人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義3.1函數(shù)的概念及其表示(原卷版+解析)

3.1函數(shù)的概念及其表示【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點(diǎn)詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．3．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識點(diǎn)二：函數(shù)的表示法1．函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢．列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2．分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點(diǎn)三：函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則．在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點(diǎn)四：函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：求函數(shù)的解析式題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題題型十：區(qū)間的表示與定義題型十一：函數(shù)的圖象【典型例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開學(xué)考試）下列解析式中，y不是x的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關(guān)鍵．例2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列圖形能表示函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高一階段練習(xí)）下列對應(yīng)中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y為不大于x的最大整數(shù)，，；（4），其中，，.其中，是函數(shù)的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）例4．（2022·四川省綿陽第一中學(xué)高一期中）下列是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．，對應(yīng)法則B．，，對應(yīng)法則C．，對應(yīng)法則D．，，對應(yīng)法則例5．（多選題）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知集合，，給出下列四個對應(yīng)法則，其中能構(gòu)成從集合M到集合N的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．例6．（多選題）（2022·江蘇·高一期中）存在函數(shù)f(x)滿足：對任意的實(shí)數(shù)x都有（

）A． B．C． D．例7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）直線x＝a與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是______．題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例8．（2022·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【方法技巧與總結(jié)】小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合；（4）如果是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實(shí)際問題有意義．當(dāng)函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．例9．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的定義域?yàn)?/p>

（

）A． B． C．且 D．且例11．（2022·福建省安溪第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長為40，設(shè)其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知矩形的周長為定值，設(shè)它的一條邊長為，則矩形面積的函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例13．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．例14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.(1)；(2).題型三：抽象函數(shù)求定義域例15．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)）的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運(yùn)用整體思想，也就是在同一對應(yīng)關(guān)系下括號內(nèi)的范圍是一樣的．例16．（2022·全國·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_________．例18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域．例20．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____；若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____.例21．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____；（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____．題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例22．（2022·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)分別由下表給出：下列能滿足的的值是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想．例23．（2022·重慶八中高三開學(xué)考試）已知，若，則_____.例24．（2022·四川省南充高級中學(xué)高一期中）若（其中a，b，c為常數(shù)），若，則______.題型五：同一函數(shù)的判斷例25．（2022·天津南開·高一期末）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征．只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；（2）對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則．例26．（2022·新疆·和碩縣高級中學(xué)高一階段練習(xí)）在下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，例27．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例28．（多選題）（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與例29．（多選題）（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中能表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．， D．，題型六：給出自變量求函數(shù)值例30．（2022·吉林油田高級中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)對任意x，，總有，若，則（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．0【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)值時，遇到復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f（g（x）），里層函數(shù)就是g（x），外層函數(shù)就是f（x），其對應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果．例31．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，．（1）計(jì)算：____________；（2）計(jì)算：____________．例32．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則______，______．例33．（2022·廣東·廣州外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的定義域；(2)求的值；(3)當(dāng)時，求a的值．例34．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．例35．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則____.例36．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)對于任意的正實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則=______．題型七：求函數(shù)的值域例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【方法技巧與總結(jié)】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．例38．（多選題）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．例39．（多選題）（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t區(qū)間長度可能為（

）A． B． C． D．例40．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________.例41．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是__________．例42．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.例43．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.例44．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．例45．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求的最小值.例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.例47．（2022·上海·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值例48．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝；(4)y＝x＋．例49．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．例50．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)；①的值域是__________；②的值域是__________．題型八：求函數(shù)的解析式例51．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）解析式類型已知的，如本例（1），一般用待定系數(shù)法，對于二次函數(shù)問題要注意對一般式，頂點(diǎn)式和兩點(diǎn)式的選擇．（2）已知求的問題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法．（3）函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于的方程組，如本例（3），若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)、，則一般用代之，構(gòu)造另一個方程．例52．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．例53．（2022·廣西北?！じ叨谀ㄎ模┤艉瘮?shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．3例54．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，則有（

