高考數(shù)學(xué)微專題集專題12定比點差法及其應(yīng)用微點2定比點差法綜合應(yīng)用(一)-解決定點、定值、定直線問題(原卷版+解析)

專題12定比點差法及其應(yīng)用微點2定比點差法綜合應(yīng)用（一）——解決定點、定值、定直線問題專題12定比點差法及其應(yīng)用微點2定比點差法綜合應(yīng)用（一）——解決定點、定值、定直線問題【微點綜述】本文在上一節(jié)的基礎(chǔ)上，進一步介紹定比點差法的綜合應(yīng)用——解決定點問題、定值問題以及定直線問題．一、應(yīng)用定比點差法證明定點問題例1．已知過點的直線與橢圓交于兩點，為點關(guān)于軸的對稱點，求證：直線過定點．【解析】設(shè)，直線與軸交于點，由題知，由向量共線定理，設(shè)，得，于是有，則于是有，即，得，故直線過定點．【評注】由對稱性，易知直線所過定點在軸上，設(shè)所求定點為，注意到題中有兩組三點共線，故設(shè)，接著使用定比點差法解題．例2．已知橢圓過點，其長軸長?焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列，直線與軸的正半軸和軸分別交于點，與橢圓相交于兩點，各點互不重合，且滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的方程為，求的值；（3）若，試證明直線恒過定點，并求此定點的坐標(biāo)．答案：（1）；（2）；（3）證明見解析，．【解析】（1）由題意，得到和，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線的方程為，根據(jù)，求得，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（3）設(shè)直線的方程為，由，得到和，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和，求得，得到直線的方程，即可求解．【解析】（1）由題意，因為橢圓過點，可得，設(shè)焦距為，又由長軸長?焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列，可得，即又因為，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由直線的方程為，可得而，設(shè)，因為，可得，從而，于是，所以，由，整理得，可得，所以．（3）顯然直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，可得，由，可得，所以，從而，同理，又，∴——①，聯(lián)立，得，則——②，且——③③代入①得，∴，（滿足②）故直線的方程為，所以直線恒過定點．【評注】解答圓錐曲線的定點問題的策略：（1）參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到與過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．例3．已知橢圓E：，斜率為1的直線l與橢圓交于A，B兩點，點，直線AM與橢圓E交于點C，直線BM與橢圓E交于點D，求證：直線CD恒過定點．【解析】設(shè)，，，，，，由于，，則又，，兩式相減得③，①②式代入③式，整理得，由，解得，同理可得，設(shè)：，，則，，即：，過定點．例4．設(shè)橢圓C：的右焦點為F過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：．【解析】（1）由已知得，l的方程為．由已知可得點A的坐標(biāo)為或．所以AM的方程為或．（2）當(dāng)l與x軸重合時，．當(dāng)l與x軸垂直時，，當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時，設(shè)，，點B關(guān)于x軸對稱的點根據(jù)幾何性質(zhì)得：令ON為的角平分線，AB與x軸交點為，下面通過證明N與M重合來證明，根據(jù)角平分線定理有：．設(shè)由定比分點坐標(biāo)公式得：；，同理由，由定比分點坐標(biāo)公式得：；，①-②得：，整理得：，即N與M重合，所以．綜上，．二、應(yīng)用定比點差法求解定值問題例5．已知過點的直線與雙曲線交于兩點，與軸交于點，若，求證：為定值．【解析】設(shè)，由，得，由點在雙曲線上，則即兩式相減得．【評注】利用得到兩點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，變形作差得到，是定比點差的變形應(yīng)用．另外，該題可以拓展到一般性，有如下結(jié)論：【結(jié)論1】已知過點的直線與雙曲線交于兩點，與軸交于點，若，則．由于圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是二次曲線，很多時候它們之間存在類似的性質(zhì)，于是由類比聯(lián)想，推廣得如下結(jié)論：【結(jié)論2】已知過點的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，若，則．【結(jié)論3】已知過點的直線與圓交于兩點，與軸交于點，若，則．結(jié)論1，2，3的證明，可參照例題．【結(jié)論4】已知拋物線上兩點，若直線分別與軸交于點，且，則．【解析】設(shè)，由，得，由點在拋物線上，則即兩式相減得．【結(jié)論5】已知拋物線上兩點，若直線分別與軸交于點，且，則．結(jié)論5的證明，參照例5．例6．(2023河北邯鄲·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若，的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），，試分析是否為定值，若是，求出這個定值，否則，說明理由．答案：（1）；（2）為定值．分析：（1）因為的周長為，求得，進而求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和題設(shè)條件，求得和，進而求得為定值．【解析】（1）因為的周長為8，所以，解得，由，得，所以，因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由，整理得，設(shè)，，則設(shè)，又，所以，，則．同理可得，，則．所以，所以為定值．【評注】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．例7．