《數(shù)值分析》配套教學課件

數(shù)值分析教材

數(shù)值分析

李慶揚、王能超、易大義（華中科技大學出版社，第四版）

數(shù)值分析孫志忠、

袁慰平等（東南大學出版社,第二版）

數(shù)值逼近蔣爾雄、趙風光、蘇仰峰（復旦大學出版社，第二版）第1章緒論一、數(shù)值分析能夠做什么？（應用問題舉例）§1Introduction1、一個兩千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算術》——這是一個線性方程組求解問題

2、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫——這是一個插值問題

3、人口預測

下面給出的是中國1900年到2000年的人口數(shù)，我們的目標是預測未來的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743——這是一個曲線擬合問題

4、鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.

這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L.

由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.——這是一個數(shù)值求積問題

二、數(shù)值分析的含義、內容與特點諾貝爾獎得主,計算物理學家Wilson提出現(xiàn)代科學研究的三大支柱：理論研究科學實驗科學計算計算數(shù)學21世紀信息社會的兩個主要特征：“計算機無處不在”“數(shù)學無處不在”21世紀信息社會對科技人才的要求：--會用數(shù)學解決實際問題--會用計算機進行科學計算——計算成為第三種科學方法建立數(shù)學模型選取計算方法編寫上機程序計算得出結果科學計算解題過程什么是數(shù)值分析？數(shù)值計算方法是計算數(shù)學的一個主要組成部分，它主要研究使用計算機求解各種科學與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法）;對求得的解的精度進行評估以及在計算機上實現(xiàn)求解等。數(shù)值計算方法已經(jīng)成為計算機處理實際問題的一個重要手段，從宏觀天體運動學到微觀分子細胞學，從工程系統(tǒng)到社會經(jīng)濟系統(tǒng)，無一能離開數(shù)值計算方法。因此，數(shù)值計算與計算機模擬被稱為“第三種研究科學方法”。

傳統(tǒng)數(shù)值分析的主要研究內容：1、數(shù)值逼近：插值、函數(shù)逼近與計算、擬合、FFT、數(shù)值積分與微分2、數(shù)值代數(shù)：方程求根、線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方程組的解法、特征值與特征向量3、微分方程數(shù)值解：ODE、PDE和有限元法4、最優(yōu)化方法：無約束優(yōu)化與有約束優(yōu)化方法

現(xiàn)代計算方法：融進了機器學習計算、仿生計算、網(wǎng)絡計算、以數(shù)據(jù)為核心的計算和各種普適計算、非線性科學計算等內容。數(shù)值分析的主要特點：借助計算機提供切實可行的數(shù)學算法.想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計.所提出的算法必須具有：可靠的理論分析;理時間復雜性好__指節(jié)省時間；空間復雜性好__指節(jié)省存儲量。計算復雜性好

通過數(shù)值實驗證明算法行之有效.如何學好數(shù)值分析？三、算法

描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語言和數(shù)學語言加以敘述，也可以借助形式語言（算法語言）給出精確的說明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。

定義：由基本運算及運算順序的規(guī)定所構成的完整的解題步驟，稱為算法。例：求解二元一次聯(lián)立方程組用行列式解法：首先判別

（1）如果，則令計算機計算

輸出計算的結果x1，x2。（2）如果D=0，則或是無解，或有無窮多組解。是否為零，存在兩種可能：令通過求解過程，可以總結出算法步驟如下：S2計算S3如果則輸出原方程無解或有無窮多組解的信息;否則S1輸入S4輸出計算的結果輸入

D=a11a22-a12a21D=0開始輸出

x1,x2

結束

No輸出無解信息Yes四、算法優(yōu)劣的判別

計算量的大小存貯量邏輯結構例：用行列式解法求解線性方程組:n階方程組，要計算n+1個n階行列式的值，總共需要做n!(n-1)(n+1)

次乘法運算。

n=20需要運算多少次？n=100?一、誤差的來源與分類從實際問題中抽象出數(shù)學模型——模型誤差例:質量為m的物體，在重力作用下,自由下落，其下落距離s

與時間t的關系是：

其中g

為重力加速度?！?誤差來源與誤差分析的重要性通過測量得到模型中參數(shù)的值——觀測誤差求近似解——方法誤差(截斷誤差）例如，當函數(shù)用Taylor多項式

近似代替時，數(shù)值方法的截斷誤差是（在與0之間）。四舍五入后……在數(shù)值計算方法中，主要研究截斷誤差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對計算結果的影響！

用計算機、計算器和筆算都只能用有限位小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：機器字長有限——

舍入誤差二、誤差分析的重要性

在數(shù)值計算中不注意誤差分析，用不同正確的方法可能產(chǎn)生不同的結果，甚至有的方法求得的結果是可行的，有的方法求得的結果是錯誤的。計算并估計誤差。例1.1:

數(shù)值計算在設計算法時首先關心的是由它產(chǎn)生的計算結果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與舍入誤差是否增長密切相關。一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定。

例：求定積分的值.解：直接積分可產(chǎn)生遞推公式若取初值可得遞推公式按公式就可以逐步算出注意此公式精確成立，且Whathappened?!不穩(wěn)定的算法！這就是誤差傳播所引起的危害!

