2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)一輪知識點復(fù)習(xí) 第22課時 相似三角形(含位似)（課件）

第22課時相似三角形(含位似)

考點精講1

重難點分層練2

內(nèi)蒙古中考真題及拓展3比例線段及性質(zhì)比例線段比例的性質(zhì)黃金分割平行線分段成比例相似三角形的性質(zhì)及判定概念性質(zhì)判定方法相似多邊形及其性質(zhì)概念性質(zhì)圖形的位似概念性質(zhì)相似三角形考點精講

【對接教材】北師：九上第四章P75～P123；

人教：九下第二十七章P23～P59.比例線段及性質(zhì)1.比例線段概念在四條線段a、b、c、d中，如果其中兩條線段的比_____另外兩條線段的比，即＝，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段1考點等于2.比例的性質(zhì)基本性質(zhì)＝?ad＝____(abcd≠0)合比性質(zhì)如果＝，那么＝______(b，d≠0)等比性質(zhì)＝＝…＝(b，d，…，n≠0)?＝____(b＋d＋…＋n≠0)bc3.黃金分割圖示圖1概念如圖1，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，且，那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比，即＝≈0.618，≈0.382【滿分技法】一條線段上有兩個黃金分割點4.平行線分線段成比例圖示圖2圖3圖4基本事實兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段成比例，如圖2，當(dāng)l3∥l4∥l5時，有，等推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例．如圖3，在△ADE和△ABC中，∵DE∥BC，∴，；如圖4,在△ADE和△ABC中,∵DE∥BC，∴針對訓(xùn)練1.如果2x＝3y(且xy≠0)，則下列比例式中正確的是(

)A.

B.C.

D.C2.如果

＝

＝

(b＋d≠0)，則

＝___．43.一個偌大的舞臺，當(dāng)主持人站在黃金分割點處時，不僅看起來美觀，而且音響效果也非常好，若舞臺的長度為10米，那么主持人到較近的一端應(yīng)為____米(精確到0.1米)．3.84.如圖，直線a∥b∥c，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，則EF的長為___．第4題圖65.如圖，已知D、E分別為AB、AC上的兩點，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，則AD的長為___．6.如圖，點D、E分別在△ABC的兩邊BA、CA的延長線上，DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，則BD＝___．第5題圖第6題圖46相似三角形的性質(zhì)與判定2考點概念如果兩個三角形的兩角對應(yīng)相等，或三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形性質(zhì)1.相似三角形的對應(yīng)角_____，對應(yīng)邊_______；2.相似三角形對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于_______；3.相似三角形的周長比等于_______，面積比等于_____________判定方法1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；2.三邊_______的兩個三角形相似；3.兩邊成比例且夾角_____的兩個三角形相似；4._____相等的兩個三角形相似相等成比例相似比相似比相似比的平方成比例相等兩角【滿分技法】相似三角形的判定思路：(1)有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角(2)有一對等角，找(3)有兩邊對應(yīng)成比例，找另一對等角該角的兩邊對應(yīng)成比例夾角相等第三邊也對應(yīng)成比例一對直角針對訓(xùn)練7.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，則DE∶BC＝_____，△ADE的周長與△ABC的周長之比為_____，△ADE的面積與△ABC的面積之比為_______．第7題圖2∶52∶54∶258.如圖，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，有以下四個條件，①∠B＝∠D，②∠C＝∠E，③，④，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一個條件即可，這個條件可能是________(填正確條件的序號)．第8題圖①②③相似多邊形及其性質(zhì)3考點概念兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別_____，邊_______，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做_______性質(zhì)1.相似多邊形對應(yīng)角_____，對應(yīng)邊_______；2.相似多邊形的周長比等于_______，面積比等于______________相等成比例相似比相等成比例相似比相似比的平方

針對訓(xùn)練第9題圖9.如圖，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面積比為4∶1，則AE∶ED的值為_____．3∶1圖形的位似4考點概念如圖，兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，其中對應(yīng)點連線的交點O叫做位似中心性質(zhì)1.兩個圖形是位似圖形，具有相似圖形的一切性質(zhì)；2.對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；3.對應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上；4.位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離的比等于位似比【滿分技法】位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形一定是相似圖形，相似圖形不一定是位似圖形.針對訓(xùn)練第10題圖10.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3，若AB＝4，則DE＝___.611.如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點B的坐標(biāo)為(2，4)，點E的坐標(biāo)為(－1，2)，則點P的坐標(biāo)為________.第11題圖(－2，0)第1題圖證明：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．1.已知：如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB、AC于點D、E.求證：