）A． B．C． D．例55．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值域?yàn)開_____.例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.例57．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)，則______．例58．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是R上的函數(shù)，，并且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式.例59．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．例60．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.例61．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).求函數(shù)的解析式；例62．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，求的解析式.例63．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知求f(x)的解析式.題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題例64．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．1【方法技巧與總結(jié)】分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（1）由實(shí)際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是根據(jù)實(shí)際問題需要分成幾類，就分成幾段，求解析式時，先分段分別求出它的解析式，在綜合在一起即可．（2）注意分段函數(shù)的解析式，最后要把各段綜合在一起寫成一個函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)．例65．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)(1)求，，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例66．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的值域（直接寫出結(jié)果即可）.例67．（2022·云南玉溪·高一期中）已知函數(shù).(1)求.(2)若f（a）≤5，求a的取值范圍.例68．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．例69．（2022·江蘇宿遷·高一期中）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．例70．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B．C． D．例71．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_____．例72．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.題型十：區(qū)間的表示與定義例73．（2022·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【方法技巧與總結(jié)】例74．（2022·全國·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合.（1）______；（2）______.例75．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．例76．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知區(qū)間，則的取值范圍為______．例77．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將集合用區(qū)間表示為___________.題型十一：函數(shù)的圖象例78．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】先把要畫的函數(shù)圖象進(jìn)行變形，依據(jù)所學(xué)習(xí)過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象．例79．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線方向以a單位/秒的速度勻速運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，△BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是______．例80．（2022·全國·高一單元測試）畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域?值域：(1)；(2)；(3)；(4).例81．（2022·全國·高一課時練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與.A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．4．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）如果函數(shù)對任意滿足，且，則（

）A．2022 B．2024 C．2020 D．20215．（2022·全國·高一專題練習(xí)）擬定從甲地到乙地通話m分鐘的話費(fèi)（單位：元）由函數(shù)給出，其中是不小于m的最小整數(shù)，例如，，那么從甲地到乙地通話5分鐘的話費(fèi)為（

）A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元6．（2022·浙江衢州·高一期中）已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．8．（2022·天津南開·高一期末）定義區(qū)間，，，的長度均為，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，記，設(shè)，，若用表示不等式解集區(qū)間的長度，則當(dāng)時有（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．10．（2022·安徽·東至縣第三中學(xué)高一期中）給出下列四個命題是真命題的是：（

