高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題(新高考地區(qū)專用)考向41離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征(六大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向41離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差經(jīng)典題型六：決策問題(2023·全國(guó)·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．答案：

【解析】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，所以,故答案為：，.知識(shí)點(diǎn)一．離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來(lái)表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來(lái)檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來(lái)求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．知識(shí)點(diǎn)二．離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過(guò)來(lái)，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：（1）描述了相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。唬?）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．1、用定義法求離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差的步驟：（1）理解的意義，寫出可能取的全部值；（2）求取每個(gè)值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值的定義求．2、求離散型隨機(jī)變量的分布列一般要涉及到隨機(jī)變量概率的求法，求概率時(shí)一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、條件概率）．（1）利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m．如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來(lái)，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式求出事件A的概率，注意列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算m，n，再運(yùn)用公式求概率．（2）較為復(fù)雜的概率問題的處理方法有：①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用間接法，先求事件A的對(duì)立事件的概率，再由求事件A的概率．3、高考對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下三個(gè)命題角度：（1）已知離散型隨機(jī)變量符合條件，求其均值與方差；（2）已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值；（3）已知離散型隨機(jī)變量滿足兩種方案，試作出判斷．利用隨機(jī)變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否等很多問題都與這兩個(gè)特征兩量有關(guān)．若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量，的期望，當(dāng)時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，需要用來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個(gè)白球 B．取到白球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)白球 D．取到的球的個(gè)數(shù)2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C．測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次4．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A．第k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品B．第k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品C．前k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品D．前k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列5．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.6．(2023·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：1234則（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為，乙第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.8．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記，求X的分布列.經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)9．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表：其中，，成等差數(shù)列，則（

）01

A． B． C． D．10．(2023·重慶九龍坡·三模）若隨機(jī)變量X的分布列如下所示，且，則a?b的值分別是（

）-10120.30.2A．0.1，0.4 B．0.4，0.1C．0.3，0.2 D．0.2，0.311．(2023·浙江紹興·二模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是012若，則（

）A． B．C． D．12．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量的分布列是01隨機(jī)變量的分布列是123以下錯(cuò)誤的為（

）A． B．C． D．13．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列，則a＝（

）A．1 B． C． D．14．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．15．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為（k=1，2，3，4，5），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．P（0.5<<0.8）=0.2 C．P（0.1<<0.5）=0.2 D．P（=1）=0.316．(2023·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)0＜a＜1．隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（

）A．E（X）不變 B．E（X）減小 C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值17．(2023·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．18．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）小明班的語(yǔ)文老師昨天報(bào)了一次聽寫，語(yǔ)文老師給了小明滿分分，但實(shí)際上小明有一處寫了個(gè)錯(cuò)別字，告訴了小王和小丁，錯(cuò)一處扣分，但小明自己不會(huì)給老師說(shuō)，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會(huì)告訴其他同學(xué)，老師知道后就會(huì)把分扣下來(lái)，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．19．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）冬奧會(huì)的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn)．冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀(jì)念品商店買了6個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了3個(gè)寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.520．(2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機(jī)的初始位置為0號(hào)格，拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點(diǎn)數(shù)為1，2，飛機(jī)在原地不動(dòng)；若拋出的點(diǎn)數(shù)為3，4，飛機(jī)向前移一格；若拋出的點(diǎn)數(shù)為5，6，飛機(jī)向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格為事件．(1)求；(2)判斷事件是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由；(3)拋擲骰子2次后，記飛機(jī)所在格子的號(hào)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．(2023·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)袋子里裝有顏色不同的個(gè)小球，其中紅球個(gè)，黃球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達(dá)到四次就終止取球，記取球結(jié)束時(shí)一共取球次，求隨機(jī)變量的分布列與期望．22．(2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））成都高中為了鍛煉高三年級(jí)同學(xué)的身體，同時(shí)也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來(lái)的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進(jìn)行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨(dú)立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差23．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測(cè)）已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個(gè)和白色小球個(gè)，從中任取3個(gè)，記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則（

）A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無(wú)關(guān)C．與m無(wú)關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無(wú)關(guān)24．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X，則X的方差為（

