專(zhuān)題08 因式分解壓軸題（解析版）（人教版）

專(zhuān)題08因式分解壓軸題的四種考法類(lèi)型一、整體法例．如果3x2-4y2-4xy+4y+2x-1因式分解的結(jié)果為.【答案】(3x+2y-1)(x-2y+1)【分析】把2y-1當(dāng)成一個(gè)整體，再因式分解即可.【詳解】原式=3x2-4xy+2x-4y2+4y-1=3x2-2x(2y-1)-(2y-1)2=3x+(2y-1)x-(2y-1)=(3x+2y-1)(x-2y+1)故答案為：(3x+2y-1)(x-2y+1).【點(diǎn)睛】題目主要考查利用整體法及公式法進(jìn)行因式分解，理解題中的整體思想是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】因式分解：x2+1x2+6x+1+2x2+1)2y2(2)x2(y-z)3y2(z-x)3+z2(x-y)3【答案】(1)9(x2+4x+1)(x+1)2(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)【分析】（1）先將x2+6x+1和x2+1分別看作一個(gè)整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是關(guān)于x、y、z的輪換式，若將原式視為關(guān)于x的多項(xiàng)式，則當(dāng)x=y時(shí)，原式=0，故原式含有因x-y，又因?yàn)樵绞顷P(guān)于x，y，z的輪換對(duì)稱(chēng)式，故原式還含因y-z，z-x，又因?yàn)樵綖閤，y，z的五次式，因此可以設(shè)y2x2(y-z)3y2利用待定系數(shù)法即可求解.22x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2)x2+4x+1)(x2+2x+1)x2+4x+1)(x+1)2（2）解：當(dāng)x=y時(shí)，原式等于0，故原式含有因x-y，又因?yàn)樵绞顷P(guān)于x，y，z的輪換對(duì)稱(chēng)式，故原式還含因y-z，z-x，又因?yàn)樵綖閤，y，z的五次式，故可設(shè)x2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)令x=-1，y=0，z=1得2A-B=-1，令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，所以x2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx).【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系數(shù)法，熟練掌握和運(yùn)用這些方法因式分解是解題的關(guān)鍵.(1)2mx2-4mx+2m；x2+4)2-16x2.【答案】(1)2m(x-1)2(2)(x+2)2(x-2)2(3)(y+2)2(y-2)2【分析】（1）先提公因式2m，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（2）先用平方差公式進(jìn)行因式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（3）先把y2-1看成一個(gè)整體，利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，再利用平方差公式進(jìn)行分解.【詳解】（1）2mx2-4mx+2m2(x-2x+1)2=2m(x-1)2；x2+4)2-16x2x2+4)2-(4x)2x2+4+4xx2+4-4x)(x-2)2；（3）(y2-1)2-6(y2-1)+9=(y2-1-3)2=(y2-4)2=(y+2)2(y-2)2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式，整體思想，是解決本題的關(guān)鍵.再進(jìn)一步利用多項(xiàng)式乘法計(jì)算展開(kāi)，把(x2+7x)看作整體，在配方成完全平方式，進(jìn)一步探討即可得出答案.2x2x2+7x+11)2+k-1∴k-1=0，【點(diǎn)睛】此題考查完全平方式的運(yùn)用，注意常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.類(lèi)型二、添、拆項(xiàng)例．分解因式x3﹣3x2﹣6x+8=.【詳解】解：x3﹣3x2﹣6x+8=x3-3x2+2x-2x-6x+8=x3-3x2+2x)-(8x-8)=x(x-1)(x-2)-8(x-1)=(x-1)x(x-2)-87」=(x-1)(x2-2x-8)=（x﹣4x﹣1x+2故答案為x﹣4x﹣1x+2）.【變式訓(xùn)練1】把多項(xiàng)式分解因式：x3﹣2x2+1=.3232【變式訓(xùn)練3】添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式a2-1可以用如下方法分解因式：①a2-1=a2-a+a-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1)；又比如多項(xiàng)式a3-1可以這樣分解：②a3-1=a3-a2+a2-a+a-1=a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a2+a+1)；仿照以上方法，分解多項(xiàng)式a5-1的結(jié)果是.【答案】(a-1)(a4+a3+a2+a+1)【詳解】解：a5-1=a5-a4+a4-a3+a3-a2+a2-a+a-1=a4(a-1)+a3(a-1)+a2(a-1)+a(a-1)+a-1故答案為：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)類(lèi)型三、化簡(jiǎn)求值例．已知a2(b+c)=b2(a+c)=2022，且a1b，則-abc的值為()A．