）A．函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù)；B．函數(shù)與直線（常數(shù)）有且僅有一個交點(diǎn)；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到；D．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?1．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)镽 B．的值域?yàn)镃．若，則x的值是 D．的解集為12．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對任意，存在正數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是定義域?yàn)樯系摹坝薪绾瘮?shù)”．已知下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．其中“有界函數(shù)”是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）三、填空題13．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件，若，則______.14．（2022·山東·陵城一中高一期中）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：路程不超過2千米，收費(fèi)為8元；路程超過2千米但不超過8千米的部分，每千米車費(fèi)為元；路程超過8千米的部分，每千米車費(fèi)為元,若該乘客所付車費(fèi)為元，求出租車行駛的路程是____________．15．（2022·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則_____________．四、解答題17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在①，②，且，③恒成立，且這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2），______.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，.(1)求，的值；(2)求，的值；(3)求，的值域.19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且對任意，都有，，求.20．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）求解下列問題：(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域.(2)已知是一次函數(shù)，且滿足，求.21．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求函數(shù)的解析式；（4）已知的定義在R上的函數(shù)，，且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．22．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域與函數(shù)的定義域的交集為D，若對任意的，都有，則稱函數(shù)是集合M的元素．(1)判斷函數(shù)和是不是集合M中的元素，并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，且（k，b為常數(shù)，且k≠0），試求函數(shù)的解析式；(3)已知，，試求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的關(guān)系．3.1函數(shù)的概念及其表示【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點(diǎn)詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．3．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識點(diǎn)二：函數(shù)的表示法1．函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢．列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2．分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點(diǎn)三：函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則．在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點(diǎn)四：函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：求函數(shù)的解析式題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題題型十：區(qū)間的表示與定義題型十一：函數(shù)的圖象【典型例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2022·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開學(xué)考試）下列解析式中，y不是x的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于選項(xiàng)C，當(dāng)時，或，由函數(shù)的定義可得中的y不是x的函數(shù)函數(shù)；由函數(shù)的定義知；，，中的y是x的函數(shù)，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關(guān)鍵．例2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列圖形能表示函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義：任意垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象至多有一個交點(diǎn)，所以A、B顯然不符合，C在與函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，不符合，只有D符合要求.故選：D例3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高一階段練習(xí)）下列對應(yīng)中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y為不大于x的最大整數(shù)，，；（4），其中，，.其中，是函數(shù)的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【解析】（1），其中，；滿足函數(shù)的定義，（1）正確；（2），其中，，，不滿足一個自變量有唯一一個實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)，例如當(dāng)時，；不滿足函數(shù)的定義，（2）不正確；（3），其中y為不大于x的最大整數(shù)，，；滿足函數(shù)的定義，③正確；（4），其中，，，當(dāng)時，對應(yīng)的，（4）不正確．故選：B例4．（2022·四川省綿陽第一中學(xué)高一期中）下列是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．，對應(yīng)法則B．，，對應(yīng)法則C．，對應(yīng)法則D．，，對應(yīng)法則【答案】B【解析】A：當(dāng)，，但，所以集合A中的一個元素在集合B中沒有元素和它對應(yīng)，不是函數(shù)，故A錯誤；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對應(yīng)，是函數(shù)，故B正確；C：集合A中的負(fù)數(shù)在集合B中沒有元素和它對應(yīng)，不是函數(shù)，故C錯誤；D：集合A中元素為0時，其倒數(shù)不存在，所以在集合B中五對應(yīng)元素，不是函數(shù)，故D錯誤；例5．（多選題）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知集合，，給出下列四個對應(yīng)法則，其中能構(gòu)成從集合M到集合N的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】對于選項(xiàng)A，，但.故不能構(gòu)成從到的函數(shù).對于選項(xiàng)B，.故能構(gòu)成從到的函數(shù).對于選項(xiàng)C，，但.故不能構(gòu)成從到的函數(shù).對于選項(xiàng)D，.故能構(gòu)成從到的函數(shù).故選:BD.例6．（多選題）（2022·江蘇·高一期中）存在函數(shù)f(x)滿足：對任意的實(shí)數(shù)x都有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故錯誤；B.令，得，所以，即，故正確；C.令，得，所以，即，故正確；D.因?yàn)椋源嬖?，故正確；故選：BCD例7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）直線x＝a與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是______．【答案】0或1【解析】設(shè)的定義域?yàn)镈，若，根據(jù)函數(shù)的定義知：沒有函數(shù)值與之對應(yīng)；若，根據(jù)函數(shù)的定義知：有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)．故交點(diǎn)個數(shù)是0或1．故答案為：0或1題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例8．（2022·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【解析】由題意知：且.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合；（4）如果是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實(shí)際問題有意義．當(dāng)函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．例9．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題意得，解得或，所以函數(shù)的定義域是．故答案為：.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的定義域?yàn)?/p>

（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谥校?，所以，所以，所以的定義域?yàn)榍?故選：C例11．（2022·福建省安溪第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長為40，設(shè)其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知：，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A例12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知矩形的周長為定值，設(shè)它的一條邊長為，則矩形面積的函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】邊長為，另一條邊長為，得，所以，故選：D.例13．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B.例14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.(1)；(2).【解析】（1）要使該函數(shù)有意義，只需，解得，且，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?（2）要使該函數(shù)有意義，只需，解得，且，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?題型三：抽象函數(shù)求定義域例15．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)）的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以的定義域?yàn)?，所以由，得，所以的定義域?yàn)椋蔬x：C【方法技巧與總結(jié)】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運(yùn)用整體思想，也就是在同一對應(yīng)關(guān)系下括號內(nèi)的范圍是一樣的．例16．（2022·全國·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以的定義域?yàn)?又因?yàn)椋?，所以函?shù)的定義域?yàn)?故選：C.例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】由解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以．令，則．即中，．故的定義域?yàn)椋?0．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____；若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，即，所以，，故函?shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，即，所以，則函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為:，例21．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____；（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____．【答案】