）A．0 B． C．3 D．525．(2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））隨機(jī)變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．3526．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則27．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．28．(2023·浙江·三模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小29．(2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小30．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量和，根據(jù)市場(chǎng)分析，和的分布列如下：(1)在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬(wàn)元，和（單位：萬(wàn)元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤(rùn)，求和；(2)將萬(wàn)元投資項(xiàng)目，萬(wàn)元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差之和.則當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？31．(2023·北京延慶·模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦，帶動(dòng)中國(guó)3億多人參與冰雪運(yùn)動(dòng)，這是對(duì)國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)發(fā)展的巨大貢獻(xiàn)．2020《中國(guó)滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書》顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬(wàn)人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)從滑雪人次排名前10名的省份中隨機(jī)抽取1個(gè)省份，求該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)從滑雪人次排名前5名的省份中隨機(jī)選取3個(gè)省份，記這3個(gè)省份中2020-2021的滑雪人次超過(guò)150萬(wàn)人次的省份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記表格中2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)的方差分別為與，試判斷和的大?。Y(jié)論不要求證明32．(2023·河南河南·一模（理））一個(gè)不透明袋子里裝有紅色小球x個(gè)，綠色小球y個(gè)，藍(lán)色小球z個(gè)，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個(gè)小球，規(guī)定取出的小球是藍(lán)色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.(1)若，從該袋子中隨機(jī)有放回的抽取2個(gè)小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；(2)從該袋子中隨機(jī)取一個(gè)小球，記Y為此小球的對(duì)應(yīng)積分，若，求.33．(2023·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校三模）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則，已知完成各工序所需時(shí)長(zhǎng)(小時(shí))如下表：

原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）經(jīng)典題型六：決策問題34．(2023·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）某新華書店將在六一兒童節(jié)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡在該書店購(gòu)書達(dá)到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購(gòu)書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個(gè)號(hào)碼分別為、、、、的小球（小球除號(hào)碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個(gè)小球（摸球者無(wú)法摸出小球號(hào)碼）．若雙方摸出的兩球號(hào)碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個(gè)積分，乙增加個(gè)積分；若號(hào)碼之差為偶數(shù)，則甲增加個(gè)積分，乙被扣除個(gè)積分．游戲開始時(shí)，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機(jī)變量，求的分布列；(2)以（1）中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對(duì)甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，記正整數(shù)的最小值為．①求的值，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率．35．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．36．(2023·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)有生產(chǎn)能力相同的甲、乙兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)成本相同的同一種產(chǎn)品.為保障產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門分別從這兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，并檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.根據(jù)該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)，統(tǒng)計(jì)得到甲、乙生產(chǎn)線的樣本頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標(biāo)值等級(jí)次品二等品一等品二等品三等品次品甲生產(chǎn)線（件）2194024141乙生產(chǎn)線（件）2165012191(1)根據(jù)樣本頻數(shù)分布表，估計(jì)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；(2)該企業(yè)為了守法經(jīng)營(yíng)，將所有次品銷毀，每銷毀一件次品的費(fèi)用為10元.已知一、二、三等品的售價(jià)分別為120元/件、90元/件、60元/件.為響應(yīng)政府拉閘限電的號(hào)召，企業(yè)計(jì)劃關(guān)停一條生產(chǎn)線.視頻率為概率，若您是企業(yè)的決策者，根據(jù)生產(chǎn)線效益的差異情況，您應(yīng)關(guān)停哪條生產(chǎn)線，并說(shuō)明理由.37．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級(jí)品可賣1700元，每件二級(jí)品可賣1000元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀.某日檢測(cè)抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件中任意抽取3件，設(shè)取到二級(jí)品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬(wàn)件，為提高企業(yè)利潤(rùn)，計(jì)劃明年對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)，預(yù)計(jì)升級(jí)需一次性投入2000萬(wàn)元，升級(jí)后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬(wàn)件，但產(chǎn)品質(zhì)量顯著提升，不會(huì)再有三級(jí)品，且一級(jí)品與二級(jí)品的產(chǎn)量比會(huì)提高到，若以該生產(chǎn)線今年利潤(rùn)與明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該次升級(jí)是否合理.1．（2023·浙江·高考真題）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（多選題）（2023·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)3．（2023·全國(guó)·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．4．（2023·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)5．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說(shuō)明理由.6．（2023·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．8．（2023·天津·高考真題（理））設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.9．（2023·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.10．（2023·浙江·高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量1．答案：B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是個(gè)，ACD錯(cuò)誤；故選：B.2．答案：B【解析】對(duì)于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無(wú)法將其取值一一列舉出來(lái)，故A不符題意；對(duì)于B，小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機(jī)變量，故B符合題意；對(duì)于C，測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無(wú)法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；對(duì)于D，一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置是變量，但無(wú)法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故D不符題意.故選：B.3．答案：D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．4．答案：D【解析】由題意表示第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，因此前次檢測(cè)到的都是正品，第次檢測(cè)的是一件次品.故選D.經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列5．答案：1024【解析】由題意.故答案為：1024.6．答案：C【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．故選:C．7．【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對(duì)1題后，乙才有機(jī)會(huì)答題.所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.8．【解析】由題意得，X的可能取值為0，1，，.可得X的分布列如表所示：X01P經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)9．答案：D【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：，所以，所以.故選：D.10．答案：A【解析】因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，故選：A11．答案：B【解析】由分布列可知：.，，即所以聯(lián)立方程組得：，解得：故選：B12．答案：C【解析】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對(duì)于B中，，所以B正確．對(duì)于C中，，，所以，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，，，，，，計(jì)算得，所以，所以D正確.故選：C．13．答案：C【解析】由題意得隨機(jī)變量X的分布列如表所示.X1Pa由分布列的性質(zhì)得，，解得.故選：C.14．答案：C【解析】由分布列性質(zhì)可得：，則，由,故選：C15．答案：D【解析】由題意可得，則，則，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確，故選：D.16．答案：D【解析】，∴E（X）增大；，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值17．答案：B【解析】盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．18．答案：D【解析】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.19．答案：B【解析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B20．【解析】（1）由題意，因?yàn)轱w機(jī)每前移一格的概率為，故；（2）由題意，事件拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格，只能是前移了1格；事件拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動(dòng).故，，因此，所以事件，相互獨(dú)立．（3）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為01234所以．21．【解析】（1）連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的期望為．22．【解析】(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差23．答案：C【解析】由題可知：，，故，==．故選：C．24．答案：C【解析】X可能取值為1，，3，，則，故選：C．25．答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C26．答案：A【解析】設(shè)隨機(jī)變量為X，其可能的取值是，對(duì)應(yīng)概率為，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，但無(wú)法判斷與1的大小，故無(wú)法判斷的大小，故CD錯(cuò)誤．故選：A．27．答案：D【解析】，，，，，.故選：D.28．答案：D【解析】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.29．答案：A【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，，，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，故選：A30．【解析】（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為，投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為.，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.31．【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的頻率為．

