高考數(shù)學一輪復習(提升版)(新高考地區(qū)專用)3.6零點定理(精講)(提升版)(原卷版+解析)

3.6零點定理（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一零點的區(qū)間【例1】(2023·河南開封·）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A．B．C．D．2．(2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（

）A． B． C． D．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．考點二零點的個數(shù)【例2-1】(2023·陜西）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2-2】(2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．03．(2023·海南省）設函數(shù)定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)有（

）個零點A．4 B．5 C．6 D．7考點三比較零點的大小【例3】(2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·河南）若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．(2023·山西）正實數(shù)滿足，則實數(shù)之間的大小關系為（

）A． B． C． D．考點四已知零點求參數(shù)【例4-1】(2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-2】(2023·吉林）已知若關于x的方程有3個不同實根，則實數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)若關于x的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．(2023·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．(2023·廣西·貴港市高級中學三模）已知在有且僅有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．(2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點五零點的綜合運用【例5-1】(2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A． B．C． D．【例5-2】(2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5-3】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中學）若為奇函數(shù)，且是的一個零點，則一定是下列哪個函數(shù)的零點（

）A． B． C． D．2．(2023·陜西·模擬預測（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．103．(2023·陜西·西安中學一模（理））函數(shù)的所有零點之和為_________.3.6零點定理（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一零點的區(qū)間【例1】(2023·河南開封·）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，的定義域為，，所以在上單調(diào)遞增，所以，，由零點存在性定理知：，函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是.故選：D.【一隅三反】1．(2023·湖南）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A．B．C．D．答案：B【解析】因為是上的增函數(shù)，且，所以的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B2．(2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，故其至多一個零點；又，，故的零點在區(qū)間，故.故選：．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設，易知在定義域內(nèi)是增函數(shù)，又，，所以的零點在上，即題中方程的根屬于．故選：B．考點二零點的個數(shù)【例2-1】(2023·陜西）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】當時，則函數(shù)的零點個數(shù)為函數(shù)與函數(shù)，的交點個數(shù)作出兩個函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，當時，函數(shù)的零點有兩個，當時，，即當時，函數(shù)的零點有一個.綜上，函數(shù)的零點有三個.故選：D【例2-2】(2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11答案：B【解析】作出的圖像，則在內(nèi)的零點個數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點個數(shù)9.選：B.【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】令，得，則函數(shù)零點的個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，可知兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)為2，故方程的解的個數(shù)為2個．故選：C．2．(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．0答案：C【解析】在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，，，，作出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個交點．故選：C．3．(2023·海南?。┰O函數(shù)定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)有（

）個零點A．4 B．5 C．6 D．7答案：C【解析】的零點個數(shù)即的圖象交點個數(shù).因為為奇函數(shù)，故關于原點對稱，故關于對稱，又為偶函數(shù)，故關于對稱，又當時，，畫出圖象，易得函數(shù)的圖象有6個交點故選：C考點三比較零點的大小【例3】(2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：D【一隅三反】1．(2023·河南）若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】畫出與三個函數(shù)的圖象，如圖可得的與交點的橫坐標依次為，故故選：B2．(2023·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點存在定理可知．；設函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點存在定理可知，；設函數(shù)，易知在上遞減，，，因為，由函數(shù)單調(diào)性可知，，即.故選:A．3．(2023·山西）正實數(shù)滿足，則實數(shù)之間的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即，即，與的圖象在只有一個交點，則在只有一個根，令，，，，則；，即，即，由與的圖象在只有一個交點，則在只有一個根，令，，，，故；，即，即，由與的圖象在只有一個交點，則在只有一個根，令，，，，則；故選：A.考點四已知零點求參數(shù)【例4-1】(2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】對函數(shù)求導得：，當或時，，當時，，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，在處取得極小值，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖像和直線，如圖，觀察圖象知，當時，函數(shù)的圖像與直線有3個不同的交點，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B【例4-2】(2023·吉林）已知若關于x的方程有3個不同實根，則實數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為時，，則，令，則，所以時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；且，，時，；時，，則，令，則，所以時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；且，，時，；作出在上的圖象，如圖：由圖可知要使有3個不同的實根，則.故選：D.【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，若，即，必有，令，則，設，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個交點，又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)若關于x的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函數(shù)的圖像如下圖所示：若關于x的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則函數(shù)的圖像與直線有三個交點，若直線經(jīng)過原點時，m＝0，若直線與函數(shù)的圖像相切，令，令.故.故選：D．2．(2023·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因為為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，.當時，由，得；當時，由，得.結(jié)合函數(shù)的圖象可知，若有3個零點，則．故選：A3．(2023·廣西·貴港市高級中學三模）已知在有且僅有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由，得，即.設，即在有且僅有6個實數(shù)根，因為，故只需，解得，故選：D．4．(2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知，畫出函數(shù)的簡圖，如圖所示由恰好有兩個零點轉(zhuǎn)化為與直線有兩個不同的交點，由圖知，當直線經(jīng)過點兩點的斜率為，則.所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.考點五零點的綜合運用【例5-1】(2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因為，令，即，當時顯然不成立，當時，作出和的圖象，如圖，它們關于點對稱，由圖象可知它們在上有4個交點，且關于點對稱，每對稱的兩個點的橫坐標和為，所以4個點的橫坐標之和為．故選：C．【例5-2】(2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)在區(qū)間上有2個零點即方程在區(qū)間上有2個實數(shù)根設，則為偶函數(shù).且當時，，當時，在上單調(diào)遞增，且所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又時，；時，，則的大致圖像如圖.所以方程在區(qū)間上有2個實數(shù)根滿足則，設，則在上恒成立所以故選：A【例5-3】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令、，則、，在同一坐標系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，因為函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，所以，，解方程組，因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關于對稱，則，，，A、B、D錯誤，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以，因為點在直線上，所以，，故C正確，故選：C．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中學）若為奇函數(shù)，且是的一個零點，則一定是下列哪個函數(shù)的零點（

）A． B． C． D．答案：B【解析】是奇函數(shù)，且是的一個零點，所以，把分別代入下面四個選項，對于A，，不一定為0，故A錯誤；對于B，，所以是函數(shù)的零點，故B正確；對于C，，故C不正確；對于D，，故D不正確；故選：B.2．(2023·陜西·模擬預測（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10答案：A【解析】方程可變形為方程，方程可變形為