時，較長的一段為40

—12=28(c〃z),當(dāng)x=28時，較長的一段為40—28=12?〃)<28。加(舍去)....較

短的一段為12cm,較長的一段為28cm.

(2)小峰的說法正確.理由如下：設(shè)剪成的較短的一段為m?！眲t較長的一

段就為(40—m)cm,由題意得匕J+匕一J=48,變形為m2-40m+416=

15

0.=(-40)2—4X416=-64VO,.?.原方程無實數(shù)解，.?.小峰的說法正確，這

兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2.

14.解：?.^x=a是2x2+x—2=0的一個根，

2a2+a—2=0,即2a?+a=2.

原式=a2(2a2+a)+2a?+2a+1=2a2+2a2+2a+1=2(2a2+a)+1=5.

15.解：設(shè)2x+l=y,則原方程可變形為y2—3y=-2.

解得yi=Lyi=2.

當(dāng)y=l時，有2x+l=l,所以x=0；

當(dāng)y=2時，有2x+l=2,所以x=/.

所以原方程的解為Xl=0,X2=1.

點(diǎn)撥：利用換元法將復(fù)雜的一元二次方程轉(zhuǎn)化為簡單的一元二次方程來求

解.

16.(1)證明：△=[-(2R+l)F-4X4(k-，=4F-12A+9=(2Z-3)2.

?.?無論k取什么實數(shù)，均有(2k—3)220,

，無論k取什么實數(shù)，原方程總有實數(shù)根.

(2)解：?.'△ABC是等腰三角形，，有兩條邊長相等，若6=孰???>c是所

給方程的兩個根，

3

.,./=(2k—3)2=0,即k=N

此時方程為X2—4X+4=0,.\b=c=2.

又???a=4,.?.b+c=a,不符合三角形的三邊關(guān)系定理，

???不存在這種情況.

若b、c中有一值與a相等，不妨設(shè)b=a=4.

???b是所給方程的根，

42—4Q&+1)+41一；)=0.

.,.無此時方程為X?—6x+8=0,.*.b=4,c=2.

Va=b=4,c=2,符合三角形的三邊關(guān)系定理，

.'.△ABC的周長為a+b+c=4+4+2=10.

點(diǎn)撥：涉及等腰三角形的問題時，在沒有指明底或腰的情況下，要先分類討

論再求解，同時對所求得的解進(jìn)行檢驗，取舍，即所得的解還必須滿足三角形的

三邊關(guān)系定理，不滿足的解應(yīng)舍去.

最新滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊18章專訓(xùn)1.證垂直在解題中的

應(yīng)用

名師點(diǎn)金：

證垂直的方法：（1）在同一平面內(nèi)，垂直于兩條平行線中的一條直線；（2）等

腰三角形中“三線合一”；（3）勾股定理的逆定理：在幾何中，我們常常通過證

垂直，再利用垂直的性質(zhì)來解各相關(guān)問題.

.湊期L利用三邊的數(shù)量關(guān)系說明直角

1.如圖，在aABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10,BD=6,AD=

8,AC=17,求CD的長.

BDC（第1題）

.M2：利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形

2.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,AB=2,BC=下,CD=5,AD

=4,求S四邊形ABCD.

。（第2題）

送繳更利用倍長中線法構(gòu)造直角三角形

3.如圖，在aABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB=5,AD=6,AC=13,求

證：AB±AD.

A

（第3題）

黃墨&利用化分散為集中法構(gòu)造直角三角形

4.在AABC中，CA=CB,NACB=a,點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，將CP繞

點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a得到CD,連接AD.

(1)如圖①，當(dāng)a=60。，PA=10,PB=6,PC=8時，求NBPC的度數(shù)；

(2)如圖②,當(dāng)a=90。時,PA=3,PB=1,PC=2時，求NBPC的度數(shù).

婁里,利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形

5.如圖①，在aABC中，CA=CB,ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，M,

N分別為AC,BC上的點(diǎn)，且DMLDN.

(1)求證：CM+CN=A/2BD；

(2)如圖②，若M,N分別在AC,CB的延長線上，探究CM,CN,BD之

間的數(shù)量關(guān)系.

