人教版高中數學選修2-3課后習題解答

新逐怒行海教孽選僧2—3第一專得.石習題繇答

第一章計數原理

1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理

練習（P6）

1、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人完成工作”，不同的選法種數是5+4=9；

（2）要完成的“一件事情”是“從A村經8村到。村去”，不同路線條數是3X2=6.

2、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人參加活動”，不同的選法種數是3+5+4=12；

（2）要完成的“一件事情”是“從3個年級的學生中各選1人參加活動”，不同選法種

數是3X5X4=60.

3、因為要確定的是這名同學的專業(yè)選擇，并不要考慮學校的差異，

所以應當是6+4—1=9（種）可能的專業(yè)選擇.

練習（P10）

1、要完成的“一件事情”是“得到展開式的一項”.由于每一項都是。也q的形式，所以可

以分三步完成：第一步，取為，有3種方法；第二步，取鳥，有3種方法；第三步，取q,

有5種方法.根據分步乘法計數原理，展開式共有3X3X5=45（項）.

2、要完成的“一件事情”是“確定一個電話號碼的后四位”.分四步完成，每一步都是從

0?9這10個數字中取一個，共有10X10X10X10=10000（個）.

3、要完成的“一件事情”是“從5名同學中選出正、副組長各1名”.第一步選正組長，

有5種方法；第二步選副組長，有4種方法.共有選法5義4=20（種）.

4、要完成的“一件事情”是“從6個門中的一個進入并從另一個門出去”.分兩步完成：

先從6個門中選一個進入，再從其余5個門中選一個出去.共有進出方法6X5=30（種）.

習題1.1A組（P12）

1、“一件事情”是“買一臺某型號的電視機”.不同的選法有4+7=11（種）.

2、“一件事情”是“從甲地經乙地或經丙地到丁地去”.所以是“先分類，后分步”，不同

的路線共有2X3+4X2=14（條）.

3、對于第一問，“一件事情”是“構成一個分數”.由于1,5,9,13是奇數，4,8,12,

16是偶數，所以I,5,9,13中任意一個為分子，都可以與4,8,12,16中的任意一個構成

分數.因此可以分兩步來構成分數：第一步，選分子，有4種選法；第二步，選分母，也有4

種選法.共有不同的分數4X4=16（個）.

對于第二問，“一件事情”是“構成一個真分數”.分四類：分子為1時，分母可以從4,8,

12,16中任選一個，有4個；分子為5時，分母可以從8,12,16中選一個，有3個；分子

為9時，分母從12,16中選一個，有2個；分子為13時，分母只能選16,有1個.所以共有

真分數4+3+2+1=10（個）.

4、“一件事情”是“接通線路”.根據電路的有關知識，容易得到不同的接通線路有3+1

+2X2=8（條）.

5、（1）“一件事情”是“用坐標確定一個點”.由于橫、縱坐標可以相同，因此可以分兩步

完成：第一步，從A中選橫坐標，有6個選擇；第二步，從A中選縱坐標，也有6個選擇.所

以共有坐標6X6=36（個）.

（2）“一件事情”是“確定一條直線的方程”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、

斜率相同截距不同的直線都是互不相同的，因此可分兩步完成：第一步，取斜率，有4種取法;

第二步，取截距，有4種取法.所以共有直線4義4=16（條）.

習題1.1B組（P13）

1、“一件事情”是“組成一個四位數字號碼”.由于數字可以重復，最后一個只能在0?5

這六個數字中撥，所以有號碼10X10X10X6=6000(個).

2、(1)“一件事情”是“4名學生分別參加3個運動隊中的一個，每人限報一個，可以報同

一個運動隊”.應該是人選運動隊，所以不同報法種數是3，

(2)“一件事情”是“3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽”.應該是人選風景點，故

不同的選法種數是53.

1.2排列與組合

練習(P20)

1、(1)ab,ac,ad,ba,he,hd,ca,cb,cd,da,db,de；

(2)ah,ac,ad,ae,ba,be,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,de,de,ea,eb,ec,ed.

2、(1)《=15x14x13x12=32760；(2)A；=7!=5040；

(3)8-24=8x7x6x5—2x8x7=1568；(4)受=冷=5.

A2

2345678

2624120720504040320

履一8%+7&=8A；—8A；+得=礙

5、用=60(種).6、禺=24(種).

練習(P25)

1、(1)甲、乙,甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁;

(2)

冠軍甲乙甲丙甲乙丙乙丙

2TTT

亞軍乙甲丙甲丙乙乙丙

AABC甲TT「

/\ABD,AACD,A5CZ).