【解析】解:（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以，即的定義域?yàn)椋?，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?）；（2）.題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例22．（2022·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)分別由下表給出：下列能滿足的的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，無意義，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，無意義，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，，，，則，C正確；對于D，當(dāng)時，無意義，D錯誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想．例23．（2022·重慶八中高三開學(xué)考試）已知，若，則_____.【答案】【解析】令，解得，則故答案為：例24．（2022·四川省南充高級中學(xué)高一期中）若（其中a，b，c為常數(shù)），若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：題型五：同一函數(shù)的判斷例25．（2022·天津南開·高一期末）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①與的定義域是，而，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則不同，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征．只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；（2）對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則．例26．（2022·新疆·和碩縣高級中學(xué)高一階段練習(xí)）在下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)椋詢蓚€函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B中，函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同，所以是同一個函數(shù)；對于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)?，所以兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)?，所以不是同一個函數(shù)，故選：B例27．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】的定義域?yàn)椋畬τ贏，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，定義域?yàn)?，與定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對于C，的定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，，與的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．例28．（多選題）（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】CD【解析】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)镽，兩函數(shù)定義域不同，故不是同一函數(shù)；對于B：函數(shù)定義域?yàn)镽，化簡可得，與解析式不同，故不是同一函數(shù)；對于C：函數(shù)定義域?yàn)?，化簡可得，函?shù)定義域?yàn)椋喛傻?，故為同一函?shù)；對于D：函數(shù)定義域?yàn)镽，化簡可得，與為同一函數(shù).故選：CD例29．（多選題）（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中能表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．， D．，【答案】BCD【解析】對于A：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，A不正確；對于B、C：顯然定義域均為，雖然解析式書寫形式不一樣，但對應(yīng)關(guān)系相同，B、C正確；對于D：顯然定義域均為，，則，，D正確；故選：BCD．題型六：給出自變量求函數(shù)值例30．（2022·吉林油田高級中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)對任意x，，總有，若，則（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．0【答案】A【解析】由題設(shè)，．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)值時，遇到復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f（g（x）），里層函數(shù)就是g（x），外層函數(shù)就是f（x），其對應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果．例31．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，．（1）計(jì)算：____________；（2）計(jì)算：____________．【答案】

1

【解析】（1），，所以．（2）由（1）知，從而，故，而，所以．故答案為：1；.例32．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則______，______．【答案】

【解析】由題可知，，則；，則.故答案為：；.例33．（2022·廣東·廣州外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的定義域；(2)求的值；(3)當(dāng)時，求a的值．【解析】(1)因?yàn)椋瑒t，解得，所以的定義域是；(2)因?yàn)?，所以，所以?3)因?yàn)?，解?例34．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，；?），是定值；（3）由（2）知，因?yàn)?，，，……，，所?例35．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則____.【答案】4028【解析】因?yàn)?，，，…，，所?故答案為：4028例36．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)對于任意的正實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則=______．【答案】4【解析】由題可知，．故答案為：4.題型七：求函數(shù)的值域例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】設(shè)，，，時，，時，因?yàn)?，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．例38．（多選題）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】A.函數(shù)的值域?yàn)?，所以該選項(xiàng)不符合題意；B.因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋栽撨x項(xiàng)符合題意；C.因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋栽撨x項(xiàng)符合題意；D.函數(shù)的值域?yàn)?，所以該選項(xiàng)不符合題意.故選：BC例39．（多選題）（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則區(qū)間長度可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】，當(dāng)時，若，即，解得或；當(dāng)時，若，即，解得或，此時.所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則當(dāng)時，區(qū)間的長度取最小值；當(dāng)時，區(qū)間的長度取最大值.所以，區(qū)間的長度的取值范圍是.故選：BC.例40．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】由題意：函數(shù)，開口向上，對稱軸，畫出函數(shù)如下，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?故答案為：例41．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以，故答案為：?2．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.例43．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.【答案】2【解析】，則，則，即，，故，，即，即，.故答案為：2.例44．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．【解析】（1）因?yàn)椋?，，，，所以函?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，且，所以，所以函?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（4）設(shè)（換元），則且，令.因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?例45．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求的最小值.【解析】因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為.例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，原函數(shù)化為，所以，整理得，解得即或，∴綜上，函數(shù)的值域?yàn)?例47．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值【解析】由題意定義域?yàn)?，則在上有解，當(dāng)符合題意，當(dāng)，即的解集為[1，3]，故1和3為關(guān)于y的二次方程的兩個根所以解得例48．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝；(4)y＝x＋．【解析】(1)因?yàn)閤∈R，所以2x＋1∈R，即函數(shù)的值域?yàn)镽．(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因?yàn)閤∈[1，5)，如圖所示：所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇2，11)．(3)借助反比例函數(shù)的特征求．，顯然可取0以外的一切實(shí)數(shù)，即所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠3}．(4)設(shè)(x≥0)，則x＝u2(u≥0)，，由u≥0，可知≥，所以y≥0．所以函數(shù)y＝x＋的值域?yàn)閇0,＋∞)．例49．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．【解析】（1）方法一

