人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重要考點題型精講精練專題08角平分線的性質(zhì)和判定(原卷版+解析)

專題08角平分線的性質(zhì)和判定【思維導(dǎo)圖】◎題型1：角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.例．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠CPO＝∠DOP B．PC＝PD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD變式1．(2023·遼寧遼陽·七年級期末）如圖，中，，平分交于點，點為的中點，連接，若，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．36 D．72變式2．(2023·廣西北?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平分，垂直于E，，，則的面積為（

）A．7 B．8 C．9 D．10變式3．(2023·陜西榆林·七年級期末）如圖，BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E，于點F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面積．◎題型2：作角平分線（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.例．(2023·河南洛陽·八年級期末）用直尺和圓規(guī)做的平分線時，下列哪個不是正確步驟（）A．在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使B．分別以點和點為圓心，適當(dāng)長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點C．用直尺做直線D．用直尺做射線變式1規(guī)在BC邊上找一點D，使AD=BD，下列作法正確的是（）A．B．C．D．變式2．(2023·山東聊城·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．27° D．22°變式3．(2023·江西省吉安市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，DE=DA，D為AB中點，DEAC，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．(1)在圖1中，作∠BAC的平分線AM；(2)在圖2中，作AC的中點F．◎題型3：角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB例．(2023·福建漳州·八年級期中）小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點變式1．(2023·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在鈍角中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應(yīng)點分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．平分變式2．(2023·安徽安慶·八年級期末）三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是（

）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三內(nèi)角平分線的交點 D．三邊上高的交點變式3．（2023·江西·新余四中八年級期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，BE＝CD．求證：(1)Rt△BCERt△CBD；(2)AF平分∠BAC．◎題型4：角平分線的實際應(yīng)用例．（2023·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點位置 B．△ABC三條高的交點位置C．△ABC三邊的中垂線的交點位置 D．以上說法都不正確變式1．(2023·海南華僑中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點E，DE=3，△ABC的面積為15，AB＝6，則AC的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4變式2．（2023·廣西玉林·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點D到AB的距離為3cm，則DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm變式3．(2023·安徽蕪湖·八年級期末）已知：如圖，平分，C，D分別在上，若，求證：．專題08角平分線的性質(zhì)和判定【思維導(dǎo)圖】◎題型1：角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.例．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠CPO＝∠DOP B．PC＝PD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD答案：A【解析】分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC＝PD，再利用HL證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CPO＝∠DPO，OC＝OD．【詳解】解：∵OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，∴PC＝PD，故B正確；在Rt△OCP與Rt△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（HL），∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C、D正確．不能得出∠CPO＝∠DOP，故A錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，得出PC＝PD是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·遼寧遼陽·七年級期末）如圖，中，，平分交于點，點為的中點，連接，若，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．36 D．72答案：C【解析】分析：過D作DF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出ΔBDE的面積．【詳解】解：過D作DF⊥AB于F，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵BD平分∠ABC，CD＝6，∴DF＝CD＝6，∵點E為AB的中點，AB=24，∴BE=12，∴ΔBDE的面積＝BE?DF＝×12×6＝36，故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．變式2．(2023·廣西北?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平分，垂直于E，，，則的面積為（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：C【解析】分析：過點D作DF⊥BA交BA延長于F，利用角平分線的性質(zhì)求得DF=DE=3，即可用三角形面積公式求解．【詳解】解：如圖，過點D作DF⊥BA交BA延長于F，∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延長于F，∴DF=DE=3，∴S△ABD==×6×3=9，故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．(2023·陜西榆林·七年級期末）如圖，BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E，于點F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面積．答案：24【解析】分析：由BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E，于點F，得到DE＝DF＝3，由即可得到答案．【詳解】解：∵BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E，于點F，∴DE＝DF＝3，∵AB＝7，BC＝9，∴＝24，即△ABC的面積是24．【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．◎題型2：作角平分線（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.例．(2023·河南洛陽·八年級期末）用直尺和圓規(guī)做的平分線時，下列哪個不是正確步驟（）A．在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使B．分別以點和點為圓心，適當(dāng)長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點C．用直尺做直線D．用直尺做射線答案：C【解析】分析：根據(jù)作一個角的平分線的步驟判斷即可．【詳解】解：作∠AOB的平分線的步驟：①在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使．②分別以點和點為圓心，適當(dāng)長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點．③用直尺做射線OC．故選項A，B，D正確，故選：C．【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．變式1規(guī)在BC邊上找一點D，使AD=BD，下列作法正確的是（）A．B．C．D．答案：D【解析】分析：根據(jù)“要在BC邊上找一點D，使AD=BD”知點D應(yīng)該是線段AB垂直平分線與BC的交點，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、由作圖知，AD⊥BC，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；B、由作圖知，AD平分∠BAC，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；C、由作圖知，CA=CD，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；D、由作圖知，點D是線段AB垂直平分線與BC的交點，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知AD=BD，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查作圖—基本作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)．變式2．(2023·山東聊城·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．27° D．22°答案：C【解析】分析：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分，結(jié)合，可得，進而即可求解．【詳解】解：由圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∴∵∴∴∵∴故選：C．【點睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，得到BC平分是解題的關(guān)鍵．變式3．(2023·江西省吉安市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，DE=DA，D為AB中點，DEAC，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．(1)在圖1中，作∠BAC的平分線AM；(2)在圖2中，作AC的中點F．答案：(1)見解析(2)見解析【解析】分析：．（1）由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點，DE∥AC，延長ED與BC交于點M，連接AM，即為∠BAC的平分線；（2）由（1）可知，BC，AB得中點，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點B與重心所在直線交AC與點F，即點F就是AC得中點．(1)解：由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點，DE∥AC，延長ED與BC交于點M，連接AM，即為∠BAC的平分線，如圖所示：(2)解：如圖所示：由（1）可知，BC，AB得中點，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點B與重心所在直線交AC與點F，即點F就是AC得中點．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，三角形得角平分線，中點，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．◎題型3：角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB例．(2023·福建漳州·八年級期中）小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點答案：A【解析】分析：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，因為是兩把完全相同的長方形直尺，可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB【詳解】如圖所示：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選A．【點睛】本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上這一判定定理．變式1．(2023·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在鈍角中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應(yīng)點分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．平分答案：D【解析】分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，結(jié)合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，則可證得△CAB≌△EAB，即可作答．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B錯誤，∴∠CAB=∠EAB，∵AC=AE，AB=AB，∴△CAB≌△EAB，∴△EAB≌△EAD∴∠BEA=∠DEA，∴AE平分∠BED，故D正確，∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠BAE=35°是解答本題的關(guān)鍵．變式2．(2023·安徽安慶·八年級期末）三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是（