3、域=20(種).4、C：=6(個).

5、(1)。：="=15；(2)C；=8x7x6=56；

61x281x2x3

(3)=35-15=20；(4)3C；—2C；=3x56—2x10=148.

6"?+1cn,+,='"+1_______(〃+1)!_______="！=c”,

n+\，，+ln+\(/?2+l)![(?+l)-(m+l)]!機！(〃-〃?)！"

習題1.2A組(P27)

1、(1)5封+4&=5x60+4x12=348；(2)A：++&+A：=4+12+24+24=64.

2

2、(1)C：=455；(2)C￡=C蒜=1313400；(3)

（4）C3.C；2=C3c=5+?.

3、（I）孀-4=（〃+1）4-4=砒；=〃2端；

（2）（〃+1）！加_5+1）!--左+1）〃！

~k\（Jt-l）!~~k\~~k\*

4、由于4列火車各不相同，所以停放的方法與順序有關，有蜀=1680（種）不同的停法.

5、A：=24.

6、由于書架是單層的，所以問題相當于20個元素的全排列，有題種不同的排法.

7、可以分三步完成：第一步，安排4個音樂節(jié)目，共有國種排法；第二步，安排舞蹈節(jié)

目，共有A；種排法；第三步，安排曲藝節(jié)目，共有耳種排法.所以不同的排法有

A：.A，A；=288（種）.

8、由于〃個不同元素的全排列共有”!個，而〃!所以由〃個不同的數值可以以不同的

順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同.

為使每一行都不重復，機可以取的最大值是〃!.

9、（1）由于圓上的任意3點不共線，圓的弦的端點沒有順序，所以共可以畫Gj=45（條）

不同的弦；

（2）由于三角形的頂點沒有順序，所以可以畫的圓內接三角形有G%=120（個）.

10、（1）凸五邊形有5個頂點，任意2個頂點的連線段中，除凸五邊形的邊外都是對角線,

所以共有對角線-5=5（條）；

（2）同（1）的理由，可得對角線為第-"=若2（條）.說明：本題采用間接法更方便.

11、由于四張人民幣的面值都不相同，組成的面值與順序無關，所以可以分為四類面值，

分別由1張、2張、3張、4張人民幣組成，共有不同的面值C：+C：+C：+C：=15（種）.

12、（1）由“三個不共線的點確定一個平面”，所確定的平面與點的順序無關，所以共可確

定的平面數是=56；

（2）由于四面體由四個頂點唯一確定，而與四個點的順序無關，所以共可確定的四面體個

數是Gi=2io.

13、（1）由于選出的人沒有地位差異，所以是組合問題，不同的方法數是C：=10.

（2）由于禮物互不相同，與分送的順序有關系，所以是排列問題，不同方法數是￡=60；

（3）由于5個人中每個人都有3中選擇，而且選擇的時間對別人沒有影響，所以是一個''可

重復排列”問題，不同方法數是3,=243；

（4）由于只要取出元素，而不必考慮順序，所以可以分兩步取元素：第一步，從集合A中

取，有〃?種取法；第二步，從集合8中取，有〃種取法.所以共有取法〃皿種.

說明：第（3）題是“可重復排列”問題，但可以用分步乘法計數原理解決.

14、由于只要選出要做的題目即可，所以是組合問題，另外，可以分三步分別從第1,2,3

題中選題，不同的選法種數有C1C；C；=24.

15、由于選出的人的地位沒有差異，所以是組合問題.

（1）C；=60；

（2）其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C；=21（種）選法；

（3）用間接法，在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內的去掉，就得到符合條

件的選法數為C；-C；=91；

如果采用直接法，則可分為3類：只含男甲；只含女乙；同時含男甲女乙，得到符合條件

的方法數為C+《+C；=91；

（4）用間接法，在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選

法總數為C；-C；-C：=120.

也可以用直接法，分別按照含男生1,2,3人分類，得到符合條件的選法數為

C；C；+C；C：+C：C：=120.

16、按照去的人數分類，去的人數分別為1,2,3,4,5,6,而去的人大家沒有地位差異,

所以不同的去法有C；+C；+C：+C；+C：+C：=63（種）.

17、（1）C,g8=1274196；（2）Cj-C,t8=124234110；（3）C*=2410141734；

（4）解法1：G\=C；y3=125508306.解法2：-C,g8=125508306.

說明：解答本題時，要注意區(qū)分“恰有”“至少有”等詞.