已知橢圓C：的離心率，右焦點為F，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，交直線于點P，設(shè)，，求證：為定值．【解析】（1）解：由題得，解得，則橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，，，由于，，則，即①，同理可得②，①-②，得，即，．例8．已知橢圓過點，離心率，A，B是橢圓C上兩點，且直線OA，OB的斜率之積為，O為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓C的方程；（2）若射線OA上的點P滿足，且PB與橢圓交于點Q，求的值．【解析】（1）由題得解得則橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，設(shè)，則，則，由于，則，整理得，易知，，又，，即，代入（*）式得，，解得，則．三、應(yīng)用定比點差法求解定直線問題例9．(2023安徽省舒城中學(xué)三模）已知點M是圓與x軸負(fù)半軸的交點，過點M作圓C的弦，并使弦的中點恰好落在y軸上．（1）求點N的軌跡E的方程；（2）過點的動直線l與軌跡E交于A，B兩點，在線段上取點D，滿足，，證明：點D總在定直線上．答案：（1）；（2）證明見解析．分析：（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點，表示出弦的中點恰好落在軸上，，代入可得點的軌跡方程．解法二：設(shè)，弦的中點為，，表示出向量，由垂徑定理得，由此可得軌跡方程；（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．與拋物線的方程聯(lián)立得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，．根據(jù)向量的線性運算可得出點所在定直線．【解析】（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點，弦的中點恰好落在軸上，，，，整理得，，，點的軌跡方程為．解法二：設(shè)，弦的中點為，，因為在軸的負(fù)半軸上，故．，由垂徑定理得，故．（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．由得，，．由，，得，，故，化簡得，又，故，化簡得，即，則或．當(dāng)點在定直線上時，直線與拋物線只有一個交點，與題意不符，故點在定直線上．【評注】（1）解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時若直線過x軸上的一點，可將直線設(shè)成橫截式．例10．已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點，求證：點在一定直線上，并求出此直線的方程．答案：（1）；（2）證明見解析，直線．分析：（1）由橢圓過定點，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程．（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再由點斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線．【解析】（1）由題意，且，又，解得，．橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即．直線的方程為．①過且與軸垂直的直線的方程為．②聯(lián)立①②可得，點在定直線上．【評注】第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理確定的關(guān)系，進而由的位置用表示出其橫坐標(biāo)．【總結(jié)】（1）“定比點差法”屬于技巧，并不是解析幾何的通解通法，其適用范圍較窄，從上述例題的解答過程可以看出，當(dāng)遇到三點共線、定點、成比例等條件時，我們可以嘗試該法．（2）本文介紹的“定比點差法”，為今后解決一類解幾問題提供了新的思路，相較于聯(lián)立直線與曲線方程的通法，該法過程簡潔、計算量小，可以提高解題效率，但是該法有其局限性，我們在日常的學(xué)習(xí)中，要結(jié)合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不能盲目追求某一種解法，要學(xué)會從不同的解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．【針對訓(xùn)練】1．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時，求的值；(3)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．2．過的直線與橢圓交于P，Q，過P作軸且與橢圓交于另一點N，F(xiàn)為橢圓的右焦點，若，求證：3．已知橢圓，點，過點P作橢圓的割線PAB，C為B關(guān)于x軸的對稱點．求證：直線AC恒過定點．4．已知離心率為的橢圓的上頂點為，右焦點為，點且.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于、兩點（在與之間），與直線交于點.記，，求的值.5．已知橢圓，．過的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，，求證：為定值6．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實數(shù)），求λ2+μ2的值．（2023全國一卷理）7．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.8．已知橢圓C：，，為其左右焦點，P為橢圓C上一動點，直線交橢圓于點A，直線橢圓交于點B，設(shè)，，求證：為定值．(2023全國·高三專題練習(xí)）9．已知橢圓的焦距為2，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合且滿足．若，證明：直線恒過定點．(2023·河南·林州一中高二階段練習(xí)）10．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當(dāng)∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．(2023江蘇·高三階段練習(xí)）11．