NYBJ蝴蝶效應——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！這是一個病態(tài)問題由題設中的遞推公式（1）可看出，

的誤差擴大了5倍后傳給

，因而初值

的誤差對以后各步這就造成的計算結果嚴重失真。計算結果的影響，隨著

的增大愈來愈嚴重。要怎么做才能解決這個問題呢?可求得I90.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設I9I10，于是由將公式變?yōu)?/p>

I80.019I70.021 I60.024I80.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182穩(wěn)定的算法！

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。注：遞推公式(1)的舍入誤差以5的冪次增長進行傳播，因此是數(shù)值不穩(wěn)定的，而遞推公式(2)的舍入誤差在一定范圍內以0.2的冪次進行傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該算法是數(shù)值穩(wěn)定的。

因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使用的，實際計算中對任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn)定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。而對某些數(shù)據(jù)數(shù)值穩(wěn)定，對其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為條件穩(wěn)定。一、絕對誤差與絕對誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

定義1設是準確值，為

的一個近似值，稱§3誤差的基本概念但實際問題往往可以估計出不超過某個正數(shù)，即，則稱為絕對誤差限。有了絕對誤差限，就可以知道的范圍為即落在內。在應用上，常常采用下列寫法來刻劃的精度。為近似值的相對誤差，記作，通常取設是準確值，是近似值，是近似值的誤差，稱一般情況下是不知道的，怎么辦？相應地，若正數(shù)滿足則稱為的相對誤差限。二、相對誤差與相對誤差限有位有效數(shù)字。則稱其中，是1到9中的一個數(shù)字；是0到9中一個數(shù)字；為整數(shù)，且若近似值的誤差限是某一位的半個單位,該位到的左邊第一位非零數(shù)字共有位,就說有位有效數(shù)字。也即，若

三、有效數(shù)字取作的近似值，就有三位有效數(shù)字；取作的近似值，就有五位有效數(shù)字。例如：注：（1）例1.2,1.3。（2）若一近似數(shù)是由原真值經(jīng)四舍五入得到，則必為有效數(shù)。（3）若是一個位有效數(shù)字，則，這說明有

效位數(shù)越多，絕對誤差越小。

則

至少具有位有效數(shù)字。定理1對于用式表示的近似數(shù)，若具有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限為證明：由(*)式可得:

反之

即至少有位有效數(shù)字.

當有位有效數(shù)值時:

例1.4：例：用表示具有三位有效數(shù)字的近似值，則其相對誤差限要使的近似值的相對誤差限小于

,要取幾位有效數(shù)字?

四、數(shù)值運算的誤差估計設是一元函數(shù)，的近似值為,以近似，其誤差限記作，可用Taylor展開

介于之間.取絕對值得1、函數(shù)值的誤差（當自變量有誤差時）假定與的比值不太大,,可忽略的高階項,于是可得計算函數(shù)的誤差限為

當為多元函數(shù)時計算,如果的近似值為,則的近似為于是函數(shù)值的誤差由Taylor展開,得：于是誤差限為而的相對誤差限為(1.3.1)(1.3.2)例1.5:已測得某場地長的值為,寬的值為,已知,，試求面積的絕對誤差限與相對誤差限。

解:其中由式(1.3.1)得于是絕對誤差限為相對誤差限為2、四則運算的誤差估計設和分別是準確值和的近似值。（1）加法：令，則（2）減法：令，則（3）乘法：令，則（4）除法：令，則1.要避免兩個相近的數(shù)相減在數(shù)值計算中，兩個相近的數(shù)作減法時有效數(shù)字會損失。例:

求的值。當x=1000，y的準確值為0.01580

§4數(shù)值運算中誤差分析的方法與原則（誤差的控制）類似地

(2)若將原式改寫為則y=0.01581(1)直接相減有3位有效數(shù)字！只有1位有效數(shù)字2.盡量避免絕對值太小的數(shù)作分母例：如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時結果相差這么大!3.避免大數(shù)吃小數(shù)精確解為算法1：利用求根公式例：用單精度計算的根。在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094.簡化計算步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為例：多項式求值：給定的x求下列n次多項式的值。

解：1.用一般算法，即直接求和法；

2.逐項求和法；3.秦九韶方法(即Hornor算法）；先計算x2,x3,…,xn,再作線性組合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐項求和法按順序依次計算每一項的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以遞推實現(xiàn)。約翰·馮·諾依曼（JohnvonNeumann,1903-1957）美藉匈牙利人，1930年接受了普林斯頓大學客座教授的職位，西渡美國。1931年成為該校終身教授。1933年成為新成立的普林斯頓高等研究院的終身研究員。1951年至1953年任美國數(shù)學會主席。馮·諾依曼是20世紀少有的數(shù)學科學通才，在許多領域都有重要的貢獻，被西方人譽為“數(shù)學奇才、計算機之父”。馮·諾依曼對人類的最大貢獻是對計算機科學、計算機技術和數(shù)值分析的開拓性工作。第二章插值法§1引言一、引例已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.這就是本章要討論的“插值問題”