習題1.2B組（P28）

1、容易知道，在Cl注彩票中可以有一個一等獎.

在解決第2問時，可分別計算37選6及37選8中的一等獎的中獎機會，它們分別是

---=--------和---=---------

/2324784C；?38608020

1

要將一等獎的機會提高到一--以上且不超過

6000000500000

即500000<C；7<6000000,

用計算機可得，〃=6,或〃=31.

所以可在37個數中取6個或31個.

2、可以按照I,II,III,IV的順序分別著色：分別有5,4,3,3種方法，所以著色種數有

5X4X3X3=180(種).

3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，從1,3,5,7,9中取3個數，有C；種取

法；第二步，從2,4,6,8中取2個數，有種取法；第三步，將取出的5個數全排列，有

川種排法.共有符合條件的五位數C，C：?6=7200(個).

4、由于甲和乙都沒有得冠軍，所以冠軍是其余3人中的一個，有A：種可能；乙不是最差的，

所以是第2,3,4名中的一種有A；種可能；上述位置確定后，甲連同其他2人可任意排列，

有A:種排法.所以名次排列的可能情況的種數是A；??國=54.

5、等式兩邊都是兩個數相乘，可以想到分步乘法計數原理，于是可得如下分步取組合的方

法.

在〃個人中選擇加個人搞衛(wèi)生工作，其中女個人擦窗，，”-左個人拖地，共有多少種不同的

選取人員的方法？

解法1：利用分步計數原理，先從〃個人中選加個人，然后從選出的加個人中再選出上個人

擦窗，剩余的人拖地，這樣有c："C種不同的選取人員的方法；

解法2：直接從〃個人中選女個人擦窗，然后在剩下的《個人中選機-女個人拖地，這樣,

由分步計數原理得，共有cact/種不同的人員選擇方法.

所以，;&成立.

說明：經常引導學生從一個排列組合的運算結果或等式出發(fā)，構造一個實際問題加以解釋,

有助于學生對問題的深入理解，檢查結果，糾正錯誤.

1.3二項式定理

練習(P31)

1、p1+7p6q+21p，2+35p%3+35p3q4+2lp2q5+7pq"+".

42

2、T3=Cg(2a)-(3b)=2160aV.

3、心=￡；(瓶)"，(-志)，=空0號.

4、D.理由是Qi=。拉也“_1)5=一％》5.

練習(P35)

n〃一1

1、(i)當〃是偶數時，最大值C，；當〃是奇數時，最大值cj.

(2)C：|+G；++C,1,1=1-2"=1024.(3)

2、:C：+C；+C；++C/++C；；=2",

2、:C：：+C；+C：++C++C"=2",

.Y+C：+C；++C：++C：

；.C；+C：++C：=5=2"T.3、略.

習題1.3A組(P36)

i,(1)c：：P"+c；pi(i-P)+c；p-2(i-py++c：pr(i-py++c"(i-py；

,、2n

(2)-c^°+-c!'L+^cL++jc.

2"2"2"2"

2、(1)(?+V^)9=?9+9a8+36?7+84rz6/7+126a5b^b+126a4+84a3b2+

2I-7221-35--------

(2)(--^)7=—x2--x5+—x2-—%2+70%2-168%2+224x2-128x2.

2?1283282

3、(1)(1+Vx)5+(1-Vx)5=2+20x+10x2；

_L」1_1

(2)(2"+3-)4-(2--3-)4=192x+432戶.

4、(1)前4項分別是1,—30x,420/,-3640%3；

(2)7；=-2099520a9/714；(3)7；=924；

(4)展開式的中間兩項分別為(，T9,其中

5、(1)含二的項是第6項，它的系數是C*(—Ly=—

x28

(2)常數項是第6項，(=。於2叱5(_$5=—252.

6、⑴酊=。；,廿-,(_%=(—1)匕,廿2

X

6、(1)乙=6“-一(_與=(_1)匕,廿2

X

由2〃-2r=0得r=〃，即(工-，))"的展開式中常數項是

x

(2)(l+x)2"的展開式共有2〃+1項，所以中間一項是

7、略.

8、展開式的第4項與第8項的二項式系數分別是C：與C〉

由C；=C：7,得3=〃_7,即〃=10.

所以，這兩個二項式系數分別是與C1,即120.

習題1.3B組(P37)

wn222

1、(1),/(?+1)"-1=?+C'?n-'+C；tn"-++C"~n+C^'n+\-\

+1能被/整除；

(2)V9910-1=(100-I)10-1

991°—1能被1000整除.

