5.3.1-樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

5.3

數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步1——對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗(yàn)，以取得有代表性的觀測值——對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類描述統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)2數(shù)參估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)回歸分析方差分析

推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)3美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特恩格爾(RobertF.Engle1942~)英國經(jīng)濟(jì)學(xué)克萊夫格蘭杰(CliveGranger1934~)共同獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎420世紀(jì)80年代兩位獲獎?wù)甙l(fā)明了新的統(tǒng)計(jì)方法來處理許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列中兩個(gè)關(guān)鍵屬性：易變性隨時(shí)間變化的非穩(wěn)定性5恩格爾

研究方向主要是利率、匯率和期權(quán)的金融計(jì)量分析格蘭杰

的研究涉及統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)時(shí)間序列分析、預(yù)測、金融、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、方法論等領(lǐng)域.提出譜分析回歸等創(chuàng)新性統(tǒng)計(jì)方法特別是6總體

——研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X

.

X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.總體和樣本

5.3.1樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布7樣本

——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱為總體X的一個(gè)容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).用表示,n為樣本容量.樣本空間

——樣本所有可能取值的集合.

個(gè)體

——

組成總體的每一個(gè)元素即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量X

的某個(gè)取值.用表示.8若總體

X的樣本滿足:一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是(1)與X

有相同的分布(2)相互獨(dú)立則稱為簡單隨機(jī)樣本.簡單隨機(jī)樣本----N/n

10.總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量9設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量----10例1

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計(jì)量是一樣本,是統(tǒng)計(jì)量,其中則但不是統(tǒng)計(jì)量.11常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為

n

的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量12為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k

階中心矩例如13例2

在總體中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解故14例3

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)學(xué)期望與方差(2)

(3)

解(1)15近似(3)由中心極限定理(2)16(1)

正態(tài)分布則特別地,則統(tǒng)計(jì)中常用分布若i.i.d.~若~17標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)分布的上

分位數(shù).若，則稱z

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)定義正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù).若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)18標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)圖形z

?

常用數(shù)字

/2

-z/2=z1-/2

/2

z/2?-z/2?19(2)分布

(n為自由度)定義設(shè)相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則n=1

時(shí),其密度函數(shù)為20n=2

時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.21一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為

函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的22n=2n=3n=5n=10n=15

23例如

分布的性質(zhì)

20.05(10)?n=1024(3)t

分布

(Student分布)定義則稱T服從自由度為n

的T分布.其密度函數(shù)為X,Y相互獨(dú)立,設(shè)25t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=2026t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上

分位數(shù)t

與雙測

分位數(shù)t/2

均

有表可查.27n=10t

-t

??

28t

/2-t

/2??

/2

/229(4)

F分布則稱F服從為第一自由度為n

,第二自由度為m的F

分布.

其密度函數(shù)為定義X,Y相互獨(dú)立，設(shè)令30m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1031F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故求F

(n,m)?

32單個(gè)正態(tài)總體常用抽樣分布的結(jié)論與相互獨(dú)立設(shè)總體,樣