）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三內(nèi)角平分線的交點 D．三邊上高的交點答案：C【解析】分析：根據(jù)角平分線的判定定理可得：到三角形三邊距離相等的點應(yīng)在三角形三個內(nèi)角的角平分線上，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，∴點O在∠A的平分線上，同理可證：點O在∠B的平分線上，點O在∠C的平分線上，即O是三條角平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，垂直平分線，高等知識點，注意：三角形的三個角的平分線交于一點，這點到三角形三邊的距離相等．變式3．（2023·江西·新余四中八年級期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，BE＝CD．求證：(1)Rt△BCERt△CBD；(2)AF平分∠BAC．答案：(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】分析：（1）根據(jù)高的定義求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理HL推出即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，證得EF＝DF，利用角平分線性質(zhì)逆定理即可得證．(1)證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCE和△CBD是直角三角形，在Rt△BCE和Rt△CBD中，，∴Rt△BCERt△CBD（HL）；(2)解：∵Rt△BCERt△CBD，∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，∴CF＝BF，∴CE﹣CF＝BD﹣BF，∴EF＝DF，又∵EFAB，DFAC，∴點F在∠BAC的平分線上，∴AF平分∠BAC．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理是解題的關(guān)鍵．◎題型4：角平分線的實際應(yīng)用例．（2023·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點位置 B．△ABC三條高的交點位置C．△ABC三邊的中垂線的交點位置 D．以上說法都不正確答案：A【解析】分析：根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，∴加油站應(yīng)該在△ABC三條角平分線的交點處．故選：A【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．(2023·海南華僑中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點E，DE=3，△ABC的面積為15，AB＝6，則AC的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4答案：D【解析】分析：過點