2022B．-2022C．4044【答案】A【分析】先將式整理變形得（a-b)(ab+ac+bc)=0，進(jìn)而得出ab+ac+bc=0，即ab+bc=-ac，再將b2(a+c)=2022展開(kāi)，最后整理代入即可得出答案.所以a2b+a2c-b2a-b2c=0，整理，得ab(a-b)+c(a2-b2)=0，則ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0，a-b)(ab+ac+bc)=0.因?yàn)閍1b，即ab+bc=-ac.由b2(a+c)=2022，得b(ab+bc)=2022，所以-abc=2022.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入思想是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】．已知m2=2n+1，4n2=m+1(m≠2n)，那么m+2n=，4n3-mn+2n2=.【答案】-104n2=m+13mn=n，可以得出，2n2=所以4n3mn+2n2=(4n3mn)+2n2=n+m+1)=2n+m+1)=)=0從而得出結(jié)論.【詳解】解：∵m2=2n+1，4n2=m+1(m≠2n)，∴m24n2=2n+1m1∴m24n2=2nm，∴m＋2n=?1；∴4n3mn+2n2=(4n3mn)+2n2=n+m+1)=2n+m+1)=故答案是：?1；0.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解在整式計(jì)算求值中運(yùn)用和技巧，將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，靈活運(yùn)用因式分解是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023，且a、b、c互不相等，則c2【答案】1即可獲得答案.∴a2b+a2cab2b2c=0，∴abc=2023，∴c2(a+b)2024=c(ac+bc)2024=c(ab)2024=abc2024=【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及因式分解等知識(shí)，利用已知條件找到ab+ac+bc=0是解題關(guān)鍵.【答案】2020再分別與前后兩項(xiàng)重新組合，提公因式后把兩個(gè)已知等式代入，即可解決.【詳解】∵m2=n+2020，n2=m32mn+n3=m(m2n)+n(n2m)=2020(m+n)故答案為：-2020【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用到了一種變形：拆項(xiàng)，這也是本題的難點(diǎn)所在.類(lèi)型四、新定義問(wèn)題例．材料一：若一個(gè)兩位數(shù)滿(mǎn)足這個(gè)兩位數(shù)等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱(chēng)這個(gè)兩位數(shù)為“寧?kù)o數(shù)”．例如：12是“寧?kù)o數(shù)”，:12=4×(1+2)，:12是“寧?kù)o數(shù)”；34不是“寧?kù)o數(shù)”，:34≠4×(3+4)，:34不是“寧?kù)o數(shù)”.材料二：一個(gè)四位自然數(shù)M=1000a+100b+10c+d，將其千位數(shù)字與十位數(shù)字組成的兩位數(shù)記作ac，將其百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)記作bd，若ac和bd都均為“寧?kù)o數(shù)”，則稱(chēng)M為“致遠(yuǎn)數(shù)”，將M千位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的四位數(shù)M,，記F(1)判斷12是否為“寧?kù)o數(shù)”，3469是否是“致遠(yuǎn)數(shù)”？并說(shuō)明理由；(2)若一個(gè)四位自然數(shù)N是“致遠(yuǎn)數(shù)”，且F(N)與9的和能被4整除，請(qǐng)求出所有符合條件的“致遠(yuǎn)數(shù)”N.【答案】(1)12是“寧?kù)o數(shù)”，3469不是“致遠(yuǎn)數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)1122，3162，2346，4386【分析】（1）根據(jù)“寧?kù)o數(shù)”和“致遠(yuǎn)數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)新定義，求出F(N)=10a+b，由題意可得出a，b的取值，即可求解.【詳解】（1）解：12是“寧?kù)o數(shù)”，3469不是“致遠(yuǎn)數(shù)”，理由如下：:12=4×(1+2)，:12是“寧?kù)o數(shù)”；:3469不是“致遠(yuǎn)數(shù)”；（2）解：設(shè)四位自然數(shù)N=abcd=1000a+100b+10c+d，且a，b，c，d不為0，則N,=cdab=1000c+100d+10a+b，:N是“致遠(yuǎn)數(shù)”，:c=2a，d=2b，:F(N)==:“寧?kù)o數(shù)”必為4的倍數(shù)且是兩位數(shù)，:“寧?kù)o數(shù)”有12，24，36，48，:a、b可以是1，2，3，4，又:F(N)與9的和能被4整除，即10a+b+9是偶數(shù)，:b=1或3，對(duì)應(yīng)的致遠(yuǎn)數(shù)有：1122，3162，對(duì)應(yīng)的致遠(yuǎn)數(shù)為：2346，4386，綜上所述，符合條件的“致遠(yuǎn)數(shù)”N有：1122，3162，2346，4386.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義.