浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page17高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共5頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再求補(bǔ)集可得答案.【詳解】集合，則.故選：A.2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分必要條件的推斷方法推斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，取，明顯無意義，故不成立，則充分性不成立；當(dāng)時(shí)，，則，所以，則必要性成立；綜上：“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知命題p：“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由命題為真命題，則，解不等式得出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】命題為假命題，所以為真命題，則，解得故選：D4.已知，，且，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【答案】B【解析】【分析】依據(jù)基本不等式推斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，由，，且，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，解得，即的最大值為，故A正確；對于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是9，故C正確；對于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值是，故D正確.故選：B.5.設(shè)是函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖象的翻折變換作出函數(shù)圖象，視察圖象可得.【詳解】函數(shù)，先作函數(shù)的圖象，如圖：依據(jù)函數(shù)圖象的翻折變換可得的圖象如圖：由圖可知，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，滿意，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇偶性求得函數(shù)，然后再代入計(jì)算函數(shù)值．【詳解】，則，又函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則，所以，，故選：B．7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較.【詳解】在為增函數(shù)，，即，為減函數(shù)，，即，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8.已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），則函數(shù)f（x）為（）A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減C.非奇非偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 D.非奇非偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知求出a=，從而函數(shù)f（x）=，由此得到函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．【詳解】∵冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），

∴2a=，解得a=，

∴函數(shù)f（x）=，

∴函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BC【解析】【分析】逐一推斷定義域和對應(yīng)關(guān)系即可.【詳解】A選項(xiàng)：由得的定義域?yàn)?，由解得的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由得的定義域?yàn)?，由解得的定義域?yàn)?，且，故B正確；C選項(xiàng)：和的定義域都是R，，對應(yīng)關(guān)系相同，故C正確；D選項(xiàng)：對應(yīng)關(guān)系不同，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或【答案】ACD【解析】【分析】由不等式與方程之間的關(guān)系及題設(shè)條件得到之間的關(guān)系，然后逐項(xiàng)分析即可得出正確選項(xiàng).【詳解】由題意不等式的解集為或，則可知，即A正確；易知，和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，則；所以不等式即為，解得，所以B錯(cuò)誤；易知，所以C正確；不等式即為，也即，解得或，所以D正確.故選：ACD11.假如函數(shù)在上是增函數(shù)，對于隨意的，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)條件進(jìn)行推斷即可．【詳解】由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則與同號，由此可知，選項(xiàng)A，B正確；對于選項(xiàng)C，D，因?yàn)榈拇笮￡P(guān)系無法推斷，則的大小關(guān)系確定也無法推斷，故C，D不正確.故選：AB【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若函數(shù)在上是增函數(shù)，對于隨意的，則有（或者）；若函數(shù)在上是減函數(shù)，對于隨意的，則有（或者）；12.形如的函數(shù)，我們稱之為“對勾函數(shù)”.“對勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值可以是（）A.4 B.12 C. D.【答案】AD【解析】【分析】依題意得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種狀況探討，分別求出函數(shù)的最值，即可得到方程，解得即可.【詳解】依題意可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，，所以，解得；若，即時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，若且，即，，所以，解得或（舍去）；若且，即，，所以，解得或（舍去）；綜上可得或.

故選：AD非選擇題部分三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】，故答案為：．14.集合的子集個(gè)數(shù)是______．【答案】32【解析】【分析】確定出集合中元素個(gè)數(shù)，由子集的概念可得．【詳解】由已知，有5個(gè)元素，它子集個(gè)數(shù)為．故答案為：32.15.若函數(shù)在區(qū)間上既有最小值又有最大值，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)，探討函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)圖象分析可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上，對稱軸為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有最大值，無最小值；當(dāng)時(shí)，在上，在上單調(diào)遞增，所以有最大值，無最小值；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如圖所示，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使在上既有最小值又有最大值，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】由奇偶性求得的解析式，從而可得，然后由函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．詳解】由已知時(shí)，，即，所以在R上是增函數(shù)，且，不等式化為，所以，，所以，在時(shí)恒成立，，，所以的最小值是，故答案為：．四、解答題（共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），.（2）.【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的運(yùn)算可得；（2）依據(jù)集合的包含關(guān)系可解.【小問1詳解】由解得，當(dāng)時(shí)，，故，.【小問2詳解】由題知，（?。┊?dāng)，即時(shí)，符合題意；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)椋?，解得，所以．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18.已知命題，命題.（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和均為真命題，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由條件可得命題為真命題，列出不等式，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，先求得當(dāng)命題為真命題時(shí)的范圍，即可得到為真命題時(shí)的范圍，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】若命題為假命題，則命題為真命題，即在恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】當(dāng)命題為真命題時(shí)，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)闉檎婷}，則，又由（1）可知，命題為真命題時(shí)，所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知二次函數(shù)．（1）記的最小值為，求的解析式；（2）記的最大值為，求的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分類探討單調(diào)性和最小值，求出，最終寫成分段函數(shù)的形式即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分類探討函數(shù)最大值，求出，最終寫成分段函數(shù)的形式即可．【小問1詳解】二次函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸為直線，（）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值；（）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最小值；（）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值；綜上所述，.【小問2詳解】二次函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸為直線，（）當(dāng)，即時(shí)，右端點(diǎn)距離對稱性較遠(yuǎn)，此時(shí)的最大值；（）當(dāng)，即時(shí)，左端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，此時(shí)的最大值；綜上所述，.20.（1）已知正數(shù)滿意，求的最小值；（2）已知正數(shù)滿意，求的最小值．【答案】（1）25；（2）.【解析】【分析】（1）（2）妙用“1”求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為25.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.21.“綠色低碳、節(jié)能減排”是習(xí)近平總書記指示下的新時(shí)代發(fā)展方針.某市一企業(yè)主動響應(yīng)習(xí)總書記的號召，接受某項(xiàng)新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，以達(dá)到減排效果.已知該企業(yè)每月的二氧化碳處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.（1）該企業(yè)每月處理量為多少噸時(shí)，才能使其每噸的平均處理成本最低？（2）該市政府也主動支持該企業(yè)的減排措施，試問該企業(yè)在該減排措施下每月能否獲利？假如獲利，懇求出最大利潤；假如不獲利，則該市政府至少須要補(bǔ)貼多少元才能使該企業(yè)在該措施下不虧損？【答案】（1）500（2）不能獲利，該市政府須要補(bǔ)貼元【解析】【分析】（1）由題意列出每噸二氧化碳的平均處理成本的表達(dá)式，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解即可；（2）由題意列出該企業(yè)每月的利潤的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由題意，，所以每噸二氧化碳的平均處理成本為元，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以該企業(yè)每月處理量為500噸時(shí)，才能使其每噸的平均處理成本最低.【小問2詳解】設(shè)該企業(yè)每月的利潤為，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以該企業(yè)每月不能獲利，該市政府至少須要補(bǔ)貼元才能使該企業(yè)在該措施下不虧損.22.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．（1）推斷并用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)和已知列方程求出a，b，然后依據(jù)定義法證明單調(diào)性的步驟取值、作差、化簡、定號、下結(jié)論即可；（2）利用一元二次方程根的分布列不等式組求解可得；（3）令換元得，將問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，然后由求解可得.【小問1詳解】由，且是奇函數(shù)，得，于是，解得，即．經(jīng)檢驗(yàn)，是