插值法是一種古老的數(shù)學方法。早在1000多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應用一次插值和二次插值的實例。

偉大的數(shù)學家：拉格朗日（Lagrange）、牛頓Newton）、埃爾米特（Hermite）等人分別給出了不同的解決方法。二、插值問題的定義這個問題稱為“插值問題”

(2.1.1)這里g(x)

稱為f(x)的插值函數(shù);節(jié)點稱為插值節(jié)點;條件(2.1.1)稱為插值條件;區(qū)間稱為插值區(qū)間。如果利用g(x)來求f(x)

在y點的近似值，則稱y為插值點。由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)f(x)，滿足條件

上一系列節(jié)點

處測得函數(shù)值,

當函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，設在區(qū)間定義2.1

插值函數(shù)的類型有很多種,最常用的插值函數(shù)是代數(shù)多項式。用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值，即選取次數(shù)不超過n的多項式Pn(x)，使得

代數(shù)插值一、插值多項式的存在唯一性？二、插值多項式的常用構造方法？三、插值多項式的誤差如何估計？

(2.1.2)一、插值多項式的存在唯一性設所要構造的插值多項式為：由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組：

（2.2.1）§2一般多項式插值此方程組的系數(shù)行列式為當

時，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。范得蒙行列式的轉置！定理2.1插值條件的n

階插值多項式Pn(x)存在且唯一。插值多項式的構造：插值多項式的存在唯一性說明，滿足插值條件的多項式存在，并且插值多項式與構造方法無關。如何構造插值函數(shù)才能達到預期的效果呢？對于給定的互異節(jié)點x0…xn,滿足

，用于插值的簡單函數(shù)集合+線性組合結構→插值多項式簡單函數(shù)元素集是指構成多項式的基函數(shù)集合，例如自然形式（2.2.1）的自然基底,、

、

(結構)(集合)若求自然形式(2.2.1)的插值多項式問題，只要求解線性方程組（2.2.2）計算出多項式系數(shù)即可。一般插值多項式的構造方法通過解方程組(2.2.2)求得插值多項式的方法并不可取.這是因為當n較大時解方程組的計算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大（可能是病態(tài)方程組）,當階數(shù)n越高時，

病態(tài)越重。怎樣可以不通過求解方程組而獲得插值多項式呢?在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)

,使不同的基函數(shù)的選取導致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插值Hermite插值1．n次拉格朗日插值多項式設連續(xù)函數(shù)

在上對給定的個不同節(jié)點上分別取函數(shù)值試構造一個次數(shù)不超過n的插值多項式使之滿足插值條件:

二、拉格朗日(Lagrange)插值定義2.2若n次多項式在個節(jié)點

上滿足條件由定理2.1得：

則稱這個次多項式為節(jié)點上的次插值基函數(shù)。因此，令的表達式推導：根據(jù)的定義，以外所有的結點都是

的根，又由，得：

2．線性插值(n=1)

xkxk+1(xk,yk)(xk+1

,yk+1)f(x)P1(x)3．拋物插值(n=2)p2(x)

f(x)xk-1xkxk+1f(x)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。

注：（1）

次數(shù)。（2）記，則，所以4、插值余項定理2.2

設在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內存在,則在[a,b]上的n+1個互異的節(jié)點，對

所作的n次Lagrange插值多項式有誤差估計

Rolle’sTheorem的推論:若充分光滑，且存在使得構造(固定)由Roll定理,知存在證明:當

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，，可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。插值多項式一般僅用來估計插值區(qū)間內點的函數(shù)值（即內插），用它來計算插值區(qū)間外點的函數(shù)值（即外插）時，誤差可能很大。注：

通常不能確定

,而是估計，x(a,b)，將作為誤差估計上限。通常取。也稱為Lagrange插值多項式的插值余項。當n=1時，當n=2時，例：已知分別利用1次、2次Lagrange插值計算

sin50，并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用利用

計算得：sin500.76008,

利用x0,x1

作為插值節(jié)點的實際誤差0.01001利用x1,x2作為插值節(jié)點的實際誤差

0.00596sin50=0.7660444…n=22次插值的實際誤差

0.00061三、牛頓插值（Newton’sInterpolation）Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)