2、由(2—1)“=C>2"—C；?2""+Q.232++(_i)"T.c：i.2+(—1)“C；；,

得2"-C'?-+C；-2n_2++2+(-1)"=1.

第一專裒習參老題A組(P40)

1、(1)/；

說明：這里的“一件事情”是“得到展開式中的一項”.由于項的形式是《斗,而I,/都有〃

種取法.

(2)C^-Cl=525；

(3)A：.父=480,或&?《=480；

說明：第一種方法是先考慮有限制的這名歌手的出場位置，第二種方法是先考慮有限制的

兩個位置.

⑷C；;

說明：因為足球票無座，所以與順序無關，是組合問題.

(5)35；

說明：對于每一名同學來說，有3種講座選擇，而且允許5名同學聽同一個講座，因此是

一個“有重復排列”問題，可以用分步乘法原理解答.

(6)54；

說明：對角線的條數等于連接正十二邊形中任意兩個頂點的線段的條數G：，減去其中的正

十二邊形的邊12條：G$T2="F—12=54.

(7)第〃+1項.

說明：展開式共有2〃+1項，且各系數與相應的二項式系數相同.

2、⑴4+4+《+4+反+父=1956；

說明：只要數字是1,2,3,4,5,6中的，而且數字是不重復的一位數、二位數、三位數、

四位數、五位數和六位數都符合要求.

(2)2&=240.

說明：只有首位數是6和5的六位數才符合要求.

3、(1)C：=56；(2)C；+C；+C；+C；=30.

4、C；+C：=98.

說明：所請的人的地位沒有差異，所以是組合問題.按照“其中兩位同學是否都請”為標準

分為兩類.

5、(1)說明：任意兩條直線都有交點，而且交點各不相同.

2

(2)戲=見曰.說明：任意兩個平面都有一條交線，而且交線互不相同.

2

6、⑴Cg7=64446024；(2)C1-C^=442320；(3)C；+C；=446976.

7、■?蜀?禺=103680.

說明：由于不同類型的書不能分開，所以可以將它們看成一個整體，相當于是3個元素的

全排列.但同類書之間可以交換順序，所以可以分步對它們進行全排列.

8、(1)—26x~；

說明：第三項是含/的項，其系數是C：.32+C：.C；(-2x3)+C；(-2尸-26.

(2)7；+1=C；8(9x)i8T(—十)',由題意有

解得廠=12,5=18564；

(3)由題意得2C：=C：+C；°,即

化簡得〃2—37〃+322=0,解得“=14,〃=23；

(4)解法1：設是(l-x尸展開式的第r+1項，由題意知，所求展開式中/的系數為

%也與耳?的系數之和.

TY（r）4,3,鞏=此（-幻2,

因此,/的系數=Gi-G^+Gi=135.

解法2：原式=(1一/)(1一幻9

因此,丁的系數=C；+9=135.

9、55"+9=(56-1產+9

由于5655-C*56M++得-56+8中各項都能被8整除，因此55、5+9也能被8整除.

第一章裒習參老巡B組（P41）

1、（1）C：：：=C,3=21,即:（〃+1）?〃=21，解得〃=6；

（2）心心）=4x2x24=192；

說明：先排有特殊要求的，再排其他的.

（3）3x3x3x3=3。4x4x4=4%

說明：根據映射定義，只要集合A中任意一個元素在集合B中能夠找到唯一對應的元素,

2、（1）先從1,3,5中選1個數放在末位，有A；種情況；再從除0以外的4個數中選1

個數放在首位，有A：種情況；然后將剩余的數進行全排列，有禺種情況.所以能組成的六位

奇數個數為A；.41.4：=288.

（2）解法1：由0,1,2,3,4,5組成的所有沒有重復數字的正整數的個數是4?&,

其中不大于201345的正整數的個數，當首位數字是2時，只有201345這1個；當首位數字是

1時，有￡個.因此，所求的正整數的個數是-（1+6）=479.

解法2：由0,1,2,3,4,5組成的沒有重復數字的正整數中，大于201345的數

分為以下幾種情況：

前4位數字為2013,只有201354,個數為1；

同理，前3位數字為201,個數為4?國；前2位數字為20,個數為

首位數字為2,個數為首位數字為3,4,5中的一個，個數為A；.￡；

根據分類計數原理，所求的正整數的個數是1+A；?8+&-A；+A：?/+4?反=479.