(第5題)

專訓(xùn)2.全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用

名師點(diǎn)金：

本章主要學(xué)習(xí)了勾股定理、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，勾股定理揭示了直

角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系.它把直角三角形的“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊長

的“數(shù)”的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的典范，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，也是今后

學(xué)習(xí)直角三角形的依據(jù)之一.本章的考點(diǎn)可概括為：兩個定理，兩個應(yīng)用.

考總工兩個定理

定理1:勾股定理

1.如圖，在心^ABC中，NC=90。，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，AD=BD.若AB

=8,BD=5,求CD的長.

CD-------、（第1題）

定理2：勾股定理的逆定理

2.在4ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長邊.當(dāng)a2+b2=c2

時，^ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b?Wc2時，利用代數(shù)式a?+b2和c2的大小關(guān)

系，可以判斷AABC的形狀(按角分類).

(1)請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)AABC三邊長分別為6,8,9時，4ABC

為_______三角形；當(dāng)AABC三邊長分別為6,8,11時，Z^ABC為

三角形.

(2)小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2>c2時，^ABC為銳

角三角形；當(dāng)a2+b2?2時，ZXABC為鈍角三角形.”請你根據(jù)小明的猜想完成

下面的問題：當(dāng)a=2,b=4時，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時，^ABC是銳角

三角形、直角三角形、鈍角三角形？

:考點(diǎn)2兩個應(yīng)用

應(yīng)用1：勾股定理的應(yīng)用

3.如圖，在公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處爆破.已知C與

公路上的停靠站A的距離為300m,與公路上的另一?？空綛的距離為400m,

且CA_LCB.為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑250m范圍內(nèi)(包括250加)不得有

人進(jìn)入.問：在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險？需要暫時封鎖嗎？

應(yīng)用2：勾股定理逆定理的應(yīng)用

4.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙

兩艘巡邏艇立即從相距5nmile的A,B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達(dá)

C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行40〃機(jī)詆，乙巡邏艇每小時航行30〃

mile,航向為北偏西37。，問：甲巡邏艇的航向？

，,北c

上A

「（第4題）

答案

專訓(xùn)1

1.解：VAD2+BD2=100=AB2,

...△ABD為直角三角形，且NADB=90。.

在心Z\ACD中，CD2+AD2=AC2,

CD=^AC2-AD2=^/172-82=15.

2.解：連接AC.在R/7XACB中，AB2+BC2=AC2,

，AC=3,/.AC2+AD2=CD2.

...△ACD為直角三角形，且NCAD=90。，

'?S四邊形ABCD=2X2X+/X3X4=6+"^^.

A

E

（第3題）

3.證明：如圖，延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接CE,BE.

???D為BC的中點(diǎn)，

，CD=BD.

又?.,AD=DE,ZADC=ZBDE,

/.△ADC^AEDB,

.,.BE=AC=13.

在AABE中，AE=2AD=12,

AAE2+AB2=122+52=169.

XVBE2=132=169,.,.AE24-AB2=BE2,

.'.△ABE是直角三角形，且NBAE=90。，即ABLAD.

點(diǎn)撥：本題運(yùn)用倍長中線法構(gòu)造全等三角形證明線段相等，再利用勾股定理

的逆定理證明三角形為直角三角形，從而說明兩條線段垂直.

4.解：（1）如圖①，連接DP,易知4DCP為等邊三角形，易證得

△CPB^ACDA,.?.NBPC=NADC,NCDP=60。，AD=6,DP=8,AAD2

+DP2=AP2,.\ZADP=90o,AZADC=150°,

.,.ZBPC=150°,

(2)如圖②，連接DP,易得ADCP為等腰直角三角形，易證得

△CPB^ACDA,.".ZBPC=ZADC,ZCDP=45°,AD=1,DP=/CD=2啦,

.,.AD2+DP2=AP2,.,.ZADP=90°,.，.ZADC=135°,

?,.ZBPC=135°.

5.(1)證明：如圖①，連接CD,VDM1DN,

.,.ZMDC+ZCDN=90°.

VZACB=90°,AC=CB,D為AB的中點(diǎn)，/.CD±AB,ZACD=ZBCD

=45°,，ZCDN+NNDB=90°.，ZMDC=ZNDB.

