2023-2024學(xué)年四川省遂寧市射洪中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省遂寧市射洪中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=12+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.高三某班56人參加了數(shù)學(xué)模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績?nèi)缦拢?3，71，91，80，82，85，106，93，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為(

)A.81，95.5 B.81，85 C.83.5，92 D.83.5，913.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.π6 B.π3 C.2π34.如圖，在△ABC中，BC=4，AB=AC=25，若△ABC的水平放置直觀圖為△A′B′C′，則△A′B′C′的面積為(

)

A.2 B.22 C.35.已知α∈(?π2,π2)，且A.13 B.?79 C.?6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(3b?c)cosA=acosC，則cosA=A.33 B.24 C.7.若圓錐的母線長為23，側(cè)面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是(

)A.3π B.3π C.38.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.小明在和家人一起包粽子時(shí)，想將一丸子(近似為球)包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個(gè)邊長為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為(

)A.5126729π B.162二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對于兩個(gè)平面α，β和兩條直線m，n，下列命題中假命題是(

)A.若m⊥α，m⊥n，則n/?/α

B.若m/?/α，α⊥β，則m//β

C.若m/?/α，n/?/β，α⊥β，則m⊥n

D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n10.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A.函數(shù)f(x)最小正周期為T=π B.φ=π6

C.f(x)在區(qū)間[?5π12,?π6]上單調(diào)遞減 11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)，G，H，IA.HI//平面EFG

B.三棱錐A1?EFG的體積為12

C.過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為33

D.若AP=2，則點(diǎn)P的軌跡長度為3π

三、填空題：本題共312.已知a=(1,2)，b=(1,3)，則a?b13.某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人.已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生______人.14.設(shè)正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，則PC?PD的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,2),b=(2,?2),c=(λ+3,1)，向量a與向量b的夾角為θ．

(1)求cosθ的值．

(2)若16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，217.(本小題15分)

2024年中國全名健身走(跑)大賽(四川射洪站)城市聯(lián)動(dòng)接力賽在射洪市舉行，志愿者的服務(wù)工作是城市聯(lián)動(dòng)接力賽成功舉辦的重要保障，射洪市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；

(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sinxcosx?3cos2x+32．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π19.(本小題17分)

如圖，在四面體ABCD中，AB=BD=CD=3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，點(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，且AM=2MD，連接BM，CM．

(1)證明：BM⊥CD；

(2)求點(diǎn)D到平面BMC的距離；

(3)求二面角M?BC?D的余弦值．

答案解析1.D

【解析】解：因?yàn)閦=12+i=2?i(2+i)(2?i)=2?i5=22.D

【解析】解：將題目中的8個(gè)數(shù)從小到大排列為：71，73，80，82，85，91，93，106，

中位數(shù)為第四、五兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，等于82+852=83.5，

又∵8×70%=5.6，∴這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)，等于91．

∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為83.5，91．

故選：D3.B

【解析】解：根據(jù)正方體的性質(zhì)可知BA1//CD1，

所以∠AD1C是直線A1B與AD1所成角，

由于三角形ACD1是等邊三角形，所以∠AD4.B

【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=25，

所以底邊BC上的高為AO=(25)2?22=4，

所以△ABC的面積為S△ABC=5.B

【解析】解：α∈(?π2,π2)，且12sin2α?5cosα=9，

可得12?12cos2α?5cosα=96.A

【解析】解：∵在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c且有(3b?c)cosA=acosC，

∴由正弦定理可得：

(3sinB?sinC)cosA=sinAcosC，

整理得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，

即：3sinBcosA=sin(A+C)，

又∵A+B+C=π7.B

【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，因?yàn)槟妇€長為23，

所以側(cè)面展開圖的面積為πr×23=6π，

解得r=3，

所以圓錐的高為?=(28.A

【解析】解：由題意可得每個(gè)三角形面積為S=12×4×23=43，

由對稱性可知該六面體是由兩個(gè)正四面體合成的，可得該四面體的高為16?(433)2=463，

故四面體的體積為13×43×463=169.ABC

【解析】解：若m⊥α，m⊥n，則n/?/α或n?α，故A錯(cuò)誤；

若m/?/α，α⊥β，則m?β或m//β或m與β相交，故B錯(cuò)誤；

若m/?/α，n/?/β，α⊥β，則m/?/n或m與n相交或m與n異面，故C錯(cuò)誤；

若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n，故D正確．

故選：ABC．

10.ACD

【解析】解：對于A，由圖象知：f(x)的最小正周期T=2×(5π6?π3)=π，A正確；

對于B，由A知：ω=2πT=2，∴f(π3)=sin(2π3+φ)=1，

∴2π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=?π6+2kπ(k∈Z)，

又|φ|<π2，∴φ=?π6，B錯(cuò)誤；

對于C，由AB可知：f(x)=sin(2x?π6)，

當(dāng)x∈[?5π12,?π6]時(shí)，2x?π6∈[?π,?π2]，

∴f(x)11.BCD

【解析】解：選項(xiàng)A，如圖，設(shè)點(diǎn)K是棱DD1中點(diǎn)，由E，F(xiàn)，G，H，I均為所在棱的中點(diǎn)，

根據(jù)中位線易得HI//EF//KG，進(jìn)而可得HI與點(diǎn)EFG共面，所以HI?平面EFG，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，如圖，因?yàn)槊鍭1FG在正方體前側(cè)面上，所以點(diǎn)E到面A1FG的距離等于EA的長，