3、（1）分別從兩組平行線中各取兩條平行線，便可構成一個平行四邊形，所以可以構成的

平行四邊形個數為mn（m一1）（〃一1）；

（2）分別從三組平行平面中各取兩個平行平面，便可構成一個平行六面體，所以可以構

成的平行六面體個數為?C：-Cf=-mnl(m-l)(n-1)(/-1).

8

4、(1)先排不能放在最后的那道工序，有A：種排法；再排其余的4道工序，有4種排法.

根據分步乘法計數原理，排列加工順序的方法共有96(種)；

(2)先排不能放在最前和最后的那兩道工序，有A；種排法；再排其余的3道工序，有A；

種排法，根據分步乘法計數原理，排列加工順序的方法共有A[A；=36(種).

5、解法1：由等比數列求和公式得(l+x)3+(l+x)4++(1+X)"+2=(1+X)M—(1+XJ,

X

上述等式右邊分子的兩個二項式中含/項的系數分別是C；+3，Cl，

因此它們的差C±3-C；="5+6"+"),就是所求展開式中含1項的系數.

6

解法2：原式中含一項的系數分別是C；,C；,…,Cl，因此它們的和就是所求展開式

中含/項的系數.與復習參考題B組第2題同理，可得

作2—3第二章彥君句題儒答

第二章隨機變量及其分布

2.1離散型隨機變量及其分布列

練習(P45)

1>(1)能用離散型隨機變量表示.可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

(2)能用離散型隨機變量表示.可能的取值為0,1,2,3,4,5.

(3)不能用離散型隨機變量表示.

說明：本題的目的是檢驗學生是否理解離散型隨機變量的含義.在(3)中，實際值與規(guī)定

值之差可能的取值是在0附近的實數，既不是有限個值，也不是可數個值.

2,可以舉的例子很多，這里給出幾個例子：

例1某公共汽車站一分鐘內等車的人數；

例2某城市一年內下雨的天數；

例3一位跳水運動員在比賽時所得的分數；

例4某人的手機在1天內接收到電話的次數.

說明：本題希望學生能觀察生活中的隨機現象，知道哪些量是隨機變量，哪些隨機變量又

是離散型隨機變量.

練習(P49)

1、設該運動員一次罰球得分為X,X是一個離散型隨機變量，其分布列為

01

0.30.7

說明：這是一個兩點分布的例子，投中看作試驗成功，沒投中看作試驗失敗.通過這樣的例

子可以使學生理解兩點分布是一個很常用的概率模型，實際中大量存在.雖然離散型隨機變量

的分布列可以用解析式的形式表示，但當分布列中的各個概率是以數值的形式給出時，通常用

列表的方式表示分布列更為方便.

2、拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，其全部可能的結果為｛正正，正反，反正，反反｝.正面

向上次數X是一個離散型隨機變量，

因此X的分布列為012

說明：這個離散型0.250.50.25隨機變量雖然簡單，但卻是幫助學生理解

隨機變量含義的一個很好的例子.試驗的全部可能的結果為

｛正正，正反，反正，反反｝,隨機量X的取值范圍為｛0,1,2),對應關系為

正正f2正反一1反正一1反反一0

在這個例子中，對應于1的試驗結果有兩個，即“正反”和“反正”，因此用隨機變量X不

能表示隨機事件｛正反｝.這說明對于一個具體的隨機變量而言，有時它不能表示所有的隨機事

件.

可以通過讓學生們分析下面的推理過程存在的問題，進一步鞏固古典概型的知識.如果把

X所有取值看成是全體基本事件，即。=｛0,1,2｝.

根據古典概型計算概率的公式有P(X=1)=P(｛1｝)=4.

這與解答的結果相矛盾.原因是這里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一個等

號不成立.詳細解釋下：雖然。中只含有3個基本事件，但是出現這3個基本事件不是等可能

的，因此不能用古典概型計算概率的公式來計算事件發(fā)生的概率.

3、設抽出的5張牌中包含A牌的張數為X,則X服從超幾何分布，其分布列為

P(X=i)=i=0,I,2,3,4.

G

因此抽出的5張牌中至少3張A的概率為

P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)?0.002.

說明：從52張牌任意取出5張，這5張牌中包含A的個數X是一個離散型隨機變量.把52

張牌看成是52件產品，把牌A看成次品，則X就成為從含有四件次品的52件產品中任意抽

取5件中的次品數，因此X服從超幾何分布.

本題的目的是讓學生熟悉超幾何分布模型，體會超幾何分布在不同問題背景下的表現形式.