.【自主作答】證明：如解圖，過點E作EF∥AB，交BC于點F.F∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，

回歸教材

，

，∵DE＝BF，∴

，∴

.第1題圖F證明：三邊成比例的兩個三角形相似．2.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，

.求證：△ABC∽△A′B′C′.【自主作答】第2題圖證明：如解圖，在線段A′B′(或它的延長線)上截取A′D＝AB，過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點E，DE∴△A′DE∽△A′B′C′，∴

，又∵

，A′D＝AB，∴

，

，∴DE＝BC，A′E＝AC，∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.第2題圖DE重難點分層練模型一A字型模型分析正A字型斜A字型模型特點有一個公共角(∠A)模型展示DE∥BCDE與BC不平行正A字型斜A字型解題思路(1)由DE∥BC，直接得到兩個三角形相似；(2)尋找公共角的對應(yīng)邊成比例，如條件(1)尋找另一組對應(yīng)角相等，如條件∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B；(2)尋找公共角的對應(yīng)邊成比例，如條件結(jié)論△ADE∽△ABC△ADE∽△ACB第1題圖模型應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點D為BC邊上的一點，AD⊥AB，過點D作DE⊥AD，交AC于點E，若AB＝4，DE＝1，則△ABC的面積為____．第2題圖2.如圖，在△ABC中，AB＝5，D，E分別是邊AC和AB上的點，AD·BC＝

.(1)若∠AED＝∠C，則DE的長為___；(2)若∠AED＝∠B，則DE·AC的值為___．模型二8字型模型分析正8字型斜8字型模型特點有一組等角(對頂角∠AOB＝∠COD)模型展示AB∥CDAB與CD不平行正8字型斜8字型解題思路(1)由AB∥CD，直接得到兩個三角形相似；(2)尋找對頂角的對應(yīng)邊成比例，如條件(1)尋找另一組對應(yīng)角相等，如條件∠A＝∠C或∠B＝∠D；(2)尋找公共角的對應(yīng)邊成比例，如條件結(jié)論△AOB∽△DOC△AOB∽△COD模型應(yīng)用第3題圖3.如圖，線段AE、BD交于點C，連接AB、DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，則AB的長為____．4.如圖，在

ABCD中，點E是邊AD上一點，且AD＝3ED，EC交對角線BD于點F，則

等于___．第4題圖5.(2023阜新)如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則△ABC與△CDE的周長比為_____．第5題圖2∶1相似三角形的相關(guān)計算(包頭5考，呼和浩特7考，赤峰5考)內(nèi)蒙古中考真題及拓展命題點1.(2022赤峰12題3分)如圖，D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長是(

)

A.1B.2C.3D.4第1題圖C第2題圖2.(2023包頭17題3分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點M，過點M作MN⊥CB，垂足為N.若AC＝2，則MN的長為___．拓展訓(xùn)練第3題圖3.(2023臨沂)如圖，點A，B都在格點上，若BC＝

，則AC的長為(

)

A.B.C.D.B4.(2023百色)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°.∠ACB的平分線CD交AB于點D，則點D是線段AB的黃金分割點．若AC＝2，則BD＝______．第4題圖5.(2023煙臺)《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE

＝0.4米，那么CD為___米．第5題圖36.(2023黃岡)如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求證：△ABC∽△DEC；第6題圖(1)證明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的長．第6題圖(2)解：由(1)知△ABC∽△DEC，∵S△ABC：S△DEC＝4∶9，∴

，∴

.∵BC＝6，∴EC＝9.7.(2023廣元節(jié)選)如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AB邊上一點(含端點A、B)，過點B作BE垂直于射線CD，垂足為E，點F在射線CD上，且EF＝BE，連接AF、BF.(1)求證：△ABF∽△CBE；第7題圖(1)證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC