人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）同步講義第04講 6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算（教師版）

第04講6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解向量數(shù)乘的概念。②理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算。③理解并掌握向量共線(xiàn)定理及其判定方法。④能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角。⑤能用坐標(biāo)表示平面向量共線(xiàn)、垂直的條件。1在熟悉課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，了解并充分掌握向量數(shù)乘的概念；2.在掌握向量加減與數(shù)乘定義的基礎(chǔ)上，理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算；3.準(zhǔn)確理解并掌握向量共線(xiàn)定理及其判定方法；知識(shí)點(diǎn)01：向量的數(shù)乘（1）向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）任作一向量，再作向量，.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由知，與同向，模長(zhǎng)為模長(zhǎng)的2倍，由此作出；由知，與方向相反，模長(zhǎng)為模長(zhǎng)的，由此作出；

（2）向量數(shù)乘的幾何意義對(duì)于：①?gòu)拇鷶?shù)角度看，是實(shí)數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對(duì)于長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線(xiàn)段在原方向或相反方向上伸長(zhǎng)了倍；當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線(xiàn)段在原方向或反方向上縮短了倍．實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如，都無(wú)意義．（3）向量數(shù)乘的運(yùn)算律實(shí)數(shù)與向量的積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律：設(shè)、是實(shí)數(shù)，、是向量，則：①結(jié)合律：②第一分配律：③第二分配律：知識(shí)點(diǎn)02：向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算.向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對(duì)于任意向量,,以及任意實(shí)數(shù),,,恒有.知識(shí)點(diǎn)03：向量共線(xiàn)定理（1）內(nèi)容：向量與非零向量共線(xiàn)，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.（2）向量共線(xiàn)定理的注意問(wèn)題：①定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意．特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個(gè)方面理解，借助于實(shí)數(shù)溝通了兩個(gè)向量與的關(guān)系．③定理為解決三點(diǎn)共線(xiàn)和兩直線(xiàn)平行問(wèn)題提供了一種方法．要證三點(diǎn)共線(xiàn)或兩直線(xiàn)平行，任取兩點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使向量相等即可．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：因?yàn)椋耘c共線(xiàn)．又因?yàn)榕c有公共的起點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．題型01幾何圖形中用已知向量表示未知向量【典例1】（2023上·湖北黃石·高二陽(yáng)新縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?故選：C【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省連江第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，，∴.故選：A．【典例3】（2022下·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谀┲校?，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】,故選：A

【變式1】（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┮阎堑倪吷系闹芯€(xiàn)，若，則.（用表示）【答案】【詳解】由題意知：.

故答案為：【變式2】（2023下·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，.故選：C【變式3】（2023下·四川攀枝花·高一統(tǒng)考期末）在中，為上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】

由題意知，，因?yàn)椋?，所以，故答案為C.故選：C題型02平面向量的混合運(yùn)算【典例1】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.【典例2】（2023下·重慶綦江·高一?？计谥校┗?jiǎn)為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)向量的四則運(yùn)算可知，.故選：D【變式1】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式．（2）原式.【變式2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式．（2）原式題型03向量共線(xiàn)的判定【典例1】（2022·河南·校聯(lián)考三模）已知、、均為非零向量，且，，則（

）A．與垂直 B．與同向 C．與反向 D．與反向【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以與同向，與反向，所以與反向．故選：C.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，關(guān)于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線(xiàn)的有．（填序號(hào)）【答案】①②③【詳解】①，共線(xiàn)；②，共線(xiàn)；③，共線(xiàn)；④和無(wú)法表示成，所以不共線(xiàn).故答案為：①②③【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，為不共線(xiàn)的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線(xiàn)．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)共線(xiàn)(2)共線(xiàn)3)不共線(xiàn)【詳解】（1），則有，即共線(xiàn)；（2），則有，即共線(xiàn)；（3）設(shè)，共線(xiàn)，則由共線(xiàn)向量基本定理，得存在，使，即，所以，所以共線(xiàn)，這與已知條件不共線(xiàn)矛盾，不共線(xiàn).【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于非零向量，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】對(duì)于非零向量，當(dāng)時(shí)，，一定成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，，不一定滿(mǎn)足，即必要性不成立.所以對(duì)于非零向量，“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知、是兩非零向量，且與共線(xiàn)，若非零向量與共線(xiàn)，則與必定．【答案】共線(xiàn)【詳解】因?yàn)椤⑹莾煞橇阆蛄?，且與共線(xiàn)，所以，使得.又因?yàn)榉橇阆蛄颗c共線(xiàn)，所以，使得.所以，.所以，與必定共線(xiàn).故答案為：共線(xiàn).【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線(xiàn)：(1)，；(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線(xiàn)）；(3)，.【答案】(1)共線(xiàn)；(2)共線(xiàn)；(3)共線(xiàn).【詳解】（1），，所以，所以，共線(xiàn).（2），,所以，所以，共線(xiàn).（3）因?yàn)?，，所以，所?所以，共線(xiàn).題型04利用向量共線(xiàn)證明線(xiàn)線(xiàn)平行【典例1】（2023下·廣東汕頭·高一?？计谥校┰谒倪呅沃?，，，，則四邊形的形狀是（）A．梯形 B．菱形C．平行四邊形 D．矩形【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所?所以.所以且，所以四邊形為梯形..故選：A【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)分別是梯形的對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn).(1)試用向量的方法證明：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）分別為中點(diǎn)，，，；，可設(shè)，，又，，.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）四邊形ABCD中，，，，試判斷四邊形ABCD的形狀（其中，為不平行的非零向量）．【答案】四邊形ABCD為梯形．【詳解】，，∴，所以四邊形ABCD為梯形．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且，，，則（