當讓本題也可以用古典概型去解決，但不如直接用超幾何分布簡單.另外，在解題中分布列是

用解析式表達的，優(yōu)點是書寫簡單，一目了然.

4、兩點分布的例子：擲一枚質地均勻的硬幣出現正面的次數X服從兩點分布；射擊一次命

中目標的次數服從兩點分布.

超幾何分布的例子：假設某魚池中僅有鯉魚和鞋魚兩種魚，其中鯉魚200條，鞋魚40條，

從魚池中任意取出5條魚，這5條魚包含鞋魚的條數X服從超幾何分布.

說明：通過讓學生舉例子的方式，幫助學生理解這兩個概率模型.

習題2.1A組(P49)

1、(1)能用離散型隨機變量表示.

設能遇到的紅燈個數為X,它可能的取值為0,1,2,3,4,5.

事件｛X=0｝表示5個路口遇到的都不是紅燈；事件｛X=1｝表示5個路口其中有1個路

口遇到紅燈，其他4個路口都不是紅燈；事件｛X=2｝表示5個路口其中有2個路口遇到紅燈,

其他3個路口都不是紅燈；事件｛X=3｝表示5個路口其中有3個路口遇到紅燈，剩下2個路

口都不是紅燈；事件｛X=4｝表示5個路口其中有4個路口遇到紅燈，另外1個路口都不是紅

燈；事件｛X=5｝表示5個路口全部都遇到紅燈.

(2)能用離散型隨機變量表示.

1,成績不及格

2,成績及格

定義X=<3,成績中

4,成績良

5,成績優(yōu)

則X是一個離散型隨機變量，可能的取值為1,2,3,4,5.

事件｛X=1｝表示該同學取得的成績?yōu)椴患案?；事件｛X=2｝表示該同學取得的成績?yōu)榧?/p>

格；事件｛X=3｝表示該同學取得的成績?yōu)橹?；事件｛X=4｝表示該同學取得的成績?yōu)榱?；?/p>

件｛X=5｝表示該同學取得的成績?yōu)閮?yōu).

說明：本題是考查學生是否理解離散型隨機變量的含義.在(2)中，需要學生建立一個對

應關系，因為隨機變量的取值一定是實數，但這個對應關系不是唯一的，只要是從五個等級到

實數的意義映射即可.

2、某同學跑1km所用時間X不是一個離散型隨機變量.如果我們只關心該同學是否能夠

取得優(yōu)秀成績，可以定義如下的隨機變量：

它是離散型隨機變量，且僅取兩個值：0或L

事件｛丫=1｝表示該同學跑1km所用時間小于等于4min,能夠取得優(yōu)秀成績；事件｛7=0｝

表示該同學跑1km所用時間大于4min,不能夠取得優(yōu)秀成績.

說明：考查學生在一個隨機現象中能否根據關心的問題不同定義不同的隨機變量，以簡化

問題的解答.可以與教科書中電燈泡的壽命的例子對比，基本思想是一致的.

3,一般不能.比如擲一枚質地均勻的硬幣兩次，用隨機變量X表示出現正面的次數，則不

能用隨機變量X表示隨機事件｛第1次出現正面且第2次出現反面｝和｛第1次出現反面且第2

次出現正面｝.因為｛X=l｝=｛第1次出現正面且第2次出現反面｝U｛第1次出現反而且第2

次出現正面｝,所以這兩個事件不能分別用隨機變量X表示.

說明：一個隨機變量是與一個事件域相對應的，一個事件域一般是由部分事件組成，但要

滿足一定的條件.對離散型隨機變量，如果它取某個值是由幾個隨機變量組成，則這幾個隨機

事件就不能用隨機變量表示，比如從一批產品中依次取出幾個產品，用X表示取出的產品中

次品的個數，這時我們不能用X表示隨機事件｛第i次取出次品，其他均為合格品｝.

4、不正確，因為取所有值的概率和不等于1.

說明：考查學生對分布列的兩個條件的理解，每個概率不小于0,其和等于1,

即(1)/?,>0,i=l,2,,〃；

⑵之2=1.

i=l

5、射擊成績優(yōu)秀可以用事件｛X>8｝表示，因此射擊優(yōu)秀的概率為

P｛X28｝=尸(X=8)+P(X=9)+尸(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79

說明：本題知識點是用隨機變量表示隨機事件，并通過分布列計算隨機事件的概率.

6、用X表示該班被選中的人數，則X服從超幾何分布，其分布列為

尸(X=i)=K停z=0,1,2,3,4.

該班恰有2名同學被選到的概率為

4!26!

-----x------

C2c8理a0.312.