都需要重新計算。希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可。能否重新在

中尋找新的基函數(shù)？回顧：Lagrange插值的優(yōu)缺點：

優(yōu)點：具有嚴格的規(guī)律性,便于記憶。

缺點：計算量大、不具有承襲性。利用插值條件代入上式，得關于的線性代數(shù)方程組:設當

互異時，系數(shù)矩陣非奇異，且容易求解1．差商及其性質(1)差商的定義定義2.3

設已知函數(shù)f(x)在互不相等的節(jié)點上的函數(shù)值為，

稱為f(x)在點xi,xj處的一階差商，記作f[xi,xj]；

稱為f(x)在點xi,xj,xk處的二階差商，記作f[xi,xj,xk]；稱為f(x)在點x0,x1,…,xk處的k階差商，記作f[x0,x1,…,xk]。

由差商定義知高階差商是兩個低一階差商的差商(2)差商的性質

性質1(差商與函數(shù)值的關系):記,則性質2

（對稱性）：差商的值與結點排列順序無關，即性質3(差商與導數(shù)的關系):設在上有階導數(shù),且則存在使得

性質4(特征定理):差商可列表計算：

f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xi

yi

一階差商

二階差商

n階差商

……x0x1x2xn-1xn

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1](3)差商的計算

利用差商的定義,可得的系數(shù)

:從而因此每增加一個結點，Newton插值多項式只增加一項，克服了Lagrange插值的缺點。

2.牛頓插值公式3.牛頓插值余項由插值多項式的唯一性可知，故其余項也相同，即命題

Newton插值多項式的余項為

其中從而，例:給定的數(shù)據(jù)表

2.202.402.602.803.000.788460.875470.955511.029621.098611.構造差商表2.分別寫出二次、四次Newton插值多項式解:構造差商表一階差商二階差商三階差商四階差商余項四、等距節(jié)點插值

引入(微商的離散化)：1．差分的定義設函數(shù)在等距節(jié)點上的值已知,這里為常數(shù),稱為步長，分別稱為在處以為步長的一階向前差分,一階向后差分,以及一階中心差分。高階差分：定義2.4

引進不變算子，移位算子，即則有

2、差分表（差分計算）計算各階向前差分可按如下差分表進行：計算各階向后差分可按如下差分表進行：3、差分的性質性質1

(差分與函數(shù)值的關系):

各階差分均可表示為函數(shù)值的線性組合:其中性質2(向前差分與向后差分的關系):性質3(差分與差商的關系):在等距節(jié)點的前提下，性質4(差分與導數(shù)的關系）：在等距節(jié)點的前提下，性質5：常數(shù)的差分等于零.性質6：差分算子為線性算子，即性質7：這個性質類比于

4、等距節(jié)點的牛頓插值公式牛頓公式:牛頓前插公式（用于計算最小節(jié)點附近的函數(shù)值）利用差分的性質,可將Newton公式簡化為(1)稱公式(1)為Newton向前差分插值公式,其余項為(2)牛頓后插公式（用于計算最大節(jié)點附近的函數(shù)值）如果將Newton插值公式改為按節(jié)點的次序排列的Newton插值公式,即(3)令x=xn-th,則當xn-1≤x≤xn時,0≤t≤1.利用差商與向后差分的關系,式(3)可簡化為(4)稱式(4)為Newton向后差分插值公式。其余項為注：一般當x

靠近x0時用前插，靠近xn時用后插，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。例

給定f(x)在等距節(jié)點上的函數(shù)值表如下:

xi0.40.60.81.0

f(xi)1.51.82.22.8分別用Newton向前和向后公式求f(0.5)及f(0.9)

的近似值.

解

先構造向前差分表如下:

xi

fi

△fi

△2fi△3fi

0.41.50.30.10.10.61.80.40.20.82.20.61.02.8

x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.

分別用差分表中第一行上的值和對角線的值,得Newton向前和向后插值公式如下:(1)

(2)當x=0.5時,用公式(1),這時t=(x-x0)/h=0.5.將t=0.5代入(1),得

f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375.當x=0.9時,用公式(2),這時t=(x3-x)/h=0.5.將t=0.5代入(2),得

f(0.9)≈N3(0.9)=2.46875.1．引入

在實際問題中，對所構造的插值多項式，不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導數(shù)也重合。即要求插值函數(shù)P(x)滿足:（1）把此類插值問題稱為相應的插值多項式稱為埃米爾特（Hermite）插值多項式或稱帶導數(shù)的插值多項式，記為H(x)。H(x)

存在且唯一。埃米爾特（Hermite）插值§3Hermite插值2.推導只討論函數(shù)值與導數(shù)值個數(shù)相等，且一階情況。設在節(jié)點上,要求插值多項式,滿足條件(2)這里給出的個條件,可唯一確定一個次數(shù)不超過的多項式其形式為根據(jù)條件(2)來確定個系數(shù),顯然非常復雜。(3)插值基函數(shù)及,共有個,每一個基函數(shù)都是次多項式,且滿足條件(Lagrange型Hermite插值多項式):基函數(shù)方法(3)于是滿足條件(2)的插值多項式可寫成用插值基函數(shù)表示的形式,即顯然有(4)下面利用Lagrange插值基函數(shù)求及。令其中是

由條件式(3)有整理,得解得由于兩端取對數(shù)再求導,得于是(5)同理可得(6)（1）仿照Lagrange插值余項，Hermite插值余項可描述為：(7)注：設在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內存在,則且依賴于，有插值余項（2）作為帶導數(shù)插值多項式(4)的重要特例是n=1的情形。這時可取節(jié)點為及,插值多項式為,滿足條件：(8)相應的插值基函數(shù)為,它們滿足：根據(jù)(5)式及(6)式的一般表達式,可得于是滿足條件(8)的插值多項式是其余項為（3）N個條件可以確定N-1階多項式，要求在1個節(jié)點處直

