高考數(shù)學(xué)微專題集三角形中的最值問題(原卷版+解析)

三角形中的最值問題三角形中的最值問題一、利用三角函數(shù)有界性求最值例1.1．在△ABC中，(1)求B的大??；(2)求cosA＋cosC的最大值．二、利用均值不等式求最值例2.2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．例3.3．已知中，，，則面積的最大值為__________．三、利用有限與無限思想求最值例4.4．如圖在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是___________．例5.5．已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_______．例6.6．已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為__________．四、利用解析法求最值例7.7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為邊的中點(diǎn)，且，，則線段長(zhǎng)的最小值為_______．五、利用向量法求最值例8.8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為邊的中點(diǎn)，且，，則線段長(zhǎng)的最小值為_______．通過對(duì)以上幾道例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)涉及三角的最值問題，雖然具有一定的靈活性，但只要我們能結(jié)合題意，從實(shí)際出發(fā)選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，就能使問題得到較好的解決．因此，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的生成、發(fā)展內(nèi)化、升華過程，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果．六、與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的最值問題研究三角形的對(duì)象主要是邊、角和面積，其中邊與角是研究問題的主體，且這些對(duì)象都是以實(shí)數(shù)大小體現(xiàn)出來，所以它們可以與其它知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯，如向量、數(shù)列、不等式等，等解題時(shí)要綜合運(yùn)用這些知識(shí)和相關(guān)方法，靈活處理．例9.9．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若向量，分別滿足：，且．（1）求的值；（2）求的最大值．綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)：求三角形中不定量（式）的取值范圍或最值掌握正（余）弦定理的“本”（邊化角，角化邊）是解決問題的前提條件，能充分而又正確運(yùn)用正（余）弦定理的“本”去實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互換是解決問題所必須具備的能力，而問題能解決的關(guān)鍵是在正確運(yùn)用正（余）弦定理的“本”的基礎(chǔ)上合理運(yùn)用不等式思想和三角函數(shù)思想，并通過利用不等式的性質(zhì)（均值不等式等）和三角函數(shù)的有界性求出所求問題的結(jié)論．同步練習(xí)10．已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A． B． C． D．11．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則面積的最大值為__________．12．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為____________.13．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則的面積的最大值為________14．已知A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，若，且，求的最大值．15．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.16．在，若，求面積的最大值．17．已知中，，則面積的最大值為__________．18．等腰△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的中線，且BD=3，則△ABC的面積最大值為_____．19．已知中，，，則面積的最大值是__________．三角形中的最值問題三角形中的最值問題一、利用三角函數(shù)有界性求最值例1.1．在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．二、利用均值不等式求最值例2.2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．例3.3．已知中，，，則面積的最大值為__________．三、利用有限與無限思想求最值例4.4．如圖在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是___________．例5.5．已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_______．例6.6．已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為__________．四、利用解析法求最值例7.7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為邊的中點(diǎn)，且，，則線段長(zhǎng)的最小值為_______．五、利用向量法求最值例8.8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為邊的中點(diǎn)，且，，則線段長(zhǎng)的最小值為_______．通過對(duì)以上幾道例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)涉及三角的最值問題，雖然具有一定的靈活性，但只要我們能結(jié)合題意，從實(shí)際出發(fā)選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，就能使問題得到較好的解決．因此，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的生成、發(fā)展內(nèi)化、升華過程，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果．六、與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的最值問題研究三角形的對(duì)象主要是邊、角和面積，其中邊與角是研究問題的主體，且這些對(duì)象都是以實(shí)數(shù)大小體現(xiàn)出來，所以它們可以與其它知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯，如向量、數(shù)列、不等式等，等解題時(shí)要綜合運(yùn)用這些知識(shí)和相關(guān)方法，靈活處理．例9.9．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若向量，分別滿足：，且．（1）求的值；（2）求的最大值．綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)：求三角形中不定量（式）的取值范圍或最值掌握正（余）弦定理的“本”（邊化角，角化邊）是解決問題的前提條件，能充分而又正確運(yùn)用正（余）弦定理的“本”去實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互換是解決問題所必須具備的能力，而問題能解決的關(guān)鍵是在正確運(yùn)用正（余）弦定理的“本”的基礎(chǔ)上合理運(yùn)用不等式思想和三角函數(shù)思想，并通過利用不等式的性質(zhì)（均值不等式等）和三角函數(shù)的有界性求出所求問題的結(jié)論．同步練習(xí)10．已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A． B． C． D．11．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則面積的最大值為__________．12．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為____________.13．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則的面積的最大值為________14．