正方形A1B中S△A1FG=SABB1A1?S△AFA1?S△BFG?S△A1B1G=32，

則三棱錐A1?EFG的體積為V=13S△A1FG?EA=12，故B正確；

選項(xiàng)12.7

【解析】解：因?yàn)閍=(1,2)，b=(1,3)，

所以a?b=1×1+2×3=7．13.1800

【解析】解：由題意可知從三個(gè)年級中抽取的300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高三有120人，

所以抽取的比例為120720=16

設(shè)該校共有n名學(xué)生，可得300n=16，

解得n=180014.[0,32]

【解析】解：如圖，取DC的中點(diǎn)E，連接PE，

設(shè)AB為直徑的圓的圓心為O，半徑為r，

則由向量的極化恒等式可得：

PC?PD=PE2?EC2=PE2?4，

又PE∈[EO?r,EO+r]，又EO=4，r=2，

即PE∈[2,6]15.解：(1)因?yàn)閍=(1,2),b=(2,?2)，

所以|a|=12+22=5,|b|=22+(?2)2=22，a?b=1×2+2×(?2)=?2，

因?yàn)橄蛄縜與向量b【解析】(1)由平面向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求得；

(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程，求解即可．

16.解：(1)因?yàn)閟inA+3cosA=2，

所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，

由A為三角形內(nèi)角得A+π3=π2，

即A=π6；

(2)因?yàn)?bsinc=csin2B，

2bsinC=2csinBcosB，由正弦定理可得：2bc=2bccosB，

可得cosB=22，

又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π4【解析】(1)由輔助角公式及角A的范圍，可得角A的大小；

(2)由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范圍，可得角B的大小，進(jìn)而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，進(jìn)而求出△ABC的周長．

17.解：(1)由題意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=1?0.3，

解得a=0.005b=0.025；

(2)由(1)可知，每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均數(shù)為x?=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因?yàn)?.05+0.25=0.30>0.25，設(shè)第25百分位數(shù)為x，則x∈[55,65)，

則0.05+(x?55)×0.025=0.25，解得x=63，

故第25百分位數(shù)為63；

(3)設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績的平均數(shù)與方差分別為x?1,x?2,s12,s22，

且兩組頻率之比為0.25【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖分別表示出各組的頻率，由第一、二組的頻率之和為0.3及總的頻率之和為1列方程組解出a，b的值；

(2)分別寫出每一組的頻率，由平均數(shù)計(jì)算公式得到平均數(shù)，根據(jù)頻率和得到第25百分位數(shù)所在的組，由概率和為0.25解出第25百分位數(shù)的值；

(3)由第二組、第四組的頻率之比得到分層抽樣后兩組人數(shù)所占比例，再結(jié)合兩組各自的平均數(shù)和方差，由公式x?=5918.解：(1)函數(shù)f(x)=sinxcosx?3cos2x+32=12sin2x?32(1+cos2x)+32=sin(2x?π3)．

令π2+2kπ≤2x?π3≤2kπ+3π2，(k∈Z)，

整理得：5π12+kπ≤x≤kπ+11π12，(k∈Z)，【解析】(1)直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的單獨(dú)叫遞減區(qū)間；

(2)利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．

19.(1)證明：因?yàn)锳B⊥平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥CD，

因?yàn)镃D⊥BD，AB∩BD=B，AB，BD?平面ABD，

所以CD⊥平面ABD，

因?yàn)锽M?平面ABD，

所以BM⊥CD；

(2)解：因?yàn)锳B⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以AB⊥BD，

因?yàn)锳B=BD=3，所以AD=32，∠ADB=45°，

因?yàn)辄c(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，且AM=2MD，

所以AM=22,DM=2，點(diǎn)M到平面BCD的距離為?=13AB=1，

因?yàn)镃D⊥BD，BD=CD=3，所以BC=32，S△BCD=12×3×3=92，

由(1)知CD⊥平面ABD，因?yàn)锳D?平面ABD，所以CD⊥AD，

所以CM=CD2+DM2=9+2=11，

在△BDM中，由余弦定理得BM=BD2+DM2?2BD?DMcos∠BDM

=9+2?2×3×2×22=5，

在△BCM中，由余弦定理得cos∠BMC=5+11?182×5×11=?155，

所以sin∠BMC=1?155=5455，

所以S△BCM=12BM?CMsin∠BMC=12×5×11×5455=362，

設(shè)點(diǎn)D到平面BMC的距離為d，

因?yàn)閂D?BMC=VM?BCD，所以13S