高考數(shù)學微專題集專題25圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用微點2雙曲線的光學性質(zhì)及其應用(原卷版+解析)

專題25圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用微點2雙曲線的光學性質(zhì)及其應用專題25圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用微點2雙曲線的光學性質(zhì)及其應用【微點綜述】近年來，高考、高校自主招生考試以及各類數(shù)學競賽中都更加突出考察學生對于數(shù)學知識的綜合應用，同時也加大了數(shù)學運算量，而往往也是這些綜合性強、運算量大的數(shù)學試題成為拉開我們數(shù)學成績的分水嶺．在圓錐曲線中，經(jīng)常遇到的題目有曲線方程、運動軌跡、切線相關(guān)問題等，如果運用一般的方法，不但計算復雜繁瑣，而且非常容易出錯，這時就需要借助巧妙方法，結(jié)合圓錐曲線的光學性質(zhì)加以求解，不失為一種簡便又精確的好方法，這不僅會給改卷老師以耳目一新的感覺，還有助于我們?nèi)〉酶叻郑疚难芯亢妥C明了雙曲線的光學性質(zhì)，并舉例說明雙曲線光學性質(zhì)在求解雙曲線問題中的巧妙應用．一、雙曲線光學性質(zhì)及其證明1．雙曲線的光學性質(zhì)：【定理】從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖）．雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)在天文望遠鏡設(shè)計等方面有實際應用．二、雙曲線光學性質(zhì)及其證明1．幾個引理雙曲線光學性質(zhì)的證明，可以分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個引理：【引理1】若點在直線的同側(cè)，設(shè)點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線和直線的交點．證明：在直線上任取一個不同于點的點，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．【引理2】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設(shè)點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．證明：在直線上任取一個不同于點的點，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．證明：連接交雙曲線于點，當時，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有；當時，同理可證．在這里我們把雙曲線的光學性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．雙曲線光學性質(zhì)的幾何證明例11．已知，如圖，雙曲線，分別其左、右焦點，是過雙曲線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），連接并延長，在延長線上取點．求證：．（人射角等于反射角）3．雙曲線光學性質(zhì)的代數(shù)證明同橢圓類似，同理可給出雙曲線光學性質(zhì)的代數(shù)證法，過程略．三、雙曲線光學（聲學）性質(zhì)的應用上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學性質(zhì)，實際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學性質(zhì)相似的聲學性質(zhì)．1．解決入射與反射問題例22．雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．例3(2023·湖南衡陽·二模）3．圓錐曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點為在第一象限上的點，點在延長線上，點的坐標為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為2．雙曲線的光學性質(zhì)在實際生活中的應用雙曲線的光學（聲學）性質(zhì)在實際生活中有著廣泛的應用，下面各舉一些例子進行說明．從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光源（或聲源），經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線（聲音）是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣（見下圖）．如果有一道雙曲線形（一支）的圍墻，一個人站在其中一個焦點處朝著墻壁說話，聲音由墻壁反射到你的耳朵里，你會產(chǎn)生一種錯覺，覺得聲音不是從墻這邊的這個人發(fā)出的，而是從墻外較遠的一個地方（雙曲線的另一個焦點）發(fā)出的．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”，就是利用雙曲線的光學性質(zhì)．原來使用的新聞燈個頭比較大，外號叫“大頭燈”，這種燈要在很近的距離才能照清楚，而且燈光很刺眼．而我國研制的“雙曲線電瓶新聞燈”個頭小，卻可以照得很遠，光線又柔和．1972年美國總統(tǒng)訪問我國時，我國記者首次使用了這種燈，效果很好．例4(2023貴州師大附中高二月考）4．根據(jù)圓錐曲線的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，連雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下列問題：已知分別是雙曲線C：的左.右焦點，若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．例5(2023湖南·永州市第一中學高二月考）5．智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當入射光線和反射光線互和垂直時(其中為入射點)，的大小為（

）A． B． C． D．例66．從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)，已知某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其中，分別為該雙曲線的左、右焦點，從發(fā)出的兩條光線（共線反向）分別經(jīng)過雙曲線右支上的點和點，且經(jīng)過點的光線反射后經(jīng)過點，，若點在以點為圓心、為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為______．例77．鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標系中的方程與在平面直角坐標系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學中具有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠鏡利用了其光學性質(zhì)等等.（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點，為直線上一點.試探究當點的位置滿足什么條件時，取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.例88．閱讀下列材料，解決數(shù)學問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學性質(zhì)，被人們廣泛地應用于各種設(shè)計之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．【強化訓練】一、單選題9．智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當入射光線和反射光線互和垂直時(其中為入射點)，的大小為（