因?yàn)椋遥?，所以原函?shù)的值域?yàn)椋椒ǘ?，則，所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，所以原函?shù)的值域?yàn)椋?）設(shè)，則且，得．因?yàn)椋?，即，所以原函?shù)的值域?yàn)椋?）方法一令，因?yàn)椋躁P(guān)于x的方程有解，則當(dāng)，即時，；當(dāng)時，，整理得，解得或．綜上，原函數(shù)的值域?yàn)椋椒ǘ?，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，當(dāng)時，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以．綜上，原函數(shù)的值域?yàn)椋?0．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)；①的值域是__________；②的值域是__________．【答案】

【解析】，其圖像可由反比例函數(shù)的圖像先向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，如下：當(dāng)時，當(dāng)時，所以的值域是，因?yàn)楫?dāng)時，當(dāng)時，所以的值域是，故答案為：；題型八：求函數(shù)的解析式例51．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，設(shè)，則有，解得，所以.故選：D【方法技巧與總結(jié)】（1）解析式類型已知的，如本例（1），一般用待定系數(shù)法，對于二次函數(shù)問題要注意對一般式，頂點(diǎn)式和兩點(diǎn)式的選擇．（2）已知求的問題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法．（3）函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于的方程組，如本例（3），若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)、，則一般用代之，構(gòu)造另一個方程．例52．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一（配湊法）∵，∴.方法二（換元法）令，則，∴，∴.故選：A例53．（2022·廣西北?！じ叨谀ㄎ模┤艉瘮?shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．3【答案】B【解析】令（或），，，，.故選；B例54．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，，，所以函數(shù)的解析式為，．故選：B.例55．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】令，則，所以，所以，故的解析式為，其值域?yàn)?故答案為：.例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.【答案】f(x)=2x【解析】根據(jù)題意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案為：f(x)=2x.例57．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)，則______．【答案】【解析】令，則，∴，故，∴.故答案為：.例58．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是R上的函數(shù)，，并且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式.【解析】（1）設(shè)，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，則，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，則，∴.例59．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．【解析】（1）因?yàn)?，所以．?）方法一

設(shè)，則，，即，所以，所以．方法二

因?yàn)?，所以．?）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以設(shè)．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替換中的x，得，由，解得．例60．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.【解析】設(shè)，則,所以，解得或，所以函數(shù)的解析式為或.例61．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).求函數(shù)的解析式；【解析】設(shè)，則，，所以，所以，．例62．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，求的解析式.【解析】，因?yàn)樗?，故答案為?例63．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知求f(x)的解析式.【解析】(1)(2)以－x代替x得：,與聯(lián)立得：.題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題例64．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以；故選：D【方法技巧與總結(jié)】分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（1）由實(shí)際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是根據(jù)實(shí)際問題需要分成幾類，就分成幾段，求解析式時，先分段分別求出它的解析式，在綜合在一起即可．（2）注意分段函數(shù)的解析式，最后要把各段綜合在一起寫成一個函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)．例65．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)(1)求，，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由題可得，，因?yàn)?，所以；?）①當(dāng)時，，解得，不合題意，舍去；②當(dāng)時，，即，解得或，因?yàn)?，，所以符合題意；③當(dāng)時，，解得，符合題意；綜合①②③知，當(dāng)時，或；（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范圍是.例66．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的值域（直接寫出結(jié)果即可）.【解析】（1）∵函數(shù)的解析式，∴，.（2）∵，，∴或或，解得或.（3）畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知，的最大值為，函數(shù)的值域?yàn)?例67．（2022·云南玉溪·高一期中）已知函數(shù).(1)求.(2)若f（a）≤5，求a的取值范圍.【解析】(1)∵函數(shù)，，，；(2)由得或或，解得或或，綜上知，.例68．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，且，當(dāng)時，，即，解得或，當(dāng)時，，無解，綜上：，所以，故選：A例69．（2022·江蘇宿遷·高一期中）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵

