備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問題命題點(diǎn)2定值問題

命題點(diǎn)2定值問題例2已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）.過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.（1）求直線l的斜率的取值范圍；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QM＝λQO，QN＝μQO，求證：1λ＋1μ解析（1）因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)（1，2），所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1（k≠0）.由y2=4x，y＝kx+1得k2x2＋（2k依題意，得Δ＝（2k－4）2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，－2）.從而k≠－3.所以直線l的斜率的取值范圍是（－∞，－3）∪（－3，0）∪（0，1）.（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.由（1）知x1＋x2＝－2k－4k2，x1直線PA的方程為y－2＝y(tǒng)1－2x1－令x＝0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝－y1+2x1－同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝－kx由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝1＝x1－＝1k－＝1k－＝2.所以1λ＋1μ方法技巧圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法1.特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.2.兩大解法（1）從特別入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).（2）引進(jìn)變量法，其解題流程為：訓(xùn)練2[2024武漢市四月調(diào)研]過點(diǎn)（4，2）的動(dòng)直線l與雙曲線E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸平行時(shí)，｜MN｜＝42，當(dāng)l與y軸平行時(shí)，｜（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是直線y＝x＋1上確定點(diǎn)，設(shè)直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若k1k2為定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析（1）依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可知雙曲線E過點(diǎn)（±22，2）和點(diǎn)（4，±23），所以8a2故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k（x－4）＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得y＝k（x－4）+2，x24－y24=1，消去y，得（k2－1）x2－（8k2－4設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＋x2＝8k2－4kk2－設(shè)P（t，t＋1），則k1k2＝（＝（＝k＝k＝（t當(dāng)t＝4時(shí)，不滿意k1k2為定值.當(dāng)t≠4時(shí)，若k1k2為定值，則t2+2t－11（t－4）2＝－8（t－1）4（t－