）A．與反向平行 B．與同向平行C．與反向平行 D．與不共線(xiàn)【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，，所以，所以與反向平行，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以與同向平行，故CD錯(cuò)誤.故選：A題型05已知向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)【典例1】（2023下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線(xiàn)，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，因?yàn)橄蛄浚还簿€(xiàn)，所以，解得或（舍去），故選：A【典例2】（2023上·江西·高一統(tǒng)考期中）已知，為平面內(nèi)向量的一組基底，，，若，則.【答案】【詳解】由得，，解得.故答案為：.【典例3】（2023下·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)，且與共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】或．【詳解】因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，即．由于不共線(xiàn)，所以．即實(shí)數(shù)k的值為或．【變式1】（2023上·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量是平面內(nèi)的一組基底，若向量與共線(xiàn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線(xiàn)，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，所以，因?yàn)橄蛄渴瞧矫鎯?nèi)的一組基底，所以，解得，，故選：D【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線(xiàn)的平面向量，向量，，若，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，因?yàn)椋?，所以，可得，所以，故選：C．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量、不共線(xiàn)，且向量與平行，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄颗c平行，設(shè)，其中，因?yàn)橄蛄?、不共線(xiàn)，則，解得.故答案為：.題型06三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題【典例1】（2023下·貴州遵義·高一?？茧A段練習(xí)）已知不共線(xiàn)的向量，且，，，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【詳解】對(duì)A，,所以，則三點(diǎn)共線(xiàn)，A正確；對(duì)B，,則不存在任何，使得，所以不共線(xiàn),B錯(cuò)誤；對(duì)C，,則不存在任何，使得，所以不共線(xiàn)，C錯(cuò)誤；對(duì)D，,則不存在任何，使得，所以不共線(xiàn)，D錯(cuò)誤；故選:A.【典例2】（2023下·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）設(shè)是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，.若三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值為.【答案】【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，故,則，使得，又，故，則，解得，故答案為：【典例3】（2023上·江西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是平面內(nèi)不共線(xiàn)的單位向量，是該平面內(nèi)的點(diǎn)，且，，.(1)若，求；(2)若三點(diǎn)共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，.（2），，又三點(diǎn)共線(xiàn)，即共線(xiàn)，，解得：.【變式1】（2023下·上海浦東新·高一?？计谥校┰O(shè)，是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，，，，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)p的值為．【答案】【詳解】由題意，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，，所以．故答案為：．【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，.

求證：M，N，C三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】設(shè)，則所以，又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)C，所以M，N，C三點(diǎn)共線(xiàn).【變式3】（2023下·山東泰安·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，.設(shè).

(1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且.求證：三點(diǎn)共線(xiàn)，并指明點(diǎn)的具體位置.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析，是的中點(diǎn)【詳解】（1）依題意，，.-（2）由，又，所以，，故三點(diǎn)共線(xiàn)，且是的中點(diǎn).

