高考數(shù)學一輪復習考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向23平面向量的概念及線性運算(重點)(原卷版+解析)

考向23平面向量的概念及線性運算【2022·全國·高考真題】在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．【2022·全國·高考真題（文）】已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】因為，所以.故選：D1.解決向量的概念問題應關注以下七點：(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(6)非零向量與的關系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小2.平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.共線向量定理向量與共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)，使得.共線向量定理的主要應用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．1．向量的有關概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，【注意】（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：，，．1．(2023·湖北省仙桃中學模擬預測）在凸四邊形中，，則以下結論正確的是（

）A． B．四邊形為菱形C． D．四邊形為平行四邊形2．(2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（文））設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A．且 B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知下列結論：①；②；③；④⑤若，則對任一非零向量有；⑥若，則與中至少有一個為；⑦若與是兩個單位向量，則.則以上結論正確的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤4．(2023·山東濰坊·模擬預測）在平行四邊形中，分別是的中點，，，則（

）A． B． C． D．5．(2023·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．6．(2023·吉林吉林·模擬預測（文））如圖，中，，，點E是的三等分點，則（

）A． B． C． D．1．(2023·廣東·模擬預測）等腰中，，D為線段上的動點，過D作交于E．過D作交于F，則（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南懷化·一模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．83．(2023·江蘇江蘇·一模）平面內(nèi)三個單位向量，，滿足，則（

）A．，方向相同 B．，方向相同C．，方向相同 D．，，兩兩互不共線4．(2023·河南安陽·模擬預測（文））在中，點D在邊上，且，若，則（

）A． B．3 C．2 D．15．(2023·河南·南陽中學模擬預測（文））中，若，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則CD的長（

）A． B． C． D．6．(2023·江蘇常州·模擬預測）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．57．(2023·安徽·合肥市第六中學模擬預測（理））如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．28．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）下列命題中，不正確的是（

）A．若為單位向量，且，則B．若，，則C．D．若平面內(nèi)有四點，則必有9．（多選題）(2023·遼寧丹東·模擬預測）已知，，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．10．（多選題）(2023·湖南·長沙一中一模）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當時，則稱有序實數(shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則11．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）下列有關四邊形的形狀，判斷正確的有（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形12．（多選題）(2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．13．（多選題）(2023·湖北·黃岡中學模擬預測）已知是半徑為2的圓O的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（