到

階導數(shù)都重合的插值多項式即為在點處的

Taylor多項式:

其余項為Newton型Hermite插值（1）單節(jié)點的重節(jié)點差商（2）多節(jié)點的重節(jié)點差商插值條件：重節(jié)點差商可列表計算：

重節(jié)點差商的計算其中，例1：已知

求三次多項式

P(x)滿足4.舉例解：例2：已知

求三次多項式

P(x)滿足注意:解：1.多項式插值的龍格現(xiàn)象例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)f(x)n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象§4

分段低次插值2.分段線性插值在每個子區(qū)間上，用1次多項式

(直線)逼近f(x):記,易證：當時，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函數(shù)的光滑性。則是分段一次的連續(xù)函數(shù)且滿足條件分段線性插值多項式的構造：

即為分段線性插值的基函數(shù)。

基函數(shù)只在附近不為零,在其它地方均為零。這種性質稱為局部非零性質。相應的分段線性插值函數(shù)為：分段線性插值的誤差估計：如果在上二階連續(xù)可微,則分段線性插值函數(shù)的余項有以下估計

其中,3.分段三次Hermite插值其中基函數(shù)為

給定節(jié)點，在節(jié)點上的函數(shù)值及導數(shù)值分別為,在每個子區(qū)間上作兩點三次Hermite插值，因此是分段三次，總體是直至一階導數(shù)連續(xù)，插值函數(shù)為分段Hermite插值余項:

由三次Hermite插值的余項可以估計分段Hermite插值的余項：設是給定節(jié)點

上的分段三次Hermite插值函數(shù)，，與的誤差限為其中，

要求：插值曲線既要簡單，又要在曲線的連接處比較光滑。

這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項式次數(shù)低，這種插值方法稱為——樣條插值。它所對應的曲線稱為樣條曲線，其節(jié)點稱為樣點，把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)，而在節(jié)點上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導數(shù)，圖2.1早期機翼下輪廓的放樣如圖2.1所示，在早期的板材曲線切割時，常把富有彈性的細長木條（樣條）固定在樣點上，其它地方讓其自由彎曲，然后畫出長條的曲線稱為樣條曲線，由此啟發(fā)設計整體連續(xù)光滑的樣條插值函數(shù)。

問題分段低次插值雖然具有簡單、收斂性、整體連續(xù)性及數(shù)值計算的穩(wěn)定性等優(yōu)點，但在節(jié)點處常有“尖點”出現(xiàn)，光滑性較差。特別是需要給出節(jié)點處的導數(shù)值，這在多數(shù)問題中是不實際的。如何在沒有節(jié)點導數(shù)數(shù)據(jù)時也能達到上述目的？為此引入樣條插值函數(shù)。1.引入§5三次樣條插值定義2.5設對y=f(x)在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點a=x0<x1<x2<…<xn=b和相應的函數(shù)值y0,y1,…,yn，如果s(x)具有如下性質：（1）在每個子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上s(x)是不高于三次的多項式;（2）s(x)，，s(x)在[a,b]上連續(xù)；則稱s(x)為三次樣條函數(shù).如再有（3）s(xi

)=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，

則稱s(x)為y=f(x)的三次樣條插值函數(shù)。注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導數(shù)值（除了在2個端點可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點的導數(shù)值。S(x)H(x)f(x)給定函數(shù)在[a,b]上的一組節(jié)點：及節(jié)點上的函數(shù)值

，函數(shù)是滿足下列條件的函數(shù)：的三次樣條插值；

2.三次樣條插值函數(shù)的構造(3)在插值節(jié)點處連續(xù)，即

(4)即(1)(2)在子區(qū)間

上是三次多項式，記為。

要保證S(x)的存在唯一性，必須附加兩個邊界條件。例如，滿足下列四種邊界條件中的任意一個：(1)固支邊界條件（D1-樣條）：3.邊界條件(2)彎矩邊界條件（D2-樣條）：

(3)自然邊界條件（自然樣條）：

(4)周期邊界條件（周期樣條）

：上述幾種邊界條件都有它們的實際意義，從力學角度看，附加邊界條件相當于在細梁兩端加上約束。工程中常用自然邊界條件求樣條插值函數(shù)，這類插值函數(shù)稱為自然樣條函數(shù)，利用插值條件和連續(xù)線性條件列出線性方程組并求解，是一種構造樣條的基本方法。構造思想:

通過構造含待定參數(shù)的分段三次Hermite插值多項式來構造三次樣條插值函數(shù)。

構造Hermite插值多項式需要知道被逼近函數(shù)f(x)的導數(shù)，而導數(shù)通常是不知道的。三次樣條插值函數(shù)的構造則不需要知道f(x)的導數(shù)值，直接將其作為待定參數(shù)，利用各節(jié)點在連接處的光滑性與連續(xù)性條件，建立關系式來確定待定參數(shù)，從而構造插值多項式。4.三彎矩方程設f(x)是定義在