）A． B． C． D．10．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖,一個光學裝置由有公共焦點,的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點,歷時秒;若將裝置中的去掉,此光線從點發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點,歷時秒;若,則與的離心率之比為A． B． C． D．11．雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．12．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為A． B． C． D．(2023·四川省瀘縣第四中學模擬預測）13．根據(jù)圓維曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點，若從點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．(2023湖南·高二期中）14．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖，從雙曲線上焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過下焦點．某雙曲線方程為，為其下、上焦點，若從下焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（點、、三點共線），滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·河北·高三月考）15．如圖1所示，雙曲線具有光學性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．16．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·廣東茂名·模擬預測）17．雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當n過時，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則(2023·廣東湛江·高二期末）18．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左?右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（，在同一直線上），滿足，則（

）A．B．C．該雙曲線的離心率的平方為D．該雙曲線的離心率的平方為三、填空題(2023·安徽·中國科技大學附屬中學三模）19．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點.光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.已知以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點到中心的距離為____________.(2023·福建省福州第一中學高二期末）20．圓錐曲線有良好的光學性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發(fā)，經(jīng)過點F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.(2023湖北·大冶市第一中學高二月考）21．圓錐曲線的光學性質(zhì)（如圖①所示）在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有廣泛的應用，如圖②，一個光學裝置由有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點F1發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點F1，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點F1歷時n秒，若C與的離心率之比為，則=__________(2023江蘇南通·高二月考）22．拋物線的光學性質(zhì)：平行于拋物線的對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上這些性質(zhì)可以應用在天文望遠鏡的設(shè)計等方面卡塞格林式望遠鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當來自天體平行對稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會匯聚到卡塞格林焦點F處，但光線尚未完全匯聚時，又受到以F為焦點的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個焦點處以的中點為原點，為x軸，建立平面直角坐標系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.四、解答題23．閱讀下列材料，解決數(shù)學問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學性質(zhì)，被人們廣泛地應用于各種設(shè)計之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．24．綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知，是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．專題25圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用微點2雙曲線的光學性質(zhì)及其應用專題25圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用微點2雙曲線的光學性質(zhì)及其應用【微點綜述】近年來，高考、高校自主招生考試以及各類數(shù)學競賽中都更加突出考察學生對于數(shù)學知識的綜合應用，同時也加大了數(shù)學運算量，而往往也是這些綜合性強、運算量大的數(shù)學試題成為拉開我們數(shù)學成績的分水嶺．