【變式訓(xùn)練1】．閱讀：證明命題“一個(gè)三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個(gè)數(shù)就可以被3整除”.設(shè)abc表示一個(gè)三位數(shù)，因?yàn)?(11a+b)能被3整除，如果(a+b+c)也能被3整除，那么abc就能被3整除.(1)①一個(gè)四位數(shù)abcd，如果(a+b+c+d)能被9整除，證明abcd能被9整除；②若一個(gè)五位數(shù)2e3e2能被9整除，則e=______；(2)若一個(gè)三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則xyz的最小正因數(shù)一定是 （數(shù)字“1”除外(3)由數(shù)字1至9組成的一個(gè)九位數(shù)mnp6q47s9，這個(gè)數(shù)的第一位m能被1整除，前兩位組 成的兩位數(shù)mn能被2整除，前三位組成的三位數(shù)mnp能被3整除，以此類(lèi)推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除，寫(xiě)出這個(gè)九位數(shù)是.【答案】(1)①見(jiàn)解析；②1(2)3(3)3816547299(111a+11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被9整除，即可得出結(jié)論；②首先把五位數(shù)改寫(xiě)成9×(2255+112e)+(7+2e)，然后根據(jù)這個(gè)五位數(shù)能被9整除得7+2e能被9整除，即可求得答案；（2）假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2，則三位數(shù)xyz=3(37k+4)，據(jù)此可得出答案；（3）由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)，由四位數(shù)mnp6能被4整除，可得兩位數(shù)p6能被4被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三由mn能被2整除可得n=8，從而得到p=1，即可得到答案.=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d):9(111a+11b+c)能被9整:四位數(shù)abcd能被9整除；②解：:2e3e2是一個(gè)五位數(shù)， :2e3e2=20000+1000e+300+10e+2:五位數(shù)2e3e2能被9整除，:7+2e能被9整除，:e=1，故答案為：1； （2）解：:三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，:不妨假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2， :三位數(shù)xyz的最小正因數(shù)一定是3，故答案為：3；（3）解：:m，n，p，q，s均為0至9之間的整數(shù):由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)， 由五位數(shù)mnp6q能被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三位數(shù)47s能被8整除，從而得到s=2，:這時(shí)的九位數(shù)為：mnp654729，:m為質(zhì)數(shù)，:m=3，:兩位數(shù)mn能被2整除，且m=3，:n=8，:p=1，:這個(gè)九位數(shù)時(shí)：381654729，故答案為：381654729.【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，數(shù)的整除特征，熟練掌握因式分解的方法，理解整除數(shù)的特征是解答此題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱(chēng)橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，若坐標(biāo)系內(nèi)兩個(gè)整點(diǎn)A(p,q)、B(m,n)(m≤n)滿(mǎn)足關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+px+q能夠因式分解為所以B是A的分解點(diǎn).(2,0)中，請(qǐng)找出不存在分解點(diǎn)的點(diǎn)：.(2)點(diǎn)P、Q在縱軸上(P在Q的上方)，點(diǎn)R在橫軸上，且點(diǎn)P、Q、R都存在分解點(diǎn)，若△PQR面積為6，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的△POR的個(gè)數(shù)及每個(gè)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)A2R6【分析】（1）根據(jù)題意分別求解A1，A2，A3的分解點(diǎn)即可；（2）首先表示出P，Q的縱坐標(biāo)，和OR的長(zhǎng)度，由△PQR面積為6推出PQ=12，根據(jù)P在:x2+3無(wú)法分解，:點(diǎn)A2不存在分解點(diǎn)，故答案為：A2；（2）:P，Q在縱軸上，:P、Q的橫坐標(biāo)為0，:P，Q都存在分解點(diǎn)，:兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+q能夠因式分解為(x+m)(x+n)，:P，Q的縱坐標(biāo)只能負(fù)數(shù)，而且能分解（可用平方差公式分解:△PQR的面積為6，且點(diǎn)R在橫軸上=6，:=12，當(dāng)OR的長(zhǎng)度為2，6時(shí)，PQ的長(zhǎng)度為6或2，此時(shí)不存在有分解點(diǎn)的P，Q，:P，Q的縱坐標(biāo)只能是0，-1，-4，-16，OR的長(zhǎng)度可能為12，1，3，4，:P在Q的上方，:P1(0,-4)，Q1(0,-16)，同法當(dāng)R2(-1,0)時(shí)，可得P2(0,-4)，Q2(0,-16)，當(dāng)R4(-3,0)時(shí)，可得P4(0,0)，當(dāng)R5(4,0)時(shí)，可得P5(0,-1)，Q5(0,-4)； 當(dāng)R6(-4,0)時(shí)，可得P6(0,-1)，Q6(0,-4)； 當(dāng)R8(-12,0)時(shí)，可得P8(0,0)，Q8(0,-1)，綜上所述，△PQR的個(gè)數(shù)為8.