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率是，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.（1）求，的值；（2）已知?是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，在軸的上方，，連接?并分別延長交橢圓于?兩點，證明：直線過定點.(2023湖北武漢·二模）12．設(shè)拋物線的焦點為F，過F作直線l交拋物線E于A，B兩點.當(dāng)l與x軸垂直時，面積為8，其中O為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l的斜率存在且為點，直線與E的另一交點為C，直線與E的另一交點為D，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值.13．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．(2023江西·南昌十中高三月考）14．已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.(2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）15．已知橢圓：的短軸長為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)點為直線上的動點，過點的動直線與橢圓相交于不同的，兩點，在線段上取點，滿足，證明：點的軌跡過定點.16．在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)過點的動直線與拋物線相交于不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.17．已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點和上頂點分別為，且，過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k=2時，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點T恒在一條定直線上.專題12定比點差法及其應(yīng)用微點2定比點差法綜合應(yīng)用（一）——解決定點、定值、定直線問題專題12定比點差法及其應(yīng)用微點2定比點差法綜合應(yīng)用（一）——解決定點、定值、定直線問題【微點綜述】本文在上一節(jié)的基礎(chǔ)上，進一步介紹定比點差法的綜合應(yīng)用——解決定點問題、定值問題以及定直線問題．一、應(yīng)用定比點差法證明定點問題例1．已知過點的直線與橢圓交于兩點，為點關(guān)于軸的對稱點，求證：直線過定點．【解析】設(shè)，直線與軸交于點，由題知，由向量共線定理，設(shè)，得，于是有，則于是有，即，得，故直線過定點．【評注】由對稱性，易知直線所過定點在軸上，設(shè)所求定點為，注意到題中有兩組三點共線，故設(shè)，接著使用定比點差法解題．例2．已知橢圓過點，其長軸長?焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列，直線與軸的正半軸和軸分別交于點，與橢圓相交于兩點，各點互不重合，且滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的方程為，求的值；（3）若，試證明直線恒過定點，并求此定點的坐標(biāo)．答案：（1）；（2）；（3）證明見解析，．【解析】（1）由題意，得到和，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線的方程為，根據(jù)，求得，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（3）設(shè)直線的方程為，由，得到和，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和，求得，得到直線的方程，即可求解．【解析】（1）由題意，因為橢圓過點，可得，設(shè)焦距為，又由長軸長?焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列，可得，即又因為，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由直線的方程為，可得而，設(shè)，因為，可得，從而，于是，所以，由，整理得，可得，所以．（3）顯然直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，可得，由，可得，所以，從而，同理，又，∴——①，聯(lián)立，得，則——②，且——③③代入①得，∴，（滿足②）故直線的方程為，所以直線恒過定點．【評注】解答圓錐曲線的定點問題的策略：（1）參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到與過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．例3．已知橢圓E：，斜率為1的直線l與橢圓交于A，B兩點，點，直線AM與橢圓E交于點C，直線BM與橢圓E交于點D，求證：直線CD恒過定點．【解析】設(shè)，，，，，，由于，，則又，，兩式相減得③，①②式代入③式，整理得，由，解得，同理可得，設(shè)：，，則，，即：，過定點．例4．設(shè)橢圓C：的右焦點為F過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：．【解析】（1）由已知得，l的方程為．由已知可得點A的坐標(biāo)為或．所以AM的方程為或．（2）當(dāng)l與x軸重合時，．當(dāng)l與x軸垂直時，，當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時，設(shè)，，點B關(guān)于x軸對稱的點根據(jù)幾何性質(zhì)得：令ON為的角平分線，AB與x軸交點為，下面通過證明N與M重合來證明，根據(jù)角平分線定理有：．設(shè)由定比分點坐標(biāo)公式得：；，同理由，由定比分點坐標(biāo)公式得：；，①-②得：，整理得：，即N與M重合，所以．綜上，．二、應(yīng)用定比點差法求解定值問題例5．已知過點的直線與雙曲線交于兩點，與軸交于點，若，求證：為定值．【解析】設(shè)，由，得，由點在雙曲線上，則即兩式相減得．