在圓錐曲線中，經(jīng)常遇到的題目有曲線方程、運動軌跡、切線相關(guān)問題等，如果運用一般的方法，不但計算復雜繁瑣，而且非常容易出錯，這時就需要借助巧妙方法，結(jié)合圓錐曲線的光學性質(zhì)加以求解，不失為一種簡便又精確的好方法，這不僅會給改卷老師以耳目一新的感覺，還有助于我們?nèi)〉酶叻郑疚难芯亢妥C明了雙曲線的光學性質(zhì)，并舉例說明雙曲線光學性質(zhì)在求解雙曲線問題中的巧妙應用．一、雙曲線光學性質(zhì)及其證明1．雙曲線的光學性質(zhì)：【定理】從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖）．雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)在天文望遠鏡設(shè)計等方面有實際應用．二、雙曲線光學性質(zhì)及其證明1．幾個引理雙曲線光學性質(zhì)的證明，可以分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個引理：【引理1】若點在直線的同側(cè)，設(shè)點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線和直線的交點．證明：在直線上任取一個不同于點的點，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．【引理2】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設(shè)點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．證明：在直線上任取一個不同于點的點，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．證明：連接交雙曲線于點，當時，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有；當時，同理可證．在這里我們把雙曲線的光學性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．雙曲線光學性質(zhì)的幾何證明例11．已知，如圖，雙曲線，分別其左、右焦點，是過雙曲線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），連接并延長，在延長線上取點．求證：．（人射角等于反射角）3．雙曲線光學性質(zhì)的代數(shù)證明同橢圓類似，同理可給出雙曲線光學性質(zhì)的代數(shù)證法，過程略．三、雙曲線光學（聲學）性質(zhì)的應用上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學性質(zhì)，實際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學性質(zhì)相似的聲學性質(zhì)．1．解決入射與反射問題例22．雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．例3(2023·湖南衡陽·二模）3．圓錐曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點為在第一象限上的點，點在延長線上，點的坐標為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為2．雙曲線的光學性質(zhì)在實際生活中的應用雙曲線的光學（聲學）性質(zhì)在實際生活中有著廣泛的應用，下面各舉一些例子進行說明．從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光源（或聲源），經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線（聲音）是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣（見下圖）．如果有一道雙曲線形（一支）的圍墻，一個人站在其中一個焦點處朝著墻壁說話，聲音由墻壁反射到你的耳朵里，你會產(chǎn)生一種錯覺，覺得聲音不是從墻這邊的這個人發(fā)出的，而是從墻外較遠的一個地方（雙曲線的另一個焦點）發(fā)出的．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”，就是利用雙曲線的光學性質(zhì)．原來使用的新聞燈個頭比較大，外號叫“大頭燈”，這種燈要在很近的距離才能照清楚，而且燈光很刺眼．而我國研制的“雙曲線電瓶新聞燈”個頭小，卻可以照得很遠，光線又柔和．1972年美國總統(tǒng)訪問我國時，我國記者首次使用了這種燈，效果很好．例4(2023貴州師大附中高二月考）4．根據(jù)圓錐曲線的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，連雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下列問題：已知分別是雙曲線C：的左.右焦點，若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．例5(2023湖南·永州市第一中學高二月考）5．智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當入射光線和反射光線互和垂直時(其中為入射點)，的大小為（

）A． B． C． D．例66．從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)，已知某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其中，分別為該雙曲線的左、右焦點，從發(fā)出的兩條光線（共線反向）分別經(jīng)過雙曲線右支上的點和點，且經(jīng)過點的光線反射后經(jīng)過點，，若點在以點為圓心、為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為______．例77．鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標系中的方程與在平面直角坐標系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學中具有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠鏡利用了其光學性質(zhì)等等.（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點，為直線上一點.試探究當點的位置滿足什么條件時，取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.例88．閱讀下列材料，解決數(shù)學問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學性質(zhì)，被人們廣泛地應用于各種設(shè)計之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．【強化訓練】一、單選題9．智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當入射光線和反射光線互和垂直時(其中為入射點)，的大小為（