VCD1AB,NBCD=45°,

21

，CD=BD.在ACMD和aRND中，

VZMDC=ZNDB,ZMCD=ZNBD,CD=BD,

.,.△CMD^ABND,ACM=BN.ACM+CN=BN+CN=BC.

在7?/ACBD中，ZB=45°,NCDB=90。，，BC=V^BD.，CM+CN=V^BD.

⑵解:CN-

專訓(xùn)2

1.解：設(shè)CD=x,在RZ\ABC中,有AC2+(CD+BD)2=AB2,

整理，得AC2=AB2—(CD+BD)2=64—(x+5)2.①

在RtAADC中，有AC2+CD2=AD2,

整理，得AC2=AD2-CD?=25—x2.②

由①②兩式，得64—(X+5)2=25—X2,解得X=1.4,即CD的長是1.4.

點(diǎn)撥：勾股定理反映了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理列

方程思路清晰、直觀易懂.

2.解：⑴銳角;鈍角

(2)a2+b2=22+42=20,為最長邊，2+4=6,，4Wc<6.

①由a?由b?>c2,得/<20,0<c<2小，.,.當(dāng)4WcV2小時，這個三角形是

銳角三角形；

②由a2+b2=c2,得c2=20,c=2小，，當(dāng)c=2小時，這個三角形是直

角三角形；

③由a?+b2<c2,得c2>20,c>2小，.,.當(dāng)2小<c<6時，這個三角形是鈍角

三角形.

3.解：如圖，過點(diǎn)C作CD_LAB于點(diǎn)D.在放aABC中，因為BC?+AC2

=AB2,BC=400z/?,AC=300m,

所以AB2=4002+3002=5002,所以AB=500m.

22

BDA

(第3題)

ab

因為S/CZAABC=2-CD=^BC-AC,

所以500XCD=400X300,所以CD=240m.

因為240<250,所以公路AB段有危險，需要暫時封鎖.

4.解：AC=40X0.1=4(〃〃”/e),BC=30X0.1=3(/1znz/e).

因為AB=5〃〃“7e,所以AB2=BC2+AC2,所以NACB=90°.

因為NCBA=9(r-37o=53。，所以NCAB=37。，

所以甲巡邏艇的航向為北偏東53°.

最新滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊19章專訓(xùn)1.利用特殊四邊形的

性質(zhì)巧解折疊問題

23

名師點(diǎn)金：

四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照

要求完成相應(yīng)的計算和證明.折疊的本質(zhì)是圖形的軸對稱變換，折疊后的圖形與

原圖形全等.

姜空！平行四邊形的折疊問題

1.在DABCD中，AB=6,AD=8,NB是銳角，將4ACD沿對角線AC所

在直線折疊，點(diǎn)D落在AABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處.如果AE恰好經(jīng)過BC的

中點(diǎn)，那么口ABCD的面積是.

2.如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在

點(diǎn)E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點(diǎn).若AB=3,BC=6,求/B的度數(shù).

委矍Z矩形的折疊問題

3.(中考?衢州)如圖①，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的

點(diǎn)A，處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點(diǎn)A落在折痕DE上的點(diǎn)G處.再

將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處.如圖②.

(1)求證：EG=CH；

(2)已知AF=qi求AD和AB的長.

送集學(xué)菱形的折疊問題

4.如圖，在菱形ABCD中，NA=12（r,E是AD上的點(diǎn)，沿BE折疊aABE,

點(diǎn)A恰好落在BD上的F點(diǎn)，連接CF,那么NBFC的度數(shù)是（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

5.如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對角線交點(diǎn)O

處，折痕為EF.若菱形的邊長為2,ZA=120°,求EF的長.

（第5題）

l型4正方形的折疊問題

A

（第6題）

6.如圖，正方形紙片ABCD的邊長AB=12,E是DC上一點(diǎn)，CE=5,折

疊正方形紙片使點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，折痕為FG,則FG的長為.

7.（中考?德州）如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方

形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,點(diǎn)D重合）.將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P

處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP,BH.

（1）求證：ZAPB=ZBPH.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)

>G

（第7題）

專訓(xùn)2.利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點(diǎn)問題

名師點(diǎn)金：

利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點(diǎn)問題，一般將動點(diǎn)看成特殊點(diǎn)解決問題，再運(yùn)

25

用從特殊到一般的思想，將特殊點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn)(動點(diǎn))來解答.