[a,b]區(qū)間上的一個二次連續(xù)可微函數(shù)，令在每一個小區(qū)間

上都是三次多項式。S(x)在上的表達式為：

（1）(注意:未知)其中，將（1）兩次積分得：Ai和Bi為積分常數(shù)。

因為所以它滿足方程：

求得（2）同理求得:（3）求

Mi確定S(x)的表達式。由（2）式得由得（4）則（5）可以寫為記

整理得（5）（6）（1）D1-樣條：給定兩端點導數(shù)值

有

分別補充為方程組（6）的第一個和最后一個方程組，得D1-樣條的三彎矩方程為：

（2）D2-樣條：

給定邊界條件（6）中第一個方程變?yōu)椋海?）中最后一個方程變?yōu)椋旱萌龔澗胤匠倘羧0=Mn=0，稱為三次自然樣條，三彎矩方程為（3）周期樣條：

給定條件:，得由整理得整理得令則補充（6）中的最后及第一個方程，可得周期樣條的三彎矩方程：上述第一個方程化為所以周期樣條三彎矩方程為5、三次樣條插值的計算步驟(1)根據(jù)已知條件順次計算方程組系數(shù)

，求出三次樣條插值的三彎矩方程組；

(2)由給定邊界條件，確定

；(3)求解對應邊界條件下的三彎矩方程組，求出

；(4)將求出的代入(2)式，求出

上的三次樣條插值函數(shù)

對給定的點，須首先確定所在的子區(qū)間，

然后按三次樣條插值的計算步驟計算，進而求出

6.三次樣條插值函數(shù)的收斂性定義2.6

設是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記為函數(shù)的范數(shù)。定理2.3

設被插值函數(shù)為滿足邊

界條件的3次樣條插值函數(shù)，則在插值區(qū)

間上成立余項估計式其中,其次求:得方程組:得:歷史與注記

1756年，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。1766年任普魯士科學院數(shù)學部主任。1786年出任法國米制委員會主任。1795年拉格朗日被選為法蘭西研究院科學院數(shù)理委員會主席。1813年4月3日，拿破侖授予他帝國大十字勛章。

拉格朗日在數(shù)學上最突出的貢獻是使數(shù)學分析與幾何與力學脫離開來，使數(shù)學的獨立性更為清楚。他在數(shù)值計算上的主要貢獻是發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎。近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作，在數(shù)學史上被認為是對數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。拉格朗日(Joseph-LouisLagrange，1736～1813)拉格朗日1736年生于意大利都靈，1813年卒于巴黎。

在近代，插值法是觀測數(shù)據(jù)處理和函數(shù)制表所常用的工具，又是導出其它許多數(shù)值方法（如數(shù)值積分、非線性方程求根、微分方程數(shù)值解等）的依據(jù)。插值法的一般參考資料見文獻[1,2]，關于樣條的一篇有重要影響的論文參見文獻[3]。

插值一詞最早是由Wallis提出的，公元6世紀，中國劉焯已將等距二次插值用于天文計算。17世紀，牛頓和格雷果里建立了等距節(jié)點上的插值公式。18世紀，拉格朗日給出了更一般的非等距節(jié)點上的插值公式。1946年,Schoenberg首先提出了樣條插值函數(shù)。[1]P.J.Davies.TheFiniteElementMethod:AFirstApproach.OxfordUniversityPress,NewYork,1980.[2]M.J.D.Powell.ApproximationTheoryandMethods.CambridgeUniversityPress,NewYork,1981.[3]I.J.Schoenberg.Contributionstotheproblemofapproximationofequidistantdatabyanalyticfunctions.QuarterlyofAppliedMathematics4,1946.參考文獻第三章函數(shù)逼近與計算

在科學與工程技術的很多領域，人們常碰到大量帶有誤差的實驗數(shù)據(jù)，這時采用高次插值會出現(xiàn)震蕩，采用分段插值則會使函數(shù)非常復雜，無法準確反映被測函數(shù)的整體性態(tài)，因此，不適合用插值法。§1引言一、

問題的提出本章將從整體角度出發(fā),建立一種全新的評價標準,也就是最佳逼近。最佳逼近的出發(fā)點是在空間中引進范數(shù),逼近的好壞用范數(shù)來控制.二、

函數(shù)逼近問題的一般提法：注：本章中所研究的函數(shù)類通常為區(qū)間上

的連續(xù)函數(shù)，記做；而函數(shù)類通常

是代數(shù)多項式或三角函數(shù)。

對于函數(shù)類中的函數(shù)，要求在另一類較簡單的且便于計算的函數(shù)類中尋找一個函數(shù)

,使與

之差在某種度量意義下最小。1.線性相關與線性無關.

2.線性空間的維數(shù)與基.

3.連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]的維數(shù).