已知A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，若，且，求的最大值．15．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.16．在，若，求面積的最大值．17．已知中，，則面積的最大值為__________．18．等腰△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的中線，且BD=3，則△ABC的面積最大值為_____．19．已知中，，，則面積的最大值是__________．參考答案：1．（1）（2）1【詳解】試題分析：（1）由余弦定理及題設(shè)得；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最大值．試題解析：（1）由余弦定理及題設(shè)得，又∵，∴；（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值．考點(diǎn)：1、解三角形；2、函數(shù)的最值.2．（1）見解析；（2）．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡(jiǎn)得，再根據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：即，因?yàn)?，所以，從而，由正弦定理?（2）由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.考點(diǎn)：三角恒等變換的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角形中的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，以及知識(shí)間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數(shù)恒等變換的公式是解答問題的關(guān)鍵.3．．分析：利用余弦定理和基本不等式求出，利用面積公式即可求出面積的最大值.【詳解】設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由余弦定理，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以．所以面積的最大值為．故答案為：．4．（，）【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想5．##分析：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得．進(jìn)而根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則，由,得．所以點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓，．由圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為．故答案為：．6．【詳解】設(shè)，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)，由，得，即，則，則，即，解得，即，即面積的最大值為.7．．分析：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合基本不等式求解.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)．因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以，，，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以線段長(zhǎng)的最小值為．故答案為：8．．分析：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合基本不等式求解.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)．因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以，，，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以線段長(zhǎng)的最小值為．故答案為：9．（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)求解；（2）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合（1），利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，化簡(jiǎn)整理得：，因?yàn)?，所以．?）由余弦定理得，所以，又因?yàn)椋?）知，所以A，B皆為銳角，即，，所以，所以，即，所以的最大值為．10．B【解析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)閍2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，取等號(hào).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．3分析：根據(jù)，利用正弦定理得，再利用兩角和的正弦，有，再根據(jù)，表示：，，然后代入正弦定理三角形面積公式求解.【詳解】由得，所以，由可得，所以，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值3.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．分析：先利用正弦定理將條件中的角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理求解出角A的值，再利用邊a的余弦定理和均值不等式求出bc的最大值后即可求解出面積的最大值.【詳解】因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得:，化簡(jiǎn)可得:，即，(A為三角形內(nèi)角)解得:，又，(b=c時(shí)等號(hào)成立)故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題目，解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，首先是利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角之間的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形邊的乘積的最大值.13．【解析】利用正弦定理得出的關(guān)系，利用余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，利用基本不等式，三角形面積公式即可求解.【詳解】，，由正弦定理可得：，解得.，，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，熟練掌握正余弦定理是解本題的關(guān)鍵，是中檔題.14．．分析：由結(jié)合二倍角余弦公式求得，進(jìn)而得到角A，然后利用將，轉(zhuǎn)化為關(guān)于角C的三角函數(shù)求解.【詳解】由得，即，解得或（舍去），又因?yàn)?，所以或，由，則，所以，從而，，，，又因?yàn)?，所以，從而．故?dāng)時(shí)，原式取最大值為．15．（1）；（2）.分析：（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問題；方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.16．．分析：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】由余弦定理得：∵，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴所以的面積的最大值為．17．3分析：設(shè)，則，根據(jù)余弦定理及面積公式可得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值；或利用坐標(biāo)法求出點(diǎn)C的軌跡方程，即求.【詳解】解法一：設(shè)，由，得．由余弦定理，得．所以．所以．由得．所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為3．解法二：以A為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)．由，得．即．所以點(diǎn)C的軌跡是圓心為，半徑為2的圓（不含與共線的兩點(diǎn)）．所以．即面積的最大值為3．故答案為：318．6【詳解】設(shè)，由題設(shè)可得，則，故，即，則當(dāng)時(shí)，，即，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：本