人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)37課時練習(xí)含答案

課時質(zhì)量評價(三十七)1．在空間直角坐標(biāo)系中，AB＝(1，－1，0)，BC＝(－2，0，1)，平面α的一個法向量為m＝(－1，0，1)，則平面α與平面ABC夾角的正弦值為()A．336 B．C．34 D．A解析：設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AB=x?y=0，n·BC=?2x+z=0.取x＝1，則y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ABC的一個法向量．設(shè)平面α與平面ABC的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·nmn＝12×62．(數(shù)學(xué)與文化)在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝22，若直線CA1與直線AB所成角為60°，則AA1＝()A．3 B．2C．22 D．23B解析：如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，22，0)．設(shè)A1(2，0，z)(z＞0)，則BA＝(2，0，0)，CA1＝(2，－22，z)，所以|cos〈BA，CA1〉|＝42×12+z2＝123．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1和DD1的中點(diǎn)，則平面ECF與平面ABCD夾角的余弦值為()A．33 B．C．13 D．B解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為2，則A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(xiàn)(0，2，1)，C(2，2，0)，所以CE＝(0，－2，1)，CF＝(－2，0，1)．設(shè)平面ECF的法向量為n＝(x，y，z)，則CE·n取x＝1，則y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ECF的一個法向量．易知m＝(0，0，1)是平面ABCD的一個法向量．設(shè)平面ECF與平面ABCD的夾角為θ，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·nmn＝所以平面ECF與平面ABCD夾角的余弦值為634．(多選題)如圖，三棱錐D-ABC的各棱長均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，則下列說法正確的是()A．OA，OB，OC的長度相等B．直線OD與BC所成的角是45°C．直線AD與OB所成的角是45°D．直線OB與平面ACD所成的角的余弦值為3AC解析：因?yàn)槿忮FD-ABC的各棱長均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，所以O(shè)A＝OB＝OC＝2，故A正確．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(2，2，2)，所以O(shè)B＝(0，2，0)，AC＝(－2，0，2)，AD＝(0，2，2)，OD＝(因?yàn)镺D·BC＝0，所以O(shè)D⊥BC，即直線OD與BC所成的角是90cos〈AD，OB〉＝AD·OBADOB＝22設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AC取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)為平面ACD的一個法向量．設(shè)直線OB與平面ACD所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈OB，n〉|＝OB·nOBn＝22×35．如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線．已知三棱錐P-ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，AB∥CD，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值為()A．34 B．C．155 D．C解析：以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，E(2，－1，0)，則有PC＝(2，2，－2)，AE＝(2，－1，0)，AP＝(0，0，2)．設(shè)平面PAE的法向量n＝(x，y，z)，則n·AE令x＝1，則y＝2，z＝0，即n＝(1，2，0)，所以cos〈PC，n〉＝PC·nPC所以直線PC與平面PAE所成角的正弦值為1556．在空間直角坐標(biāo)系中，若A(1，－2，0)，B(2，1，6)，則向量AB與平面Oxz的法向量的夾角的正弦值為．74解析：設(shè)平面Oxz的法向量為n＝(0，t，0)(t≠0)．由題意知AB＝(1，3，6)，所以cos〈n，AB〉＝n·ABnAB＝3t4t．因?yàn)椤磏，AB〉∈[0，π]，所以sin〈n，7．若在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為．24解析：設(shè)M為AC的中點(diǎn)，連接MB，MA1，如圖，由題意知△ABC是所以BM⊥AC，同理A1M⊥AC．因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因?yàn)锳1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，MA，MB，MA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AA1＝AC＝AB＝2，則A(1，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，3)，C1(－2，0，3)，所以AC1＝(－3，0，3)，A1B＝(0，3，－3)．設(shè)異面直線AC1與A1B所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈AC1，A1B〉|＝AC1TX→·A故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為24如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為13，則正四棱柱的高為4解析：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)DD1＝a(a＞0)，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，所以AC＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，a)，CC1＝(0，0，a)．設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AC取x＝1，則y＝1，z＝2a，所以n＝1，1，故cos〈n，CC1〉＝n＝22+4a因?yàn)橹本€CC1與平面ACD1所成角的正弦值為13所以22a2+4＝9．在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝22，PB⊥平面ABC，點(diǎn)M，N分別為AC，PB的中點(diǎn)，MN＝6，Q為線段AB上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A，B)．若異面直線PM與CQ所成角的余弦值為3434，則BQA．