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，坐標(biāo)與圖形，因式分解，三角形面積的求解，理解題意，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵.課后訓(xùn)練1．因式分解：4x2-y2+2y-1=.【答案】(2x+y-1)(2x-y+1)【分析】根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)，進(jìn)行分組，兩次運(yùn)用公式法分解因式即可.【詳解】解：4x2-y2+2y-1=4x2-(y2-2y+1)=4x2-(y-1)2=(2x+y-1)(2x-y+1)故答案為：(2x+y-1)(2x-y+1)【點(diǎn)睛】本題無(wú)法直接提公因式或運(yùn)用乘法公式進(jìn)行分解因式，結(jié)合式特點(diǎn)，對(duì)多項(xiàng)式分組，兩次運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，要注意符號(hào)問(wèn)題，正確分組是解題關(guān)鍵.2．如果28+212+2n為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為.【答案】2或14或11【分析】分情況討論，分別設(shè)2n為首項(xiàng)的平方，末項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)，則可得出n的值即可.【詳解】設(shè)2n為首項(xiàng)的平方，則末項(xiàng)為26，中間項(xiàng)為乘積兩倍為28=2×27，∴首項(xiàng)為2，首項(xiàng)平方為2n，∴n=2；設(shè)2n為末項(xiàng)的平方，則首項(xiàng)為24，乘積兩倍為212=2×24×27，∴末項(xiàng)為27，末項(xiàng)平方為214，設(shè)2n為中間項(xiàng)，則2n=2×24×26=211，故答案為：2或14或11.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解題的關(guān)鍵.3．分解因式：a3-a2b-a+b=.【答案】(a+1)(a-1)(a-b)【分析】先分組，然后再運(yùn)用提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可.【詳解】解：a3-a2b-a+ba3-a2b)-(a-b)=a2(a-b)-(a-b)a2-1)(a-b)=(a+1)(a-1)(a-b).故答案為(a+1)(a-1)(a-b).【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用分組法、提取公因式法、公式法因式分解，對(duì)原式正確的分組是正確解答本題的關(guān)鍵.4．分解因式：(4)4x2+4xy+12x+6y+y2+8【答案】(1)4ab2(2a2+7bc)a2+8+4a)(a2+8-4a)(4)(2x+y+4)(2x+y+2)【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）先利用a4、64湊出完全平方公式，然后利用平方差公式對(duì)其進(jìn)行因式分解即可；（3）首先去括號(hào)，再移項(xiàng)湊出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；（4）首先通過(guò)移項(xiàng)湊出完全平方公式，然后提公因式，得出(2x+y)2+6(2x+y)+8，再把8分解為(9-1)，得出(2x+y)2+6(2x+y)+9-1，然后把(2x+y)看作整體，利用完全平方2-1，然后再利用平方差公式因式分解即可.4+16a2+64-16a22-16a2a2+8-4a)2222222-1【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握因式分解的方法.5．已知三次四項(xiàng)式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一個(gè)因式是x-3，試求k的值及另一個(gè)因式.【答案】k=9，2x2+x-3【分析】根據(jù)題意，當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式的值為0，進(jìn)而求得k的值，然后因式分解即可求解.【詳解】解：依題意，三次四項(xiàng)式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一個(gè)因式是x-3，∵2x3-5x2-6x+9=2x2(x-3)+x2-6x+9=2x2(x-3)+(x-3)2=(x-3)(2x2+x-3)∴另一個(gè)因式為2x2+x-3【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，解題時(shí)要根據(jù)分組分解法、提公因式法、公式法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，注意分解