設(shè)事件從滑雪人次排名前十的省份中隨機(jī)抽取1個(gè)省份，該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．所以；（2）由題意可知，X的可能取值是．

，，，所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學(xué)期望為=；（3）通過(guò)表格可以發(fā)現(xiàn)2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)中，2020-2021這一組數(shù)據(jù)比較分散不集中，所以．32．【解析】(1)由題意，抽取2個(gè)小球可能為{紅，紅}，{綠，綠}，{藍(lán)，藍(lán)}，{紅，綠}，{紅，藍(lán)}，{綠，藍(lán)}，則X可能為2、3、4、5、6，又每次抽到紅、綠、藍(lán)球的概率分別、、，∴，，，，，∴X的分布列如下：23456(2)由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，∴，則，，，∴.33．【解析】（1）由題意得，，，，，，，，，，，，所以從6件原料中任選一件，有，，，，所以從6件原料中任選一件，的概率為；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，則，則；；，X的分布列為XP所以X的數(shù)學(xué)期望為；（3）>．經(jīng)典題型六：決策問題34．【解析】(1)記“一局游戲后甲被扣除個(gè)積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個(gè)積分”為事件，由題可知，則，當(dāng)三局均為甲被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)兩局為甲被扣除個(gè)積分，一局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)一局為甲被扣除個(gè)積分，兩局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)三局均為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為－6P(2)①由（1）易得，顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零，當(dāng)游戲規(guī)則對(duì)甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，則需，所以，，即正整數(shù)的最小值；②當(dāng)時(shí)，記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，則，由題設(shè)可知若甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)則甲被扣除積分的局?jǐn)?shù)至多為，記“甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)”為事件，易知事件為“甲恰好有一局被扣除積分”，則，所以，，即在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率為．35．【解析】（1）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：;第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：，因?yàn)椋?，所?所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元.由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬(wàn)元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）.36．【解析】(1)∵乙生產(chǎn)線抽取了100件產(chǎn)品，由樣本頻數(shù)分布表可知，質(zhì)量指標(biāo)值位于前兩組的頻數(shù)為18，前三組的頻數(shù)為68，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為x，則，解得，∴乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為；(2)由題可得甲生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為X，則（元），乙生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為Y，則（元）（元），∴甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入低于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入，應(yīng)關(guān)停甲生產(chǎn)線.37．【解析】(1)抽取的100件產(chǎn)品是一級(jí)品的頻率是，則從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取1件，是一級(jí)品的概率是，設(shè)從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)選2件，至少有一件是一級(jí)品的事件為，則，所以至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率是.(2)依題意，10件產(chǎn)品中一級(jí)品7件，二級(jí)品2件，三級(jí)品1件，的可能值是，，，，所以的分布列為：012.(3)今年利潤(rùn)為：(萬(wàn)元)，明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為：(萬(wàn)元)，顯然有，所以該次升級(jí)方案合理.1．答案：D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.方法2：則故選D.2．答案：AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC3．【解析】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.4．【解析】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.5．【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．6．【解析】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.7．【解析】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.8．【解析】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由(Ⅰ)知：.9．答案：