14 B．C．12 D．A解析：因?yàn)锳B＝BC＝2，AC＝22，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC．因?yàn)镻B⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，所以PB⊥AB，PB⊥BC．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，A(2，0，0)，所以BM＝2.因?yàn)镸N＝6，所以BN＝MN2?BM2設(shè)BQBA＝λ，則BQ＝λBA(0＜λ＜所以Q(2λ，0，0)．易知PM＝(1，1，－4)，CQ＝(2λ，－2，0)，所以PM·CQ＝1×2λ＋1×(－2)＋(－4)×0＝2λ－2，|PM|＝12+12+因?yàn)楫惷嬷本€PM與CQ所成角的余弦值為3434所以|cos〈PM，CQ〉|＝PM·CQPMCQ＝2λ?232×4λ2+410．(多選題)(2024·嘉興模擬)如圖，在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A．直線EF與直線AB所成的角為πB．直線EF與直線AD所成的角為πC．直線EF與平面BCD所成的角的正弦值為3D．直線EF與平面ABD所成的角的正弦值為2ABC解析：如圖，將正四面體ABCD放在正方體AGBH-MCND中，設(shè)正方體AGBH-MCND的棱長為2，以A為原點(diǎn)，AG，AH，AM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(2，0，2)，D(0，2，2)，E(1，1，0)，F(xiàn)(1，1，2)．因?yàn)镋F＝(0，0，2)，AB＝(2，2，0)，所以EF·AB＝0，即EF⊥因?yàn)锳D＝(0，2，2)，cos〈EF，AD〉＝EF·ADEFAD＝42×2設(shè)平面BCD的法向量為m＝(x1，y1，z1)，BC＝(0，－2，2)，BD＝(－2，0，2)，則m·BC取x1＝1，則y1＝1，z1＝1，所以m＝(1，1，1)為平面BCD的一個法向量．所以cos〈EF，m〉＝EF·mEFm＝故直線EF與平面BCD所成的角的正弦值為33設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則n·AB取x2＝1，則y2＝－1，z2＝1，所以n＝(1，－1，1)為平面ABD的一個法向量．所以cos〈EF，n〉＝EF·nEFn＝223＝3311．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.若PA＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60°，則平面PBC與平面PAB夾角的余弦值為．77解析：如圖，取AD的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)E，連接PF，F(xiàn)E，由已知可得FE∥AB，F(xiàn)E∥因?yàn)椤螧AP＝∠CDP＝90°，所以AB⊥PA，DC⊥PD，所以FE⊥PA，F(xiàn)E⊥PD．又因?yàn)镻A∩PD＝P，PA，PD?平面PAD，所以FE⊥平面PAD．因?yàn)锳D，PF?平面PAD，所以FE⊥AD，F(xiàn)E⊥PF.因?yàn)镻A＝PD，所以PF⊥AD．以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)E，F(xiàn)P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60°，所以AD＝2，所以A(1，0，0)，P(0，0，3)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)．所以BC＝(－2，0，0)，BP＝(－1，－2，3)，BA＝(0，－2，0)．設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，則n·BC取y1＝3，則x1＝0，z1＝2，所以n＝(0，3，2)是平面PBC的一個法向量．設(shè)m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，則m·BP取x2＝3，則y2＝0，z2＝1，所以m＝(3，0，1)是平面PAB的一個法向量．設(shè)平面PBC與平面PAB的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n，m〉|＝n·mnm＝所以平面PBC與平面PAB夾角的余弦值為7712．如圖，在三棱臺ABC-DEF中，AB＝2DE，M是EF的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AB上，AB＝4AN，平面DMN∩平面ADFC＝l.(1)證明：MN∥l；(2)若平面CBEF⊥平面ABC，AC⊥AB，AC＝CF＝FE＝EB，求直線AB與平面DMN所成角的正弦值．(1)證明：如圖，取FD的中點(diǎn)G，連接GM，AG.因?yàn)镸是EF的中點(diǎn)，所以GM∥DE，GM＝12DE因?yàn)樵谌馀_ABC-DEF中，DE∥AB，DE＝12AB，AB＝4AN所以GM∥AN，GM＝AN，即四邊形ANMG為平行四邊形，所以MN∥GA．因?yàn)镸N?平面ADFC，GA?平面ADFC，所以MN∥平面ADFC．因?yàn)镸N?平面DMN，平面DMN∩平面ADFC＝l，所以MN∥l.(2)解：因?yàn)槠矫鍯BEF⊥平面ABC，所以過點(diǎn)F作FO⊥CB于點(diǎn)O，則FO⊥平面ABC．由題意知CB＝2FE，AC＝CF＝FE＝EB，所以CO＝12CF＝1在△ABC中，AC＝12CB，AC⊥AB，所以∠ACB＝60°連接AO，在△ACO中，由余弦定理得OA2＝CO2＋AC2－2CO·ACcos60°＝34AC2所以CO2＋OA2＝AC2，所以O(shè)A⊥CO.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令A(yù)C＝2，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，－1，0)，F(xiàn)(0，0，3)，M(0，1，3)，所以AB＝(－3，3，0)，CA＝(3，1，0)，OD＝OF+FD＝OF＋12DM＝OM?OD＝DN＝DO+OA＋14設(shè)平面DMN的法向量為n＝(x，y，z)，則n·DM取x＝2，則y＝23，z＝1，所以n＝(2，23，1)為平面DMN的一個法向量．設(shè)直線AB與平面DMN所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈AB，n〉|＝AB·nABn＝所以直線AB與平面DMN所成角的正弦值為21713．(2024·1月九省適應(yīng)性測試)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.(1)證明：C1O⊥平面ABCD；(2)求平面BAA1與平面AA1D夾角的正弦值．(1)證明：如圖，連接BC1，DC1.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以BC＝DC．又因?yàn)椤螩1CB＝∠C1CD，CC1＝CC1，所以△C1CB≌△C1CD，所以BC1＝DC1.由題意知點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，所以C1O⊥BD．在△C1CO中，CC1＝2，OC＝12AC＝2，∠C1CO＝45°所以cos∠C1CO＝22＝C1C2+OC2則C1C2＝OC2＋C1O2，所以C1O⊥OC．又OC∩BD＝O，OC?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以CO1⊥平面ABCD．(2)解：由題意知在正方形ABCD中，AC⊥