）A．若角，則B．若，則C．若，則，的夾角為D．若，則為圓O的一條直徑14．（多選題）(2023·重慶南開中學模擬預測）已知點P是的中線BD上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．15．(2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯用來構造無理數(shù)的圖形，設四邊形的對角線交于點O，若，則___________________．16．(2023·全國·高三專題練習）已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).在x軸是否存在一點P，使得為直角三角形，求此時P點的坐標1．(2023·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．5．(2023·山東·高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．6．(2023·全國·高考真題（文））已知向量．若，則______________．7．（2023·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．8．（2023·全國·高考真題（理））已知向量．若，則________．9．（2023·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．10．（2023·全國·高考真題（文））設向量，若，則______________.11．（2023·全國·高考真題（理））設為單位向量，且，則______________.12．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則________；________.1．答案：A【解析】如圖（1）所示，設，則都是單位向量，因為，所以，可得，又因為，所以，且為的平分線，所以C不正確；在中，因為，且，可得，所以四邊形的面積大于，所以A正確；如圖圖（2）所示只有當時，此時凸四邊形才能為平行四邊形且為菱形，所以B、D不正確；故選：A.2．答案：D【解析】對于A，當且時，或，A錯誤；對于B，當時，，B錯誤；對于C，當時，或，C錯誤；對于D，當時，，D正確．故選：D．3．答案：C【解析】（1），故錯誤；（2）根據(jù)數(shù)乘的定義，正確；（3）是表達式錯誤，0是數(shù)量，是向量，這樣的表達式?jīng)]有意義，故錯誤；（4），故錯誤；（5）當向量與的夾角是時，，故錯誤；（6）同（5），錯誤；（7），故正確；故選：C.4．答案：B【解析】如圖所示，設，且，則，又因為，所以，解得，所以.故選：B.5．答案：C【解析】解：因為，所以，所以.故選：C.6．答案：B【解析】故選：B.1．答案：A【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得，所以，所以，所以.故選：A.2．答案：C【解析】解：以，為鄰邊作平行四邊形，設，，則，由題意，設，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值為6.故選：C．3．答案：A【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.4．答案：B【解析】由題意知：，則，即，則，即.故選：B.5．答案：A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：設，，因為，所以，即，因為A、B、D三點共線，所以，解得：，所以，即因為AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以.故選：A6．答案：B【解析】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B7．答案：B【解析】設，，，，則，，，，.所以，當且僅當，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B8．（多選題）答案：ABC【解析】對于A，，與同向或反向，或，A錯誤；對于B，若，則，，但與可能不共線，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：ABC.9．（多選題）答案：AC【解析】因為，，為單位向量，所以，由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；對于A，，故A正確；對于B，因為，所以為反向共線的向量，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，所以D錯誤；故選：AC.10．（多選題）答案：AC【解析】根據(jù)題意得，設A，B的中點為，則，故線段A，B的中點的廣義坐標為，A正確；，故，當向量，是相互垂直的單位向量時，A，B兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；與平行，當與存在時，結論顯然成立，當與都不為時，設，則，即，，，所以，故C正確；，當與為相互垂直的單位向量時，與垂直的充要條件是，故D不正確.故選：AC．11．（多選題）答案：AB【解析】選項A：若，則，，則四邊形為平行四邊形.判斷正確；選項B：若，則，，則四邊形為梯形.判斷正確；選項C：若，則，則，即.僅由不能判定四邊形為菱形.判斷錯誤；選項D：若，則，，則四邊形為平行四邊形，又由，可得對角線，則平行四邊形為菱形.判斷錯誤.故選：AB12．（多選題）答案：BC【解析】因為，則三點共線，且，又因為為中線，所以點為的重心，連接并延長交于，則為的中點，所以，所以∥故選：BC．13．（多選題）答案：BC【解析】對于A，作OD垂直于AB.垂足為D，則,由正弦定理得，故,故A錯誤；對于B,由得，，即,則點O為BC的中點，即BC為圓的直徑，故，B正確；對于C，設，的夾角為，由得，，即，解得或，由于，故，故，則，的夾角為，C正確；對于D,由得，即，則為圓O的一條直徑，D錯誤，故選:BC14．（多選題）答案：AC【解析】解：因為，所以,又三點共線，所以.所以選項A正確，選項B錯誤；，所以（當且僅當時等號成立），所以選項C正確；因為，（當且僅當時等號成立）所以，所以選項D錯誤.故選：AC15．答案：【解析】都為直角三角形，，∴，，，解得，∴，∴．故答案為：.16．【解析】設，，由得，解得，假設存在，設，當A為直角頂點時，，有，解得；當D為直角頂點時，，有，解得；當P為直角頂點時，，有，解得；故或或或.1．答案：B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．答案：D【解析】因為，所以.故選：D3．答案：A【解析】連結，則為的中位線，，故選：A4．答案：C【解析】故選：C5．答案：B【解析】由題意，．故選：B6．答案：【解析】由題意知：，解得.故答案為：.7．答案：【解析】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．8．答案：.【解析】,，解得,故答案為：.9．答案：【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.10．答案：5【解析】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.11．答案：【解析】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：12．答案：

0

3【解析】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.考向23平面向量的概念及線性運算【2022·全國·高考真題】在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．【2022·全國·高考真題（文）】已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】因為，所以.故選：D1.解決向量的概念問題應關注以下七點：(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(6)非零向量與的關系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小2.平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.共線向量定理向量與共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)，使得.共線向量定理的主要應用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．1．向量的有關概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，【注意】（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：，，．1．(2023·湖北省仙桃中學模擬預測）在凸四邊形中，，則以下結論正確的是（