）A． B． C． D．10．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖,一個光學裝置由有公共焦點,的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點,歷時秒;若將裝置中的去掉,此光線從點發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點,歷時秒;若,則與的離心率之比為A． B． C． D．11．雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．12．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為A． B． C． D．(2023·四川省瀘縣第四中學模擬預測）13．根據(jù)圓維曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點，若從點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點反射后，反射光線為射線AM，則的角平分線所在的直線的斜率為（

）A． B． C． D．(2023湖南·高二期中）14．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖，從雙曲線上焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過下焦點．某雙曲線方程為，為其下、上焦點，若從下焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（點、、三點共線），滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·河北·高三月考）15．如圖1所示，雙曲線具有光學性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．16．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·廣東茂名·模擬預測）17．雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當n過時，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則(2023·廣東湛江·高二期末）18．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左?右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（，在同一直線上），滿足，則（

）A．B．C．該雙曲線的離心率的平方為D．該雙曲線的離心率的平方為三、填空題(2023·安徽·中國科技大學附屬中學三模）19．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點.光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.已知以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點到中心的距離為____________.(2023·福建省福州第一中學高二期末）20．圓錐曲線有良好的光學性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發(fā)，經(jīng)過點F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.(2023湖北·大冶市第一中學高二月考）21．圓錐曲線的光學性質(zhì)（如圖①所示）在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有廣泛的應用，如圖②，一個光學裝置由有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點F1發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點F1，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點F1歷時n秒，若C與的離心率之比為，則=__________(2023江蘇南通·高二月考）22．拋物線的光學性質(zhì)：平行于拋物線的對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上這些性質(zhì)可以應用在天文望遠鏡的設(shè)計等方面卡塞格林式望遠鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當來自天體平行對稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會匯聚到卡塞格林焦點F處，但光線尚未完全匯聚時，又受到以F為焦點的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個焦點處以的中點為原點，為x軸，建立平面直角坐標系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.四、解答題23．閱讀下列材料，解決數(shù)學問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學性質(zhì)，被人們廣泛地應用于各種設(shè)計之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．24．綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知，是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．參考答案：1．證明見解析.分析：作關(guān)于切線的對稱點，連接交于點，利用同一法可得與點重合，進而即得.【詳解】作關(guān)于切線的對稱點，連接交于點，則，則要證，只需證明點和點重合，由引理2知點是直線上使得值最大的唯一點（顯然點和點到直線的距離不相等）；并且由引理3知點也是直線上使得值最大的唯一點，與點重合，所以．2．C分析：求出點，進而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在第一象限，，，，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應用，考查了運算求解能力，屬于一般題目.3．AD分析：證明出雙曲線在其上一點的切線的方程為，將點的坐標代入切線方程，求出點的坐標，可判斷ABC選項的正誤；計算出的斜率，可計算出的角平分線所在直線的斜率，可判斷D選項的正誤.【詳解】先證明結(jié)論雙曲線在其上一點的切線的方程為，由已知，聯(lián)立可得，即，解得，所以，雙曲線在其上一點的切線的方程為.本題中，設(shè)點，則直線的方程為，將點代入切線方程可得，所以，即點到軸的距離為，C錯；在雙曲線中，，，則，則、，所以，，，所以，，A對；，，所以，，則，B錯；因為的角平分線交軸于點，則，所以，，，則，故的角平分線所在直線的傾斜角為，D對.