4.連續(xù)函數(shù)的逼近問題.

三、

線性空間的一些基本概念：定理1（維爾斯特拉斯定理）

若f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意

>0，總存在多項式

P(x)，使對一切a≤x≤b

有證明:

構造Bernstein多項式:有四、連續(xù)函數(shù)空間1．函數(shù)的范數(shù)定義1設表示定義在上的一個實值函數(shù),稱之為的范數(shù)，它具有下列性質:（3）三角不等式：即對任意兩個向量，(2)齊次性：即對任何實數(shù)，(1)非負性：即對一切有的-范數(shù)定義為:

的-范數(shù)定義為:

2．函數(shù)的兩個常用范數(shù)與的距離可以定義為:

或性質:3.內積空間1、定義稱二元關系為內積。設為(實)線性空間,對中每一對元素,在上定義了內積是指都有一實數(shù)，記為與之對應，且這個對應滿足:（2）（1）（3）（4）則稱為內積空間，4.兩種重要的內積空間n維歐氏空間，內積就是兩向量的數(shù)量積，即連續(xù)函數(shù)空間，內積可以定義為積分的運算或帶權函數(shù)的積分運算，即或5.權函數(shù)的定義設

(x)定義在有限或無限區(qū)間[a,b]上，若有下列性質：(1)對任意x

[a,b]，

(x)≥0；(2)積分存在，(n=0,1,2,…)；(3)對非負的連續(xù)函數(shù)g(x)

若

則在(a,b)上g(x)0。稱滿足上述條件的

(x)為[a,b]上的權函數(shù)。

6.Euclid范數(shù)及其性質定義6設為的Euclid范數(shù)。則稱量性質對于任何下列結論成立：1、2、3、（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四邊形定律)2．函數(shù)系的線性關系定義7設函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，如果關系式當且僅當時才成立，函數(shù)在上是線性無關，否則稱線性相關。則稱

連續(xù)函數(shù)在上線性無關的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式定理4其中，

是任意實數(shù)，則并稱是生成集合的一個基底。的全體是

的一個子集，記為設是上線性無關的連續(xù)函數(shù),五、常用的度量標準：

(一)一致逼近若以函數(shù)f(x)和P(x)的最大誤差作為度量誤差

f(x)－P(x)

“大小”的標準,在這種意義下的函數(shù)逼近稱為最優(yōu)一致逼近多項式。(二)平方逼近：采用作為度量誤差“大小”標準的函數(shù)逼近稱為平方逼近或均方逼近。1.正交則稱f(x)

與g(x)

在[a,b]上帶權

(x)

正交。

若則稱與正交。設，若一、正交多項式

§2正交多項式設在[a,b]上給定函數(shù)系，若滿足條件則稱函數(shù)系是[a,b]上帶權

(x)的正交函數(shù)系。特別地，當Ak1時，則稱該函數(shù)系為標準正交函數(shù)系。

若上述定義中的函數(shù)系為多項式函數(shù)系，則稱之為

[a,b]

上帶權

(x)的正交多項式系。例如,三角函數(shù)族就是區(qū)間上的正交函數(shù)族.2、正交化手續(xù)

一般來說，當權函數(shù)及區(qū)間給定以后，可以由冪函數(shù)系利用正交化方法構造出正交多項式系。3.正交多項式的性質(1)是最高次項系數(shù)為1的次多項式.(2)任一次多項式均可表示為

的線性組合.(3)當時,且與任一

次數(shù)小于的多項式正交.(4)遞推性其中這里且都在區(qū)間內.(5)設是在上帶權項式序列,的正交多則的個根都是單重實根,1.Legendre(勒讓德)多項式(1)定義

多項式稱為n次勒讓德多項式。二、常用的正交多項式

(2)性質勒讓德多項式序列是[-1,1]上帶權的正交多項式序列。即正交性:遞推關系:相鄰的三個勒讓德多項式具有如下遞推關系式：當n為偶數(shù)時，為偶函數(shù)；當n為奇數(shù)時，

為奇函數(shù)。

在區(qū)間[-1,1]內部存在n個互異的實零點。

奇偶性：

的最高次項系數(shù)為

令，則最高次項系數(shù)為1

(1)定義稱為n次Chebyshev多項式.[注]令則而故為關于的次代數(shù)多項式。2.第一類切比雪夫多項式(2)性質正交性：由Tn(x)所組成的序列{Tn(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權

的正交多項式序列。且

遞推關系相鄰的三個切比雪夫多項式具有如下遞推關系式：

奇偶性：

切比雪夫多項式

，當

為奇數(shù)時為奇函數(shù)；

為偶數(shù)時為偶函數(shù)。

在區(qū)間[-1,1]上有

個不同的零點令得

Tn(x)

在[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1

和最小值-1。

切比雪夫多項式的極值性質Tn(x)