P(X=2)=學2!x2!8!xl8!

5o30!609

10!x20!

說明：本題與49頁練習的第3題類似,希望學生在不同背景下能看出超幾何分布模型.

習題2.1B組(P49)

1、(1)設隨機抽出的3篇課文中該同學能背誦的0123

篇數為X,則X是一個離散型隨機變量，它可能的

取值為0,1,2,3,且X服從超幾何分布，分布列

為

即

0123

(2)該同學能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率為

119

P(XN2)=P(X=2)+P(X=3)=-+-=一=0.667.

263

說明：本題是為了讓學生熟悉超幾何分布模型，并能用該模型解決實際問題.

2、用X表示所購買彩票上與選出的7個基本號碼相同的號碼的個數，則X服從超幾何分

布，其分布列為

P(X=i)=z=0,1,2,3,4,5,6,7.

至少中三等獎的概率為

Q7

P(XN5)=+=aO.OOl.

C；76C；C；692752

說明：與上題類似同樣是用超兒何分布解決實際問題，從此題的結算結果可以看出至少中

三等獎的概率近似為1/1000.

2.2二項分布及其應用

練習(P54)

1、設第I次抽到A的事件為8,第2次抽到A的事件為C,則第1次和第2次都抽到A

的事件為8C.

解法1：在第1次抽到A的條件下，撲克牌中僅剩下51張牌，其中有3張A,所以在第1

次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

3

P(C|B)=—.

解法2：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

「用=喘=焉4

解法3：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

4x3

小忸)=-=沔=』.

1P⑻4x5151

52x51

說明：解法1是利用縮小基本事件范圍的方法計算條件概率，即分析在第1次抽到A的條

件下第2次抽取一張牌的隨機試驗的所有可能結果，利用古典概型計算概率的公式直接得到結

果.解法2實際上是在原來的基本事件范圍內通過事件的計數來計算條件概率.第3種方法是

利用條件概率的定義來計算.這里可以讓學生體會從不同角度求解條件概率的特點.

2、設第1次抽出次品的時間為8,第2次抽出正品的事件為C,則第1次抽出次品且第2

次抽出正品的事件為8c.

解法1：在第1次抽出次品的條件下，剩下的99件產品中有4件次品，所以在第1次抽出

次品的條件下第2次抽出正品的概率為

Q5

P(CB)=—.

199

解法2：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

尸印)='=篝晦

解法3：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

5x95

一(8O_100x99-95

1—P(B)5x99~99-

100x99

說明：與上題類似，可以用不同方法計算條件概率.

3、例1箱中3張獎券中只有1張能中獎，現分別由3人無放回地任意抽取，在已知第一

個人抽到獎券的條件下，第二個人抽到獎券的概率或第三個人抽到獎券的概率，均為條件概率,

它們都是0.

例2某班有45名同學，其中20名男生，25名女生，依次從全班同學中任選兩名同學

代表班級參加知識競賽，在第1名同學是女生的條件下，第2名同學也是女生的概率.

說明：這樣的例子很多，學生舉例的過程可以幫助學生理解條件概率的含義.

練習(P55)

1、利用古典概型計算的公式，可以求得

P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,

P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25,

可以驗證

尸(AB)=P(A)P(3),尸(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).

所以根據事件相互獨立的定義，有事件A與5相互獨立，事件8與C相互獨立，事件A與C

相互獨立.

說明：本題中事件A與8相互獨立比較顯然，因為拋擲的兩枚硬幣之間是互不影響的.但

事件5與。相互獨立，事件A與C相互獨立不顯然，需要利用定義驗證，從該習題可以看出，

事件之間是否獨立有時根據實際含義就可做出判斷，但有時僅根據實際含義是不能判斷，需要

用獨立性的定義判斷.

2、(1)先摸出1個白球不放回的條件下，口袋中剩下3個球，其中僅有1個白球，所以在

先摸出1個白球不放回的條件下，再摸出1個白球的概率是1/3.

(2)先摸出1個白球后放回的條件下，口袋中仍然有4個球，其中有2個白球，所以在

先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是1/2.

說明：此題的目的是希望學生體會有放回摸球與無放回摸球的區(qū)別，在有放回摸球中第2

次摸到白球的概率不受第1次摸球結果的影響，而在無放回摸球中第2次摸到白球的概率受第

1次摸球結果的影響.

3、設在元旦期間甲地降雨的事件為A,乙地降雨的事件為3.