【評注】利用得到兩點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，變形作差得到，是定比點差的變形應(yīng)用．另外，該題可以拓展到一般性，有如下結(jié)論：【結(jié)論1】已知過點的直線與雙曲線交于兩點，與軸交于點，若，則．由于圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是二次曲線，很多時候它們之間存在類似的性質(zhì)，于是由類比聯(lián)想，推廣得如下結(jié)論：【結(jié)論2】已知過點的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，若，則．【結(jié)論3】已知過點的直線與圓交于兩點，與軸交于點，若，則．結(jié)論1，2，3的證明，可參照例題．【結(jié)論4】已知拋物線上兩點，若直線分別與軸交于點，且，則．【解析】設(shè)，由，得，由點在拋物線上，則即兩式相減得．【結(jié)論5】已知拋物線上兩點，若直線分別與軸交于點，且，則．結(jié)論5的證明，參照例5．例6．(2023河北邯鄲·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若，的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），，試分析是否為定值，若是，求出這個定值，否則，說明理由．答案：（1）；（2）為定值．分析：（1）因為的周長為，求得，進而求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和題設(shè)條件，求得和，進而求得為定值．【解析】（1）因為的周長為8，所以，解得，由，得，所以，因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由，整理得，設(shè)，，則設(shè)，又，所以，，則．同理可得，，則．所以，所以為定值．【評注】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．例7．已知橢圓C：的離心率，右焦點為F，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，交直線于點P，設(shè)，，求證：為定值．【解析】（1）解：由題得，解得，則橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，，，由于，，則，即①，同理可得②，①-②，得，即，．例8．已知橢圓過點，離心率，A，B是橢圓C上兩點，且直線OA，OB的斜率之積為，O為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓C的方程；（2）若射線OA上的點P滿足，且PB與橢圓交于點Q，求的值．【解析】（1）由題得解得則橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，設(shè)，則，則，由于，則，整理得，易知，，又，，即，代入（*）式得，，解得，則．三、應(yīng)用定比點差法求解定直線問題例9．(2023安徽省舒城中學(xué)三模）已知點M是圓與x軸負(fù)半軸的交點，過點M作圓C的弦，并使弦的中點恰好落在y軸上．（1）求點N的軌跡E的方程；（2）過點的動直線l與軌跡E交于A，B兩點，在線段上取點D，滿足，，證明：點D總在定直線上．答案：（1）；（2）證明見解析．分析：（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點，表示出弦的中點恰好落在軸上，，代入可得點的軌跡方程．解法二：設(shè)，弦的中點為，，表示出向量，由垂徑定理得，由此可得軌跡方程；（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．與拋物線的方程聯(lián)立得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，．根據(jù)向量的線性運算可得出點所在定直線．【解析】（1）解法一：由題意知，，設(shè)是上的任意點，弦的中點恰好落在軸上，，，，整理得，，，點的軌跡方程為．解法二：設(shè)，弦的中點為，，因為在軸的負(fù)半軸上，故．，由垂徑定理得，故．（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為．由得，，．由，，得，，故，化簡得，又，故，化簡得，即，則或．當(dāng)點在定直線上時，直線與拋物線只有一個交點，與題意不符，故點在定直線上．【評注】（1）解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時若直線過x軸上的一點，可將直線設(shè)成橫截式．例10．已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點，求證：點在一定直線上，并求出此直線的方程．答案：（1）；（2）證明見解析，直線．分析：（1）由橢圓過定點，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程．（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再由點斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線．【解析】（1）由題意，且，又，解得，．橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即．直線的方程為．①過且與軸垂直的直線的方程為．②聯(lián)立①②可得，點在定直線上．【評注】第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理確定的關(guān)系，進而由的位置用表示出其橫坐標(biāo)．【總結(jié)】（1）“定比點差法”屬于技巧，并不是解析幾何的通解通法，其適用范圍較窄，從上述例題的解答過程可以看出，當(dāng)遇到三點共線、定點、成比例等條件時，我們可以嘗試該法．（2）本文介紹的“定比點差法”，為今后解決一類解幾問題提供了新的思路，相較于聯(lián)立直線與曲線方程的通法，該法過程簡潔、計算量小，可以提高解題效率，但是該法有其局限性，我們在日常的學(xué)習(xí)中，要結(jié)合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不能盲目追求某一種解法，要學(xué)會從不同的解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．