2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 二次函數(shù)與幾何綜合題 類型五 與角度有關(guān)的問題（課件）

二次函數(shù)與幾何綜合題類型五與角度有關(guān)的問題微技能一階例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)A在第一象

限，且AB⊥x軸于點(diǎn)B，若∠AOB＝30°，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為___________.例1題圖(1，

)例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)P為直線y＝1上一點(diǎn)，若∠APB＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

________________________________．例2題圖(，1)或(，1)例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，

(1)當(dāng)OC平分∠AOB時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____________；

(2)當(dāng)∠ACO＝∠AOB時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為____________；

(3)當(dāng)∠OCB＝2∠A時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________________．例3題圖(0，

)(2，)或(2，－)滿分技法1.若所求角度為90°，一般將其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性質(zhì)求解；2.若所求角度為非特殊角，可通過相關(guān)角的和差關(guān)系將所求角度轉(zhuǎn)化為特殊角，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求解；3.若探究角度之間的等量關(guān)系，?？紤]將角放在直角三角形中，通過解直角三角形求解．設(shè)問突破二階例4如圖，拋物線y＝－

x2＋

x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，拋物線頂點(diǎn)為M，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.一題多設(shè)問(1)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得∠CPB＝90°，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例4題圖①【思維教練】要使得∠CPB＝90°，根據(jù)等角的余角相等，從而過點(diǎn)C作ME的垂線，構(gòu)造相似三角形，列比例式并求解，或設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出線段長，利用勾股定理列等式求解．例4題解圖解：(1)存在．由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x＝3.A(－3，0)，B(9，0)，C(0，3)，如解圖，過點(diǎn)C作CT⊥ME于點(diǎn)T，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，e)，則CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3|，PE＝|e|，∵∠CPB＝90°，∴∠CPT＋∠EPB＝90°.∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，例4題解圖

∴∠EPB＝∠TCP.∵∠CTP＝∠PEB＝90°，∴△CTP∽△PEB，

∴即

，

當(dāng)e＜0或e＞3時，整理得e2－3e－18＝0，解得e1＝

，e2＝

當(dāng)0＜e＜3時，整理得e2－3e＋18＝0，方程無解，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)或(3，)；例4題解圖

(2)已知點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得∠PCB＝∠PBC，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】由∠PCB＝∠PBC可知，點(diǎn)P為線段BC的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，作線段BC的垂直平分線SL，利用待定系數(shù)法求出SL的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)存在．由(1)得，點(diǎn)B(9，0)，點(diǎn)C(0，3)，設(shè)BC的中點(diǎn)為S，∴BC的中點(diǎn)S的坐標(biāo)為(，)，如解圖，過點(diǎn)S作SL⊥BC，交x軸于點(diǎn)L，交拋物線于點(diǎn)P，連接AC，此時點(diǎn)P即為所求，∵OC＝3，OA＝3，OB＝9，∴AC＝6，BC＝6，則∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝

BC＝3，

∴＝6，

∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，則點(diǎn)L的坐標(biāo)為(3，0)，設(shè)直線SL的解析式為y＝kx＋t(k≠0)，例4題解圖將點(diǎn)L，S的坐標(biāo)代入，

得

解得∴直線SL的解析式為y＝

x－3，

聯(lián)立

解得

或綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，3)或(－9，－12)；例4題解圖(3)點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，連接MP，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，若∠MPQ＝2∠PME，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【思維教練】由點(diǎn)P的位置不確定，可分點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方和點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時，∠PME＝∠MPQ，不符合題設(shè)條件，排除，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時，由已知易得PQ∥ME，∠MPQ＋∠PME＝180°，進(jìn)行求解即可．例4題圖③(3)∵M(jìn)E∥y軸，PQ∥y軸，∴ME∥PQ.①如解圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方時，∠PME＝∠MPQ，此時不符合題設(shè)條件；②如解圖，設(shè)ME交BC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方時，∠PMF＋∠MPQ＝180°，∵∠MPQ＝2∠PMF，∴∠PMF＝60°.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的右側(cè)時，由(2)知，∠CBO＝30°，∴∠BFE＝60°，例4題解圖例4題解圖∴∠PMF＝∠BFE，∴MP∥FQ.易得直線BC的解析式為y＝－

x＋3，

∴設(shè)直線MP的解析式為y＝－

x＋p，

將x＝3代入拋物線方程，得M(3，4)，

將點(diǎn)M(3，4)代入，得－×3＋p＝4，解得p＝5，例4題解圖∴直線MP的解析式為y＝－

x＋5，

聯(lián)立

解得

，(舍去)

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，3)；③如解圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時，延長MP交x軸于點(diǎn)K，則∠MKE＝30°，∠KME＝60°，例4題解圖

∴KE＝

ME＝4×＝12，∴KO＝KE－OE＝9，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(－9，0)，易得直線MK的解析式為y＝

x＋3，∴直線MK與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)C和點(diǎn)M，即此時點(diǎn)P和點(diǎn)C、Q重合，∠MPQ不存在，∴舍去．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，3)；例4題解圖

(4)點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，連接BP，是否存在點(diǎn)P使得∠OBC＋∠OBP＝45°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思維教練】根據(jù)∠OBC＋∠OBP＝45°可知作線段BC的垂線，構(gòu)造等腰直角三角形可求出PD的長，再根據(jù)面積公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后根據(jù)對稱性可求得另外一點(diǎn)坐標(biāo)．例4題圖④例4題解圖(4)存在．如解圖，作PD⊥BC交BC于點(diǎn)D，設(shè)P(0，n)，由(2)可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9，0)，BC＝6，∴PB＝例4題解圖∵∠PBD＝45°，

∴PD＝

PB＝

∵S△BCP＝

BC·PD＝

OB·CP，

∴×6×＝×9×(3－n)，

化簡得n2－18n－81＝0，

解得n1＝9＋18(舍去)，n2＝9－18，∴P(0，9－18)；如解圖，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P1，則∠OBP＝∠OBP1，∴∠OBP1＋∠OBC＝45°，OP1＝OP＝18－9，∴P1(0，18－9)．例4題解圖綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，9－18)或(0，18－9)．對接中考如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝

x2－2x經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y＝－

x＋b經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連接OM.(1)求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(1)解：∵y＝

x2－2x＝(x－3)2－3，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－3)．令y＝

x2－2x中y＝0，得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)．∵直線y＝－

x＋b經(jīng)過點(diǎn)A，∴－3＋b＝0，∴b＝3；(2)將直線AB向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y＝mx＋n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM－∠ACM＝45°；(2)證明：∵直線y＝mx＋n由直線y＝－

x＋3平移得到，∴m＝－.∵直線y＝－

x＋n過點(diǎn)M(3，－3)，∴－

＋n＝－3，解得n＝－.∴平移后的直線CM的解析式為y＝－

x－.如解圖，過點(diǎn)D作DH⊥CM于點(diǎn)H，設(shè)直線DH的解析式為y＝2x＋k，將點(diǎn)D(2，0)代入，得4＋k＝0，∴k＝－4，∴直線DH的解析式為y＝2x－4.

聯(lián)立

解得∴H(1，－2)．∵D(2，0)，H(1，－2)，題解圖∴DH＝.∵M(jìn)(3，－3)，D(2，0)，∴DM＝

，∴sin∠DMH＝∴∠DMH＝45°.∵∠ACM＋∠DMH＝∠ADM，∴∠ADM－∠AC