(1)甲、乙兩地都降雨的事件為所以甲、乙兩地都降雨的概率為

(2)甲、乙兩地都不降雨的事件為了萬，所以甲、乙兩地都不降雨的概率為

(3)其中至少一個地方降雨的事件為(AB)(AB)(而)，由于事件AB,A萬和M兩兩

互斥，根據概率加法公式和相互獨立事件的定義，其中至少一個地方降雨的概率為

P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.06+0.2x0.7+0.8x0.3=0.44.

說明：與例3類似，利用事件獨立性和概率的性質計算事件的概率，需要學生復習《數學3

(必修)》中學過的概率性質.

4、因為A=(A3)(AB),而事件AB與事件A豆互斥，

利用概率的性質得到P(A)=P(AB)+P(A初

所以P(AB)=P(A)-P(AB).

又因為事件A與B相互獨立.

故P(AB)=P(A)-P(A)P(5)=P(A)(1-P(5))=P(A)P(B).

由兩個事件相互獨立的定義知A與否相互獨立.

類似可證明久與8,可與否也都是相互獨立的.

說明：證明此題要求學生掌握概率的性質.此題的結論是十分有用的，也是比較好理解的，

比如事件A與8發(fā)生沒有關系，當然與B不發(fā)生也應該沒有關系.

5、例1同時擲甲、乙兩枚骰子，事件A表示甲骰子出現的是4點，事件3表示乙骰子出

現的是4點，則事件A與事件B相互獨立.

例2從裝有5個紅球3個白球的袋子中有放回地依次任意摸出兩個球，事件A表示第

1次摸到紅球，事件B表示第2次摸到白球，則事件4與事件B相互獨立.

說明：要求學生不但能判斷兩個事件是否相互獨立，而且能舉例說明什么樣的兩個事件是

相互獨立的，特別掌握在有放回抽樣中，兩次抽樣的結果是相互獨立的，這是二項分布的基礎.

練習(P58)

1、用A表示抽到的這件產品的為合格品，A,表示這件產品在第i道工序中質量合格，,?=1,

2,3,4,5.則A=A&A4&,

P(a)=0.96,尸(4)=0.99,P(4)=0.98,P(A4)=0.97,P(4)=0.96,

且A，4,4,4,4相互獨立.所以

P(A)=尸(A)P(&)P(4)P(4)P(4)=0.96X0.99X0.98x0.97x0.96?0.867.

說明：本題主要考查學生應用教科書56頁的公式(1)解決實際問題的能力.這里的難點是

如何把這件產品合格用各道工序的合格表達出來.實際上，各道工序都合格等價于產品合格，

因此事件“各道工序合格之交”就是產品合格.

2、將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數X服從二項分布，其分布列為

p(X=k)=C；(g)5,k=0,1,2,3,4,5.

用表格的形式表示如下：

012345

說明：本題是最基本的二項分布的例子.在寫分布列時，如果是用第一種方式表示，一定要

標出左的取值范圍.

3、用事件3表示僅第1次未擊中目標，事件A,表示該射手第i次射擊擊中目標，i=0,1,

2,3,4,則B=AA2A3A4,因為4次射擊可以看成4次獨立重復試驗，所以可以用56頁的公

式(1)計算8發(fā)生的概率：

P(B)=P(A)P(4)P(A)P(A)=(1-0.9)X0.9X0.9X0.9=0.0729.

說明：本題的關鍵是把4次射擊看成4次獨立重復試驗，然后利用56頁的公式(1)計算

概率.該題還可以修改成求4次射擊都沒有命中目標的概率，或者4次射擊至少擊中一次目標

的概率.

4、例1某同學投籃命中率為0.6,他在6次投籃中命中的次數X是一個隨機變量，X?

5(6,06).

例2在一次考試中有10道單選題，某同學一道題都不會，隨機地選擇答案，這10道

單選題中答對的個數X是一個隨機變量，X?5(10,0.25).

說明：希望學生不但能判斷一個隨機變量是否服從二項分布，而且能舉出二項分布的例子,

以加深對二項分布的理解.

習題2.2A組(P59)

1、因為3個燈泡是并聯，各燈泡是否能正常照明是彼此獨立的，不受其他燈泡的影響，所

以可以看成3次獨立重復試驗.設這段時間內能正常照明的燈泡個數為X,X服從二項分布.

這段時間內吊燈能照明表示3個燈泡至少有1個燈泡能正常照明，即X>0,則吊燈能照明的

概率為

P(X>0)=l-P(X=0)=l-(1-0.7)3=0.973.

說明：可以讓學生思考：如果這3