沏泰通度芯平行四邊形中的動點(diǎn)問題

1.如圖，在口ABCD中，E,F兩點(diǎn)在對角線BD上運(yùn)動(E,F兩點(diǎn)不重合),

且保持BE=DF,連接AE,CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并對你的猜想加以證明.

AD

測卷簧度?二矩形中的動點(diǎn)問題

2.已知，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF

分別交AD,BC于點(diǎn)E,F,垂足為O.

(1)如圖①，連接AF,CE,試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

(2)如圖②，動點(diǎn)P,Q分別從A,C兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿4AFB和4CDE各

邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)P自A-F-B-A停止，點(diǎn)Q自C-D-E-C停止.在

運(yùn)動過程中，已知點(diǎn)P的速度為5c〃心，點(diǎn)Q的速度為4cm/s,運(yùn)動時間為ts,

當(dāng)以A,C,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求t的值.

則卷漉度3菱形中的動點(diǎn)問題

3.如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,動點(diǎn)E在邊BC上，動點(diǎn)F在邊

CD上.

⑴如圖①,若E是BC的中點(diǎn)，ZAEF=60°,求證：BE=DF；

(2)如圖②，若NEAF=60。，求證：4AEF是等邊三角形.

ADAD

BECBEC..

①②（第3題）

潮隆漉度上正方形中的動點(diǎn)問題

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8c加，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,

DA上的動點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點(diǎn)，并說明理由.

c（第4題）

專訓(xùn)3.特殊平行四邊形中的五種常見熱門題型

名師點(diǎn)金：

本章主要學(xué)習(xí)平行四邊形'菱形'矩形、正方形的性質(zhì)與判定的靈活應(yīng)用，

其中特殊平行四邊形中的折疊問題、動點(diǎn)問題'中點(diǎn)四邊形問題、圖形變換問題

是中考的熱門考點(diǎn).

Mi特殊平行四邊形中的折疊問題

1.如圖，將一張長為10c〃2,寬為8c機(jī)的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩

形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（圖③中的虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（）

A.10cm2B.20cm2

C.40cm2D.80cm2

2.（中考?泰安）如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將aABE沿直線

BE折疊后得到aGBE,延長BG交CD于點(diǎn)F,若AB=6,BC=4般,則FD的

長為（）

A.2B.4C.^/6D.2小

3.如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB,CB均落在對角線BD上，

得折痕BE,BF,則/EBF的大小為（）

A.15°B.30°C.45°

特殊平行四邊形中的動點(diǎn)問題

4.如圖，在RfZSABC中，ZB=90°,AC=60cm,NA=60°.點(diǎn)D從點(diǎn)C

出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB

方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也

隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)D,E運(yùn)動的時間是ts（0WtW15）.過點(diǎn)D作DFLBC于點(diǎn)

F,連接DE,EF.若四邊形AEFD為菱形，則t的值為（）

A.5B.10

C.15D.20

5.如圖，正方形ABCD的邊長為4,NDAC的平分線交DC于點(diǎn)E.若點(diǎn)P,

Q分別是AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是（）

A.2B.4C.2-J2D.4/

6題）

魄里3特殊平行四邊形中的中點(diǎn)四邊形問題

6.如圖，在四邊形ABCD中，AC=a,BD=b，且ACLBD,順次連接四

邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形AIBICID”再順次連接四邊形A1B1C1D1各

邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2c2D2,…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn.下列

結(jié)論正確的是（）

①四邊形A4B4c4D4是菱形；②四邊形A3B3c3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7

的周長為??；④四邊形AnBnCnDn的面積為*.

OZ

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②③④

7.（中考?廣安）如圖，已知E,F,G,H分別為菱形ABCD四邊的中點(diǎn),

AB=6cm,ZABC=60°,則四邊形EFGH的面積為.

（第7題）

（第8題）

邂要生特殊平行四邊形中的圖形變換問題

8.（中考?棗莊）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到

正方形ABiGDi,邊BiC與CD交于點(diǎn)0,則四邊形ABQD的面積是（）

3