題型07利用向量共線(xiàn)定理求參數(shù)【典例1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在中，，是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，又是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，所以，又，所以，所以.故選：B【典例2】（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，P為CD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則m的值為．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所?又所以，解得.故答案為：.【典例3】（2023下·四川綿陽(yáng)·高一三臺(tái)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，不共線(xiàn)，且，，.(1)將用，表示；(2)若，求的值；【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以；?）因?yàn)?，，，所以，即，又向量，不共線(xiàn)，所以，解得，即的值為.【變式1】（2023下·江蘇南通·高一校考期中）已知是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，向量．若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】由題設(shè)且，故，則，可得.故選：A【變式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，點(diǎn)E滿(mǎn)足且，則實(shí)數(shù)．【答案】4【詳解】由題意可得：,故答案為：4.【變式3】（2023下·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）已知不共線(xiàn)，向量，，且，則的值為.【答案】【詳解】由可設(shè)：，則，，解得：.故答案為：.題型08平面向量共線(xiàn)定理的推論【典例1】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴.故選：A.【典例2】（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．5【答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗?，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以.故選：A【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)的重心G的直線(xiàn)與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)，.(1)證明：為定值；(2)求m＋n的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈闹匦氖荊點(diǎn)，所以，，，因?yàn)镚，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在，使得，即，所以有；（2）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以m＋n的最小值為.【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校┲?，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為1C．的最大值為16 D．的最小值為4【答案】D【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，即，故，令，故，為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，AB錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【變式2】（2023上·河南焦作·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在中，，E是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則．【答案】2【詳解】如圖所示，由題意知，因?yàn)锳，E，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以．

故答案為：2.【變式3】（2023下·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)是的重心，若過(guò)的重心，且，，，（，），試求的最小值．【答案】【詳解】∵是的重心，∴是邊上的中線(xiàn)，，∴，∴，又∵，（，），∴，，∴，又∵，，三點(diǎn)共線(xiàn)，∴.又∵，，∴由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，∴，故選：C.2．（2023上·北京海淀·高二校考階段練習(xí)）已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量混合運(yùn)算即可.【詳解】，故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運(yùn)算一一判定即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，顯然，即B正確；對(duì)于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．故選：B4．（2023下·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△OAB中，P為線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】,所以，故選：A5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是平面內(nèi)的一組基底，，則（

）A．三點(diǎn)共線(xiàn) B．三點(diǎn)共線(xiàn)C．三點(diǎn)共線(xiàn) D．三點(diǎn)共線(xiàn)【答案】C【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)定理設(shè)出方程，若方程無(wú)解，則三點(diǎn)不共線(xiàn)，從而得到ABD錯(cuò)誤，C正確.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故三點(diǎn)不共線(xiàn)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故三點(diǎn)不共線(xiàn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，故，故三點(diǎn)共線(xiàn)，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)，則，無(wú)解，故三點(diǎn)不共線(xiàn)，D錯(cuò)誤.故選：C6．（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知是平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，且，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合平面向量基本定理即可求解.【詳解】由，得，所以，則，解得.故選：D7．（2022下·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，不共線(xiàn)，若向量與向量共線(xiàn)，則的值為（

）A． B．0或 C．0或1 D．0或3【答案】A【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的條件,代入化簡(jiǎn),對(duì)應(yīng)系數(shù)相等【詳解】因?yàn)榕c共線(xiàn)，可設(shè)，即，因?yàn)椋还簿€(xiàn)，所以所以.故選:A.8．（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量共線(xiàn)設(shè)，，從而得到，得到方程組，求出.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以設(shè)，即，整理得：，因?yàn)?，所以，解得：故選：C二、多選題9．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期中）如圖在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線(xiàn)，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質(zhì)逐一判定即可.【詳解】由條件可知為的重心，對(duì)于A，由重心的性質(zhì)可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由重心的性質(zhì)可得，所以，故B正確；對(duì)于D，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，故C正確.故選：BC.10．（2023上·重慶江北·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)M是的重心C．若，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，以及重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，若，可得M為BC的中點(diǎn)，所以A正確；

對(duì)于B中，若M為的重心，則滿(mǎn)足，即，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，即，所以M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，由，

可得，所以D正確．故選：ACD三、填空題11．（2023上·湖南邵陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】，所以，，.故答案為：.12．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】先作出草圖，然后分析出的位置，先考慮長(zhǎng)度的比值，最后即可得到面積的比值.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，如圖所示，連接，則.又，所以，即為的中點(diǎn)，則，，即.故答案為：.四、解答題13．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿(mǎn)足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，則，.（2）因?yàn)?，所以，則，所以，即，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線(xiàn).

14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量，（三點(diǎn)不共線(xiàn)），判斷下列各題中的點(diǎn)是否在直線(xiàn)上．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)在(2)不在(3)不在【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，（三點(diǎn)不共線(xiàn)），則，可作為該平面的一個(gè)基底，所以存在，使得任一向量滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，故點(diǎn)在直線(xiàn)上；當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，則存在，使得，所以，則，又，所以，則；所以是點(diǎn)在直線(xiàn)上的充要條件.對(duì)于，顯然，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上.（2）對(duì)于，顯然，所以點(diǎn)不在直線(xiàn)上（3）對(duì)于，顯然，所以點(diǎn)不在直線(xiàn)上B能力提升1．（2023上·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)，所以，即，又，故.故選：A2．（2023上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【詳解】記為的中點(diǎn)，連接，