的最高次項系數(shù)為2n-1(n=1,2,…)。

在區(qū)間[-1,1]上，在所有首項系數(shù)為1的n次多項式中,與零的偏差最小，偏差為：(3)應用多項式的降階多項式的降階問題事實上等價于求次多項式的不超過次最佳一致逼近多項式問題。即求使其滿足：由于首項系數(shù)為1的次Chebyshev多項式的無窮范數(shù)最小，故有(1)于是設例1設f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)

在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表達式可知b４＝４,注：對區(qū)間為［a,b］的情形，先作變換

x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后對變量為t的多項式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反變換得到［a,b］上的最佳一致逼近多項式.由(1)式得首項系數(shù)為1的4次Chebyshev多項式為:3、其他常用的正交多項式(1)第二類Chebyshev(切比雪夫)多項式定義：

稱為第二類切比雪夫多項式。性質:①是區(qū)間[-1,1]上帶權的正交多項式序列。②相鄰的三項具有遞推關系式：(2)拉蓋爾(Laguerre)多項式定義：稱多項式為拉蓋爾多項式。性質：是在區(qū)間[0,+∞]上帶權

的正交多項式序列。

②

相鄰的三項具有遞推關系式：

(3)埃爾米特(Hermite)多項式定義：稱多項式

為埃爾米特多項式。性質:的正交多項式序列。①是區(qū)間(-,+)上帶權②相鄰的三項具有遞推關系式：§3最佳平方逼近

1.

對于給定的函數(shù)要求函數(shù)使若這樣的存在，上的最佳平方逼近函數(shù)。則稱為在區(qū)間特別地，若則稱為在上的次最佳平方逼近多項式。求最佳平方逼近函數(shù)的問題可歸結為求它的系數(shù),使多元函數(shù)取得極小值。由于是關于的二次函數(shù)，故利用多元函數(shù)取得極值的必要條件，可得得方程組如采用函數(shù)內積記號方程組可以簡寫為寫成矩陣形式為法方程組！

由于0,1,…,n線性無關，故Gn

0，于是上述方程組存在唯一解。從而肯定了函數(shù)f(x)在中如果存在最佳平方逼近函數(shù)，則必是下證滿足（3.11），即對任何有考慮由于的系數(shù)是方程（3.13）的解，故于是故是在中的最佳平方逼近函數(shù)。2.最佳平方逼近的誤差若令,其中,則平方誤差為取既要在中此時求次最佳平方逼近多項式2.舉例求在中的最佳平方逼近元。解：這是上的最佳平方逼近問題.取記因為所以，關于的法方程組為解得即為中對的最佳平方逼近元。4.函數(shù)按正交多項式展開設為其中上帶權的正交多項式系，給定若為在上的次最佳平方逼近多項式，則由正交多項式的性質，得即例：求在上的三次最佳平方逼近多項式。解：先計算即得所以有均方誤差為最大誤差為

在所有首項系數(shù)為1的

次多項式中，勒讓德多項式在上與零的平方誤差最小。證明：它可表示為設是任意一個最高項系數(shù)為1的次多項式，于是定理：一、問題提出已知測量數(shù)據(jù)：要求簡單函數(shù)使得總體上盡可能小。稱為“殘差”這種構造近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合；合函數(shù)。稱為擬§4曲線擬合的最小二乘法注：使盡可能小的度量準則:常見做法：使最小較復雜使最小不可導，求解困難使最小二、曲線擬合的步驟：（3）根據(jù)某一逼近準則確定擬合函數(shù)的未知參數(shù)；（2）觀察散點分布，選擇適當?shù)暮瘮?shù)類來構造擬合函數(shù)；（1）根據(jù)已知條件畫出散點圖；這一方法稱為數(shù)據(jù)擬合法，得到的函數(shù)p(x)稱為擬合曲線。線性擬合問題三、最小二乘法(2-范數(shù)度量下的曲線擬合)對于一組數(shù)據(jù)和權函數(shù)，要在函數(shù)類中找一個函數(shù)使得誤差平方和其中即上述問題轉化為求多元函數(shù)的極小點問題。由極值必要條件得記于是得到關于的方程組（法方程組或正規(guī)方程組）由于線性無關，所以上述方程組有唯一解，設為，從而有多項式擬合問題取稱為多項式擬合。得到的擬合函數(shù)非線性擬合（1）雙曲擬合（2）對數(shù)擬合（3）指數(shù)擬合（4）冪函數(shù)擬合舉例給定的一組數(shù)據(jù)，求擬合函數(shù)。解：作圖可知所有點都分布在一條直線的附近，即擬合函數(shù)近似為一個線性函數(shù)，故可設將數(shù)據(jù)帶回，即可得擬合函數(shù)令則解得第四章數(shù)值積分§1引言【數(shù)值積分的必要性】本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求函數(shù)的原函數(shù)?有解析表達式；?為初等函數(shù)．

例如求由函數(shù)給定的曲線,從到間的弧長L。實際問題1.

的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。

由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分。類似的下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示的原函數(shù):2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示,但表達式相當復雜,計算極不方便.例如函數(shù):并不復雜,但它的原函數(shù)卻十分復雜:3.

沒有解析表達式，只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來計算積分有