故選：AD.4．D分析：顯然在第一象限，然后根據(jù)已知求出點的坐標，再求出點的坐標，由此可得軸，設(shè)角的角平分線為，求出直線的傾斜角，即可求解．【詳解】解：由已知可得在第一象限，將點的坐標代入雙曲線方程可得：，解得，所以，又由雙曲線的方程可得，，所以，則，所以，且點，都在直線上，又，設(shè)過點與雙曲線相切的直線方程為，代入所以，設(shè)的角平分線為，則，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為，解得所以直線的斜率為故選：D．5．D【解析】先利用雙曲線的離心率為，得到，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，利用雙曲線的定義得到的長，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，則.所以，解得(已舍去).所以，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用雙曲線的相關(guān)知識解決實際問題.屬于較易題.6．分析：連接，，由題易知，，三點共線，設(shè)，，則，．再由余弦定理得到，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：如圖，連接，，由題易知，，三點共線，則由可知．設(shè)，，則，．由已知得，即，所以，所以，．在中，由余弦定理可得，得，故．故答案為：【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)，余弦定理的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查的學科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學探索、數(shù)學應用．7．（1）當?shù)奈恢檬沟脼榈钠椒志€時，取最大值；（2）證明見解析.分析：（1）作點A關(guān)于直線l對稱點，直線與x軸的交點即為取最大值時的點P，由三角形兩邊之差小于第三邊可證；（2）設(shè)入射光線從出射，入射點，則點在（曲線在入射點處的）切線上，先證明是切線上唯一使得取最大值的點，再由結(jié)論（1）可得切線即的角平分線，即反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.【詳解】（1）不妨設(shè)點到直線的距離比點到直線的距離大，作點關(guān)于直線的對稱點.當，，三點共線，即為的平分線時，有，當，，三點不共線，即不是的平分線時，取這樣的點，則，，能構(gòu)成一個三角形，故(兩邊之差小于第三邊)，因此，當且僅當?shù)奈恢檬沟脼榈钠椒志€時，取最大值.（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為b，左右焦點分別為，，入射光線從出射，入射點，反射光線，雙曲線在點處的切線，在點處的垂線，由光的反射定律，，關(guān)于對稱，故，關(guān)于對稱，要證：反射光線過點，只要證：是的角平分線，定義雙曲線焦點所在區(qū)域為雙曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域為雙曲線的外部，由雙曲線的定義，，雙曲線上任意一點滿足方程為，若，滿足不等式，即與焦點同在雙曲線內(nèi)部；若，滿足不等式，即在雙曲線外部.故：對于雙曲線內(nèi)部的任意一點，有，對于雙曲線外部的任意一點，有，又是雙曲線在點處的切線，故在上有且僅有一點使得，上其他點均有，故是上唯一使得取最大值的點，又，到直線距離不相等，根據(jù)(1)中結(jié)論，可知是的角平分線，故反射光線過點，命題得證.【點睛】設(shè)雙曲線左右焦點分別為，，則有：若為雙曲線上任意一點，則，且；若為雙曲線內(nèi)部任意一點，則，且；若為雙曲線外部任意一點，則，且.8．(Ⅰ)，焦點坐標為，；(Ⅱ).分析：(Ⅰ)由題意聯(lián)立直線方程與雙曲線方程確定a,b,c的值即可確定焦點坐標和離心率；(Ⅱ)由題意首先確定直線與反比例函數(shù)的交點坐標，然后結(jié)合點的坐標求解直線方程即可.【詳解】(Ⅰ)聯(lián)立直線方程與反比例函數(shù)可得雙曲線的頂點坐標為，，結(jié)合題意可得：，，則離心率，且，設(shè)焦點坐標為，則，則故焦點坐標為，.(Ⅱ)設(shè)入射光線與反比例函數(shù)的交點坐標為，由可得：，整理可得：，則，很明顯，故，則，原問題等價于求解直線PF的方程，所以直線PF的方程為，即9．D【解析】先利用雙曲線的離心率為，得到，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，利用雙曲線的定義得到的長，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，則.所以，解得(已舍去).所以，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用雙曲線的相關(guān)知識解決實際問題.屬于較易題.10．B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義,分別列出關(guān)系式再做差,得出橢圓雙曲線“復合”光學裝置中光線路程;然后計算單橢圓光學裝置中光線路程,兩者相比可得出橢圓長半軸和雙曲線實半軸的關(guān)系,即可得兩離心率的關(guān)系,即可求得答案.【詳解】如圖,由雙曲線定義得:①,由橢圓定義得:②,②①得:;橢圓雙曲線“復合”光學裝置中,光線從出發(fā)到回到左焦點走過的路程為:對于單橢圓光學裝置,光線經(jīng)過次反射后回到左焦點,路程為;由于兩次光速相同,路程比等于時間比,,..故選:B.【點睛】本題主要考查了圓錐曲線在實際中的應用,解題關(guān)鍵是掌握圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和理解題意,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.11．C分析：求出點，進而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在第一象限，，，，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應用，考查了運算求解能力，屬于一般題目.12．D分析：根據(jù)題意，可知光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，從而可計算光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長．【詳解】因為光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出所以，光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點如圖，，所以光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為故選：．13．B分析：顯然，在第一象限，然后根據(jù)已知求出點的坐標，再求出點的坐標，由此可得軸，設(shè)出角的角平分線為，求出直線的傾斜角，即可求解．【詳解】解：由已知可得，在第一象限，將點的坐標代