高中數(shù)學(xué)講義100微專(zhuān)題043線(xiàn)性規(guī)劃

11-微專(zhuān)題43線(xiàn)性規(guī)劃——作圖與求解一、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)1、相關(guān)術(shù)語(yǔ)：（1）線(xiàn)性約束條件：關(guān)于變量的一次不等式（或方程）組（2）可行解：滿(mǎn)意線(xiàn)性約束條件的解（3）可行域：全部可行解組成的集合（4）目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于的函數(shù)解析式（5）最優(yōu)解：是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐標(biāo)系中作出可行域：（1）先作出圍成可行域的直線(xiàn)，利用“兩點(diǎn)唯一確定一條直線(xiàn)”可選取直線(xiàn)上的兩個(gè)特別點(diǎn)（比如坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），以便快速做出直線(xiàn)（2）如何推斷滿(mǎn)意不等式的區(qū)域位于直線(xiàn)的哪一側(cè)：一條曲線(xiàn)（或直線(xiàn)）將平面分成若干區(qū)域，則在同一區(qū)域的點(diǎn)，所滿(mǎn)意不等式的不等號(hào)方向相同，所以可用特別值法，利用特別點(diǎn)推斷其是否符合不等式，假如符合，則該特別點(diǎn)所在區(qū)域均符合該不等式，詳細(xì)來(lái)說(shuō)有以下三種狀況：①豎直線(xiàn)或水平線(xiàn)：可通過(guò)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)干脆進(jìn)行推斷②一般直線(xiàn)：可代入點(diǎn)進(jìn)行推斷，若符合不等式，則原點(diǎn)所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式，代入符合不等式，則所表示區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)的右下方③過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)：無(wú)法代入，可代入坐標(biāo)軸上的特別點(diǎn)予以解決，或者利用象限進(jìn)行推斷。例如：：直線(xiàn)穿過(guò)一、三象限，二、四象限分居直線(xiàn)兩側(cè)。考慮第四象限的點(diǎn)，所以必有，所以第四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)域之中。（3）在作可行域時(shí)要留意邊界是否能夠取到：對(duì)于約束條件（或）邊界不能取值時(shí)，在圖像中邊界用虛線(xiàn)表示；對(duì)于約束條件（或）邊界能取值時(shí)，在圖像中邊界用實(shí)線(xiàn)表示3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟（1）依據(jù)約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域所代表的區(qū)域（2）確定目標(biāo)函數(shù)在式子中的幾何意義，常見(jiàn)的幾何意義有：（設(shè)為常數(shù)）①線(xiàn)性表達(dá)式——與縱截距相關(guān)：例如，則有，從而的取值與動(dòng)直線(xiàn)的縱截距相關(guān)，要留意的符號(hào)，若，則的最大值與縱截距最大值相關(guān)；若，則的最大值與縱截距最小值相關(guān)。②分式——與斜率相關(guān)（分式）：例如：可理解為是可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率。③含平方和——與距離相關(guān)：例如：可理解為是可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方。（3）依據(jù)的意義找尋最優(yōu)解，以及的范圍（或最值）4、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)斜率與約束條件直線(xiàn)斜率符號(hào)相同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)斜率與約束條件直線(xiàn)斜率的大小會(huì)影響最優(yōu)解的選取。例如：若變量滿(mǎn)意約束條件，則的最大值等于_____作出可行域如圖所示，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，目標(biāo)函數(shù)的斜率，所以，所以在平移直線(xiàn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)的傾斜程度要介于兩直線(xiàn)之間，從而可得到在取得最優(yōu)解。但在作圖中假如沒(méi)有考慮斜率間的聯(lián)系，平移的直線(xiàn)比還要平，則會(huì)發(fā)覺(jué)最優(yōu)解在處取得，以及若平移的直線(xiàn)比還要陡，則會(huì)發(fā)覺(jué)最優(yōu)解在處取得，都會(huì)造成錯(cuò)誤。所以在處理目標(biāo)函數(shù)與約束條件的關(guān)系時(shí)，要視察斜率的大小，并確定直線(xiàn)間“陡峭”程度的不同。