1

【解析】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．10．答案：

【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.考向41離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差經(jīng)典題型六：決策問題(2023·全國(guó)·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．答案：

【解析】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，所以,故答案為：，.知識(shí)點(diǎn)一．離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來(lái)表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來(lái)檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來(lái)求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．知識(shí)點(diǎn)二．離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過(guò)來(lái)，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：（1）描述了相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．1、用定義法求離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差的步驟：（1）理解的意義，寫出可能取的全部值；（2）求取每個(gè)值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值的定義求．2、求離散型隨機(jī)變量的分布列一般要涉及到隨機(jī)變量概率的求法，求概率時(shí)一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、條件概率）．（1）利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m．如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來(lái)，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式求出事件A的概率，注意列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算m，n，再運(yùn)用公式求概率．（2）較為復(fù)雜的概率問題的處理方法有：①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用間接法，先求事件A的對(duì)立事件的概率，再由求事件A的概率．3、高考對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下三個(gè)命題角度：（1）已知離散型隨機(jī)變量符合條件，求其均值與方差；（2）已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值；（3）已知離散型隨機(jī)變量滿足兩種方案，試作出判斷．利用隨機(jī)變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否等很多問題都與這兩個(gè)特征兩量有關(guān)．若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量，的期望，當(dāng)時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，需要用來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．經(jīng)典題型一：離散型隨機(jī)變量1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個(gè)白球 B．取到白球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)白球 D．取到的球的個(gè)數(shù)答案：B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是個(gè)，ACD錯(cuò)誤；故選：B.2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C．測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置答案：B【解析】對(duì)于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無(wú)法將其取值一一列舉出來(lái)，故A不符題意；對(duì)于B，小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機(jī)變量，故B符合題意；對(duì)于C，測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無(wú)法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；對(duì)于D，一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置是變量，但無(wú)法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故D不符題意.故選：B.3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次答案：D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．4．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A．第k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品B．第k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品C．前k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品D．前k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品答案：D【解析】由題意表示第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，因此前次檢測(cè)到的都是正品，第次檢測(cè)的是一件次品.故選D.經(jīng)典題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列5．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.答案：1024【解析】由題意.故答案為：1024.6．(2023·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：1234則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．故選:C．7．(2023·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為，乙第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對(duì)1題后，乙才有機(jī)會(huì)答題.所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.8．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記，求X的分布列.【解析】由題意得，X的可能取值為0，1，，.可得X的分布列如表所示：X01P經(jīng)典題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)9．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表：其中，，成等差數(shù)列，則（

）01

A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：，所以，所以.故選：D.10．(2023·重慶九龍坡·三模）若隨機(jī)變量X的分布列如下所示，且，則a?b的值分別是（

）-10120.30.2A．0.1，0.4 B．0.4，0.1C．0.3，0.2 D．0.2，0.3答案：A【解析】因?yàn)椋裕獾?，因?yàn)?，所以，解得，故選：A11．(2023·浙江紹興·二模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是012若，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由分布列可知：.，，即所以聯(lián)立方程組得：，解得：故選：B12．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量的分布列是01隨機(jī)變量的分布列是123以下錯(cuò)誤的為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對(duì)于B中，，所以B正確．對(duì)于C中，，，所以，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，，，，，，計(jì)算得，所以，所以D正確.故選：C．13．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列，則a＝（