，∴

，當(dāng)且時，不等式可化為，∴，當(dāng)且時，不等式可化為，∴滿足條件的不存在，當(dāng)且時，不等式可化為，∴滿足條件的不存在，當(dāng)且時，不等式可化為，∴，∴滿足的x的取值范圍是，故選：B.例70．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，則可化為，解得，又，所以．當(dāng)時，，則可化為，解得，又，所以．綜上，．故選B．例71．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_____．【答案】【解析】由題意知，；當(dāng)時，有，解得(舍去)；當(dāng)時，有，解得(舍去)或．所以實(shí)數(shù)的值是：．故答案為：.例72．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.【答案】9【解析】根據(jù)題意，故答案為：9題型十：區(qū)間的表示與定義例73．（2022·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合．⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為，故答案為：D.【方法技巧與總結(jié)】例74．（2022·全國·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合.（1）______；（2）______.【答案】

【解析】由區(qū)間的概念及表示可得：（1）；（2）.故答案為：；.例75．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．【解析】（1）用區(qū)間表示為；（2）用區(qū)間表示為；（3）用區(qū)間表示為；（4）或用區(qū)間表示為.例76．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知區(qū)間，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，區(qū)間，則滿足，解得，即的取值范圍為．故答案為．例77．（2022·全國·高一課時練習(xí)）將集合用區(qū)間表示為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，集合表示大于等于1小于5，且不等于3的實(shí)數(shù)的集合.故可用區(qū)間表示為：故答案為：.題型十一：函數(shù)的圖象例78．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，距離單位最遠(yuǎn)，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，則隨的變化慢，排除B，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】先把要畫的函數(shù)圖象進(jìn)行變形，依據(jù)所學(xué)習(xí)過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象．例79．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線方向以a單位/秒的速度勻速運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，△BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是______．【答案】90【解析】由題可知，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，則，在中，，則，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D處時，，解得，則四邊形ABCD的面積為.故答案為：90．例80．（2022·全國·高一單元測試）畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域?值域：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.（2）反比例函數(shù)的圖形如圖所示，定義域?yàn)?，值域?yàn)?（3）一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.（4）二次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?例81．（2022·全國·高一課時練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，畫出其圖象如圖所示．（2）函數(shù)的圖象是兩段拋物線（部分）與一點(diǎn)，畫出其圖象如圖②所示，【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意且，所以函數(shù)的定義域是．故選：B．2．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與.A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】C【解析】①與的定義域是，而，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；④與的定義域都是，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)，綜上所述，是同一函數(shù)的是②③④，故選：C3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，距離單位最遠(yuǎn)，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，則隨的變化慢，排除B，故選：D．4．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）如果函數(shù)對任意滿足，且，則（

）A．2022 B．2024 C．2020 D．2021【答案】A【解析】根據(jù)題意，令，則，所以，因?yàn)?,4,6，…，2022共有個數(shù)，所以.故選：A.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）擬定從甲地到乙地通話m分鐘的話費(fèi)（單位：元）由函數(shù)給出，其中是不小于m的最小整數(shù)，例如，，那么從甲地到乙地通話5分鐘的話費(fèi)為（

）A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元【答案】B【解析】由是不小于的最小整數(shù)可得，所以，故從甲地到乙地通話5分鐘的話費(fèi)為4.24元．故選：.6．（2022·浙江衢州·高一期中）已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，故選：B7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是（