（1）在斜率符號(hào)相同的狀況下：越大，則直線(xiàn)越“陡”（2）在作圖和平移直線(xiàn)的過(guò)程中，圖像不必過(guò)于精確，但斜率符號(hào)相同的直線(xiàn)之間，陡峭程度要與斜率肯定值大小關(guān)系一樣，這樣才能保證最優(yōu)解選取的精確（3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線(xiàn)斜率相同時(shí)，有可能達(dá)到最值的最優(yōu)解有多數(shù)多個(gè)（位于可行域的邊界上）（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率含參時(shí)，涉及到最優(yōu)解選取的分類(lèi)探討，探討通常以約束條件中同符號(hào)的斜率作為分界點(diǎn)。二、典型例題：例1：若變量滿(mǎn)意約束條件，則的最小值等于（）A.B.C.D.思路：依據(jù)約束條件作出可行域，可得圖形為一個(gè)封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：，則的最小值即為動(dòng)直線(xiàn)縱截距的最大值。目標(biāo)函數(shù)的斜率大于約束條件的斜率，所以動(dòng)直線(xiàn)斜向上且更陡。通過(guò)平移可發(fā)覺(jué)在點(diǎn)處，縱截距最大。且解得，所以的最小值答案：A例2：設(shè)變量滿(mǎn)意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.思路：作出目標(biāo)函數(shù)的可行域，得到一個(gè)開(kāi)放的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)平移可得最優(yōu)解為，所以答案：B例3：若變量滿(mǎn)意，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：目標(biāo)函數(shù)可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以只需求出可行域里距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可，作出可行域，視察可得最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以答案：D例4：設(shè)變量滿(mǎn)意約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：所求可視為點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率。從而在可行域中找尋斜率的取值范圍即可，可得在處的斜率最小，即，在處的斜率最大，為，結(jié)合圖像可得的范圍為答案：D例5：若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意條件，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：設(shè)，則可先計(jì)算出的范圍，即可求出的最大值：，則最優(yōu)解為，所以，則答案：B例6：設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)滿(mǎn)意不等式組，則使取得最大值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A.1B.C.D.多數(shù)個(gè)思路：設(shè)，作出可行域，通過(guò)平移可發(fā)覺(jué)達(dá)到最大值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)與直線(xiàn)重合，所以有多數(shù)多個(gè)點(diǎn)均能使取得最大值答案：D例7：（2015，福建）變量滿(mǎn)意約束條件，若的最大值為，則實(shí)數(shù)等于（）A.B.C.D.思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等式，作出圖像，直線(xiàn)為繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線(xiàn)，從圖像可視察出可行域?yàn)橐粋€(gè)封閉三角形，目標(biāo)函數(shù)，若最大則動(dòng)直線(xiàn)的縱截距最小，可視察到為最優(yōu)解。，則有，解得：答案：C小煉有話(huà)說(shuō)：當(dāng)線(xiàn)性約束條件含參數(shù)時(shí)，一方面可先處理常系數(shù)不等式，作出可行域的大致范圍，找尋參數(shù)改變時(shí)，可行域的共同特征；另一方面對(duì)含參數(shù)的直線(xiàn)確定是否過(guò)定點(diǎn)，在改變中找尋區(qū)域的規(guī)律。找到共同的最優(yōu)解所滿(mǎn)意的方程，便可依據(jù)最值求出參數(shù)例8：在約束條件下，若目標(biāo)函數(shù)的最大值不超過(guò)4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先做出常系數(shù)直線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn)時(shí)留意到，斜率為常數(shù)1，且發(fā)覺(jué)圍成的區(qū)域恒為一個(gè)三角形。目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)圖像可得最優(yōu)解為，所以，則解得：答案：D例9：若變量滿(mǎn)意約束條件，若的最大值為4，則（）A.B.C.D.思路：如圖作出可行域，目標(biāo)函數(shù)為，由于確定直線(xiàn)的方向，且約束條件中的直線(xiàn)斜率有正有負(fù)。