）A．1 B． C． D．答案：C【解析】由題意得隨機(jī)變量X的分布列如表所示.X1Pa由分布列的性質(zhì)得，，解得.故選：C.14．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．答案：C【解析】由分布列性質(zhì)可得：，則，由,故選：C15．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為（k=1，2，3，4，5），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．P（0.5<<0.8）=0.2 C．P（0.1<<0.5）=0.2 D．P（=1）=0.3答案：D【解析】由題意可得，則，則，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確，故選：D.16．(2023·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)0＜a＜1．隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（

）A．E（X）不變 B．E（X）減小 C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大答案：D【解析】，∴E（X）增大；，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．經(jīng)典題型四：離散型隨機(jī)變量的均值17．(2023·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．答案：B【解析】盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．18．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）小明班的語(yǔ)文老師昨天報(bào)了一次聽寫，語(yǔ)文老師給了小明滿分分，但實(shí)際上小明有一處寫了個(gè)錯(cuò)別字，告訴了小王和小丁，錯(cuò)一處扣分，但小明自己不會(huì)給老師說(shuō)，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會(huì)告訴其他同學(xué)，老師知道后就會(huì)把分扣下來(lái)，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.19．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）冬奧會(huì)的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn)．冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀(jì)念品商店買了6個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了3個(gè)寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5答案：B【解析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B20．(2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機(jī)的初始位置為0號(hào)格，拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點(diǎn)數(shù)為1，2，飛機(jī)在原地不動(dòng)；若拋出的點(diǎn)數(shù)為3，4，飛機(jī)向前移一格；若拋出的點(diǎn)數(shù)為5，6，飛機(jī)向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格為事件．(1)求；(2)判斷事件是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由；(3)拋擲骰子2次后，記飛機(jī)所在格子的號(hào)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題意，因?yàn)轱w機(jī)每前移一格的概率為，故；（2）由題意，事件拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格，只能是前移了1格；事件拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動(dòng).故，，因此，所以事件，相互獨(dú)立．（3）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為01234所以．21．(2023·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)袋子里裝有顏色不同的個(gè)小球，其中紅球個(gè)，黃球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達(dá)到四次就終止取球，記取球結(jié)束時(shí)一共取球次，求隨機(jī)變量的分布列與期望．【解析】（1）連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的期望為．22．(2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））成都高中為了鍛煉高三年級(jí)同學(xué)的身體，同時(shí)也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來(lái)的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進(jìn)行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨(dú)立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故經(jīng)典題型五：離散型隨機(jī)變量的方差23．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測(cè)）已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個(gè)和白色小球個(gè)，從中任取3個(gè)，記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則（

）A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無(wú)關(guān)C．與m無(wú)關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無(wú)關(guān)答案：C【解析】由題可知：，，故，==．故選：C．24．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X，則X的方差為（

）A．0 B． C．3 D．5答案：C【解析】X可能取值為1，，3，，則，故選：C．25．(2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））隨機(jī)變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．35答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C26．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：A【解析】設(shè)隨機(jī)變量為X，其可能的取值是，對(duì)應(yīng)概率為，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，但無(wú)法判斷與1的大小，故無(wú)法判斷的大小，故CD錯(cuò)誤．故選：A．27．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，，，，.故選：D.28．(2023·浙江·三模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：D【解析】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.29．(2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：A【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，故選：A30．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量和，根據(jù)市場(chǎng)分析，和的分布列如下：(1)在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬(wàn)元，和（單位：萬(wàn)元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤(rùn)，求和；(2)將萬(wàn)元投資項(xiàng)目，萬(wàn)元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差之和.則當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？【解析】（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為，投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為.，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.31．(2023·北京延慶·模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦，帶動(dòng)中國(guó)3億多人參與冰雪運(yùn)動(dòng)，這是對(duì)國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)發(fā)展的巨大貢獻(xiàn)．2020《中國(guó)滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書》顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬(wàn)人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)從滑雪人次排名前10名的省份中隨機(jī)抽取1個(gè)省份，求該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)從滑雪人次排名前5名的省份中隨機(jī)選取3個(gè)省份，記這3個(gè)省份中2020-2021的滑雪人次超過(guò)150萬(wàn)人次的省份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記表格中2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)的方差分別為與，試判斷和的大小．結(jié)論不要求證明【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的頻率為．

設(shè)事件從滑雪人次排名前十的省份中隨機(jī)抽取1個(gè)省份，該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．所以；（2）由題意可知，X的可能取值是．