【針對訓(xùn)練】1．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時，求的值；(3)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．2．過的直線與橢圓交于P，Q，過P作軸且與橢圓交于另一點N，F(xiàn)為橢圓的右焦點，若，求證：3．已知橢圓，點，過點P作橢圓的割線PAB，C為B關(guān)于x軸的對稱點．求證：直線AC恒過定點．4．已知離心率為的橢圓的上頂點為，右焦點為，點且.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于、兩點（在與之間），與直線交于點.記，，求的值.5．已知橢圓，．過的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，，求證：為定值6．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實數(shù)），求λ2+μ2的值．（2023全國一卷理）7．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.8．已知橢圓C：，，為其左右焦點，P為橢圓C上一動點，直線交橢圓于點A，直線橢圓交于點B，設(shè)，，求證：為定值．(2023全國·高三專題練習(xí)）9．已知橢圓的焦距為2，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合且滿足．若，證明：直線恒過定點．(2023·河南·林州一中高二階段練習(xí)）10．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當(dāng)∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．(2023江蘇·高三階段練習(xí)）11．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率是，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.（1）求，的值；（2）已知?是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，在軸的上方，，連接?并分別延長交橢圓于?兩點，證明：直線過定點.(2023湖北武漢·二模）12．設(shè)拋物線的焦點為F，過F作直線l交拋物線E于A，B兩點.當(dāng)l與x軸垂直時，面積為8，其中O為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l的斜率存在且為點，直線與E的另一交點為C，直線與E的另一交點為D，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值.13．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．(2023江西·南昌十中高三月考）14．已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.(2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）15．已知橢圓：的短軸長為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)點為直線上的動點，過點的動直線與橢圓相交于不同的，兩點，在線段上取點，滿足，證明：點的軌跡過定點.16．在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)過點的動直線與拋物線相交于不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.17．已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點和上頂點分別為，且，過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k=2時，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點T恒在一條定直線上.參考答案：1．(1)(2)(3)證明見解析分析：（1）由題意列出關(guān)于的方程，解方程求出，即可得出答案.（2）由（1）得到直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，由韋達(dá)定理代入求出，設(shè)O點到直線AB的距離為d，求出d，由面積公式即可求出答案.（3）設(shè)，，設(shè)，由題目條件表示結(jié)合定比分點公式由表示，設(shè)同理用表示，代入，可求得答案.（1）由題意，得解得∴，故的方程為．（2）由（1）知，∴直線AB的方程為，由即，設(shè)，，則，，∴．設(shè)O點到直線AB的距離為d，則．∴．（3）設(shè)AB直線方程，設(shè)，，，，由由定比分點坐標(biāo)公式：，由于A，C滿足橢圓方程，故得兩式作差得③，將①②代入③可得，和①進行聯(lián)立，即，解得：由同理可得，∴，故．2．證明見解析分析：設(shè)直線NQ與x軸相交于點，設(shè)，則，則由可得，，再由三點共線，設(shè)可得，，從而得，，再將代入橢圓方程兩式化簡變形結(jié)合前面的式子可得，從而可得結(jié)論【詳解】設(shè)，則設(shè)直線NQ與x軸相交于點，由題設(shè)知：，所以，，即，①設(shè)，則，，即，②比較①②得，，又，兩式作差得，得到，得到，即M和F重合．所以．3．證明見解析分析：根據(jù)向量共線及定比分點坐標(biāo)公式列方程，結(jié)合點在橢圓上計算得證.【詳解】設(shè)，，則，設(shè)AC與x軸的交點為，，，由定比分點公式坐標(biāo)公式得：；，即①，②，③，④，由②④得⑤∵點A、B在橢圓上，得，兩式相減得，將①②代入上式得⑥∵點A、C在橢圓上，得，將③④代入上式同理可得⑦對比⑤⑥⑦得，故直線AC恒過定點．4．