）A． B．四邊形為菱形C． D．四邊形為平行四邊形答案：A【解析】如圖（1）所示，設，則都是單位向量，因為，所以，可得，又因為，所以，且為的平分線，所以C不正確；在中，因為，且，可得，所以四邊形的面積大于，所以A正確；如圖圖（2）所示只有當時，此時凸四邊形才能為平行四邊形且為菱形，所以B、D不正確；故選：A.2．(2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（文））設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A．且 B． C． D．答案：D【解析】對于A，當且時，或，A錯誤；對于B，當時，，B錯誤；對于C，當時，或，C錯誤；對于D，當時，，D正確．故選：D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知下列結論：①；②；③；④⑤若，則對任一非零向量有；⑥若，則與中至少有一個為；⑦若與是兩個單位向量，則.則以上結論正確的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤答案：C【解析】（1），故錯誤；（2）根據(jù)數(shù)乘的定義，正確；（3）是表達式錯誤，0是數(shù)量，是向量，這樣的表達式?jīng)]有意義，故錯誤；（4），故錯誤；（5）當向量與的夾角是時，，故錯誤；（6）同（5），錯誤；（7），故正確；故選：C.4．(2023·山東濰坊·模擬預測）在平行四邊形中，分別是的中點，，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示，設，且，則，又因為，所以，解得，所以.故選：B.5．(2023·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因為，所以，所以.故選：C.6．(2023·吉林吉林·模擬預測（文））如圖，中，，，點E是的三等分點，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】故選：B.1．(2023·廣東·模擬預測）等腰中，，D為線段上的動點，過D作交于E．過D作交于F，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得，所以，所以，所以.故選：A.2．(2023·湖南懷化·一模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案：C【解析】解：以，為鄰邊作平行四邊形，設，，則，由題意，設，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值為6.故選：C．3．(2023·江蘇江蘇·一模）平面內(nèi)三個單位向量，，滿足，則（

）A．，方向相同 B．，方向相同C．，方向相同 D．，，兩兩互不共線答案：A【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.4．(2023·河南安陽·模擬預測（文））在中，點D在邊上，且，若，則（

）A． B．3 C．2 D．1答案：B【解析】由題意知：，則，即，則，即.故選：B.5．(2023·河南·南陽中學模擬預測（文））中，若，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則CD的長（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：設，，因為，所以，即，因為A、B、D三點共線，所以，解得：，所以，即因為AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以.故選：A6．(2023·江蘇常州·模擬預測）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B7．(2023·安徽·合肥市第六中學模擬預測（理））如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2答案：B【解析】設，，，，則，，，，.所以，當且僅當，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B8．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）下列命題中，不正確的是（

）A．若為單位向量，且，則B．若，，則C．D．若平面內(nèi)有四點，則必有答案：ABC【解析】對于A，，與同向或反向，或，A錯誤；對于B，若，則，，但與可能不共線，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：ABC.9．（多選題）(2023·遼寧丹東·模擬預測）已知，，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】因為，，為單位向量，所以，由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；對于A，，故A正確；對于B，因為，所以為反向共線的向量，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，所以D錯誤；故選：AC.10．（多選題）(2023·湖南·長沙一中一模）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當時，則稱有序實數(shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則答案：AC【解析】根據(jù)題意得，設A，B的中點為，則，故線段A，B的中點的廣義坐標為，A正確；，故，當向量，是相互垂直的單位向量時，A，B兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；與平行，當與存在時，結論顯然成立，當與都不為時，設，則，即，，，所以，故C正確；，當與為相互垂直的單位向量時，與垂直的充要條件是，故D不正確.故選：AC．11．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）下列有關四邊形的形狀，判斷正確的有（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形答案：AB【解析】選項A：若，則，，則四邊形為平行四邊形.判斷正確；選項B：若，則，，則四邊形為梯形.判斷正確；選項C：若，則，則，即.僅由不能判定四邊形為菱形.判斷錯誤；選項D：若，則，，則四邊形為平行四邊形，又由，可得對角線，則平行四邊形為菱形.判斷錯誤.故選：AB12．（多選題）(2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．答案：BC【解析】因為，則三點共線，且，又因為為中線，所以點為的重心，連接并延長交于，則為的中點，所以，所以∥故選：BC．13．（多選題）(2023·湖北·黃岡中學模擬預測）已知是半徑為2的圓O的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（

）A．若角，則B．若，則C．若，則，的夾角為D．若，則為圓O的一條直徑答案：BC【解析】對于A，作OD垂直于AB.垂足為D，則,由正弦定理得，故,故A錯誤；對于B,由得，，即,則點O為BC的中點，即BC為圓的直徑，故，B正確；對于C，設，的夾角為，由得，，即，解得或，由于，故，故，則，的夾角為，C正確；對于D,由得，即，則為圓O的一條直徑，D錯誤，故選:BC14．（多選題）(2023·重慶南開中學模擬預測）已知點P是的中線BD上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】解：因為，所以,又三點共線，所以.所以選項A正確，選項B錯誤；，所以（當且僅當時等號成立），所以選項C正確；因為，（當且僅當時等號成立）所以，所以選項D錯誤.故選：AC15．(2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