，，，所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學(xué)期望為=；（3）通過(guò)表格可以發(fā)現(xiàn)2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)中，2020-2021這一組數(shù)據(jù)比較分散不集中，所以．32．(2023·河南河南·一模（理））一個(gè)不透明袋子里裝有紅色小球x個(gè)，綠色小球y個(gè)，藍(lán)色小球z個(gè)，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個(gè)小球，規(guī)定取出的小球是藍(lán)色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.(1)若，從該袋子中隨機(jī)有放回的抽取2個(gè)小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；(2)從該袋子中隨機(jī)取一個(gè)小球，記Y為此小球的對(duì)應(yīng)積分，若，求.【解析】(1)由題意，抽取2個(gè)小球可能為{紅，紅}，{綠，綠}，{藍(lán)，藍(lán)}，{紅，綠}，{紅，藍(lán)}，{綠，藍(lán)}，則X可能為2、3、4、5、6，又每次抽到紅、綠、藍(lán)球的概率分別、、，∴，，，，，∴X的分布列如下：23456(2)由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，∴，則，，，∴.33．(2023·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校三模）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則，已知完成各工序所需時(shí)長(zhǎng)(小時(shí))如下表：

原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）【解析】（1）由題意得，，，，，，，，，，，，所以從6件原料中任選一件，有，，，，所以從6件原料中任選一件，的概率為；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，則，則；；，X的分布列為XP所以X的數(shù)學(xué)期望為；（3）>．經(jīng)典題型六：決策問題34．(2023·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）某新華書店將在六一兒童節(jié)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡在該書店購(gòu)書達(dá)到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購(gòu)書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個(gè)號(hào)碼分別為、、、、的小球（小球除號(hào)碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個(gè)小球（摸球者無(wú)法摸出小球號(hào)碼）．若雙方摸出的兩球號(hào)碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個(gè)積分，乙增加個(gè)積分；若號(hào)碼之差為偶數(shù)，則甲增加個(gè)積分，乙被扣除個(gè)積分．游戲開始時(shí)，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機(jī)變量，求的分布列；(2)以（1）中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對(duì)甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，記正整數(shù)的最小值為．①求的值，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率．【解析】(1)記“一局游戲后甲被扣除個(gè)積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個(gè)積分”為事件，由題可知，則，當(dāng)三局均為甲被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)兩局為甲被扣除個(gè)積分，一局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)一局為甲被扣除個(gè)積分，兩局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，當(dāng)三局均為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為－6P(2)①由（1）易得，顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零，當(dāng)游戲規(guī)則對(duì)甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，則需，所以，，即正整數(shù)的最小值；②當(dāng)時(shí)，記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，則，由題設(shè)可知若甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)則甲被扣除積分的局?jǐn)?shù)至多為，記“甲獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)”為事件，易知事件為“甲恰好有一局被扣除積分”，則，所以，，即在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購(gòu)書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率為．35．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【解析】（1）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：;第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：，因?yàn)椋?，所?所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元.由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬(wàn)元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）.36．(2023·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)有生產(chǎn)能力相同的甲、乙兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)成本相同的同一種產(chǎn)品.為保障產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門分別從這兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，并檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.根據(jù)該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)，統(tǒng)計(jì)得到甲、乙生產(chǎn)線的樣本頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標(biāo)值等級(jí)次品二等品一等品二等品三等品次品甲生產(chǎn)線（件）2194024141乙生產(chǎn)線（件）2165012191(1)根據(jù)樣本頻數(shù)分布表，估計(jì)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；(2)該企業(yè)為了守法經(jīng)營(yíng)，將所有次品銷毀，每銷毀一件次品的費(fèi)用為10元.已知一、二、三等品的售價(jià)分別為120元/件、90元/件、60元/件.為響應(yīng)政府拉閘限電的號(hào)召，企業(yè)計(jì)劃關(guān)停一條生產(chǎn)線.視頻率為概率，若您是企業(yè)的決策者，根據(jù)生產(chǎn)線效益的差異情況，您應(yīng)關(guān)停哪條生產(chǎn)線，并說(shuō)明理由.【解析】(1)∵乙生產(chǎn)線抽取了100件產(chǎn)品，由樣本頻數(shù)分布表可知，質(zhì)量指標(biāo)值位于前兩組的頻數(shù)為18，前三組的頻數(shù)為68，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為x，則，解得，∴乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為；(2)由題可得甲生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為X，則（元），乙生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為Y，則（元）（元），∴甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入低于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入，應(yīng)關(guān)停甲生產(chǎn)線.37．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級(jí)品可賣1700元，每件二級(jí)品可賣1000元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀.某日檢測(cè)抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出2