（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可求得的值，進而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出點的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運算得出的表達(dá)式，并代入韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】（1）因為，所以，又，解得，，所以橢圓的方程為；（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時直線與橢圓無公共點，直線的斜率存在，設(shè)為，設(shè)、，聯(lián)立與橢圓的方程得：，則有，，又因為直線為，聯(lián)立與可得，由，即，可得，同理可得，所以，其中分子為，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．證明見解析分析：由向量坐標(biāo)運算可化簡求得，代入橢圓方程可得；同理由可得，兩式作差即可化簡整理得到定值.【詳解】設(shè)，，將兩點代入橢圓方程得：…①，…②；,即，，，代入①式整理得：…③；同理由可得：…④；③④得：…⑤⑤式對任意恒成立，，解得：，為定值.6．（1）；（2）1分析：（1）由題意可得b＝1，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）求得A的坐標(biāo)，設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），運用向量共線坐標(biāo)表示，結(jié)合條件求得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．【詳解】（1）因為短軸長2b＝2，所以b＝1，又離心率e＝，且a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，則橢圓C的方程為+y2＝1；（2）由（1）可得點A（﹣，0），設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），則y1＝k1x1，y0＝k2x0，由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），即有x0＝，k1x1＝y(tǒng)1＝y(tǒng)0＝k2x0＝k2（x1﹣），兩邊同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），解得x1＝，將P（x1，y1）代入橢圓方程可得λ2＝，由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和基本量的關(guān)系，考查直線方程和向量共線的坐標(biāo)表示，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．7．（1）；（2）證明詳見解析.分析：（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當(dāng)時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標(biāo)為.同理可得：點的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當(dāng)時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點．【整體點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.8．證明見解析分析：設(shè)出點的坐標(biāo)，表示出向量坐標(biāo)，通過向量關(guān)系和橢圓方程分別表示出與和的關(guān)系，即可得到的值.【詳解】設(shè)，，，由于，由定比分點公式可得將，，代入橢圓方程有得

③，得兩邊同除整理得所以，即又，即解得同理:所以.9．（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意可得，再由求出的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，從而得，然后由，可得和，由此可知為方程的兩不相等實數(shù)根，所以有，可求出的值，從而可得答案【詳解】（1）依題意，．由，得．故橢圓方程為．（2）設(shè)，．由，得，．∵點在橢圓上，，整理得．同理，由可得．為方程的兩不相等實數(shù)根，．．又．∴直線恒過定點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由，得到和，從而有為方程的兩不相等實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析分析：（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，.當(dāng)直線、的斜率存在時，,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)由題，解得，則，橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，則，直線的方程為代入，可得，，則,直線的斜率為，直線的斜率為，，當(dāng)直線的斜率不存在時，同理可得.當(dāng)直線、的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則由消去可得：，又，則，代入上述方程可得:，，則

，設(shè)直線的方程為，同理可得，直線的斜率為直線的斜率為，.所以，直線與的斜率之積為定值，即.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．11．（1），；（2）證明見解析.分析：（1）由題意，得到關(guān)于和的方程組，求出，，由，，的關(guān)系求出的值即可；（2）設(shè)出，，，的坐標(biāo)，利用，，三點共線，得到①，由，均值橢圓上，得到②，即可求出點坐標(biāo)，同理求出點坐標(biāo)，可得到直線的方程，由直線方程進行分析求解即可得到答案．【詳解】（1）由題意有，，解得，，所以.（2）證明：設(shè)，，，，，，，，因為，，三點共線，則有，即①，又因為點，均在橢圓上，由（1）可得，橢圓的方程為，所以，兩式作商可得，②，由①②可得，，同理可得，所以直線的方程為，又，，所以直線的方程為，故直線過定點．【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進行研究．12．（1）；（2）證明見解析.分析：（1）根據(jù)題意，當(dāng)與軸垂直時，用表示出點的坐標(biāo)，即得，則由的面積為8得出的值，即得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）