所以先考慮的符號(hào)：當(dāng)時(shí)，此時(shí)與的斜率進(jìn)行比較：若，則的最大值為0，不符題意；若，則最優(yōu)解為，代入解得與初始范圍沖突，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與斜率進(jìn)行比較：若，則最優(yōu)解為，代入解得，符合題意若，可得的最大值為2，不符題意，舍去若，則最優(yōu)解為，代入解得與初始范圍沖突，舍去綜上所述：答案：B小煉有話(huà)說(shuō)：（1）目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)陡峭程度不同，會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解不同，所以當(dāng)斜率含參時(shí)，可在約束條件中找尋斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率同號(hào)的直線(xiàn)，則這些直線(xiàn)的斜率通常是分類(lèi)探討的分界點(diǎn)。（2）本題也可分別假設(shè)可行域3個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，求出的值，再帶入驗(yàn)證。例10：設(shè)滿(mǎn)意約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：先做出可行域，目標(biāo)函數(shù)，由可得直線(xiàn)的斜率為負(fù)，所以由圖像可得最大值在處取得，即，所以答案：C小煉有話(huà)說(shuō)：本題推斷出斜率為負(fù)是解題的關(guān)鍵，從而能快速通過(guò)平移直線(xiàn)得到最優(yōu)解，而后與均值不等式結(jié)合求出最值三、歷年好題精選1、（2016，衡陽(yáng)聯(lián)考）假如實(shí)數(shù)滿(mǎn)意條件，則的最小值為，則正數(shù)的值為_(kāi)_________2、(2014，溫州中學(xué)三月考)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則的最小值是_________3、若點(diǎn)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的取值范圍是_________4、（2016，南昌二中四月考）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則的取值范圍是________5、設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)意,則的取值范圍為（）A.B.C.D.6、設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則為（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值7、設(shè)滿(mǎn)意約束條件：，則的最小值是（）A.B.C.D.8、（2016，湖南師大附中月考）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，設(shè)，則的最大值為（）A．1B．C．D．29、（2015，北京）若滿(mǎn)意，則的最大值為（）A.B.C.D.10、（2015，廣東）若變量滿(mǎn)意約束條件，則的最小值為（）A．B.C.D.11、（2015，新課標(biāo)I）若滿(mǎn)意約束條件，則的最大值為_(kāi)_______答案：312、（2015，新課標(biāo)II）若滿(mǎn)意約束條件，則的最大值為_(kāi)___13、（2015，山東）已知滿(mǎn)意約束條件，若的最大值為，則（）A.B.C.D.14、（2014，北京）若滿(mǎn)意約束條件，且的最小值為，則的值為（）A.B.C.D.習(xí)題答案：1、答案：1解析：依據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，可知時(shí)，即2、答案：解析：設(shè)，則有，則可知拋物線(xiàn)與不等式可行域有公共點(diǎn)，作出可行域，如圖可知當(dāng)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，此時(shí)取得最小值，聯(lián)立方程，所以判別式3、答案：解析：將代入可得：，作出可行域，可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方。結(jié)合圖像可知：到原點(diǎn)距離最大，即原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以4、答案：解析：，其中可視為與連線(xiàn)的斜率，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得：直線(xiàn)與在第一象限相切時(shí)，取得最大值，解得：，，而時(shí)，，所以5、答案：C解析：令，作出可行域，可知可視為連線(xiàn)的斜率，且為關(guān)于的增函數(shù)，所以6、答案：B解析：作出可行域（為開(kāi)放區(qū)域），再平移直線(xiàn)即可得到在處達(dá)到最小值，即，但沒(méi)有最大值7、答案：B解析：，則可視為可行域中的點(diǎn)與連線(xiàn)的斜率，作出可行域可得：，所以的最小值為38、答案：C解析：方法一：，其中為可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)斜率的倒數(shù)，作出可行域可知：，所以，從而可計(jì)算出方法二：由可得：，代入到不等式組可得：，作出可行域，所求為與連線(xiàn)的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得到最大值為9、答案：D解析：，作出可行域，可得最優(yōu)解為時(shí)，取得最大值10、答案：C解析：由可得：，數(shù)形結(jié)合可知經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最小值11、答案：3解析：作出可行域（如圖所示），所求分式，即可行域中點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