2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”含答案解析03

2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”3

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.四個選項中只有一項符合題目要求.）

1.已知集合4={1,3,4,5},集合3={XGZ|X2—4X—5<0},則4口8的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】由X2-4x—5<0,解得一l<x<5,所以8={0,1,2,3,4},所以Ac5={l,3,4},所以AcB

的子集個數(shù)為23=8,故選C.

2.已知函數(shù)g（x）=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限，則t的取值范圍為

A.t<-lB.t<-I

C.t<-3D.t>-3

【答案】A

【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)g（x）=3"+t恒過點坐標(biāo)為（0,1+t）,函數(shù)g（x）是增函數(shù)，圖象

不經(jīng)過第二象限，...l+tWO,解得tW-1.故選A.

3.在一組樣本數(shù)據(jù)（工2，%），…，（％，%）（*2，*，馬…X,,不全相等）的散點圖中，若所有

樣本點a，yj（i=l，2,…都在直線*1-3?上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-3B.0C.-1D.1

【答案】C

【解析】

因為所有樣本點（％,y）（i=l,2,…⑼都在直線y=-3x+l上，所以回歸直線方程是y=-3x+l,可得這

兩個變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點（玉,y）（i=l,2,..,"），都在直

線上，則有卜|=1,?.?相關(guān)系數(shù)r=—1,故選C.

4.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)AABC的三個內(nèi)角

[/2212、2~1

48,。所對的邊分別為。力,~面積為S,則“三斜求積”公式為5=-a2c2-二十C=二,若

n12〃

/sinC=5sinA,3+c）2=16+/,則用“三斜求積”公式求得8c的面積為（）

A且B.百C.—D.2

22

【答案】D

【解析】?2sinC=5sinA，a2c=5a，QC=5,因為（a+c>=16+〃，

<]--

所以，a2+c2-b2=\6-2ac^6,從而AABC的面積為52

VL

故選:D.

5.如圖是當(dāng)。取三個不同值3，/,%時的三種正態(tài)曲線，那，<CT1,%,%的大小關(guān)系是（）

y

-3-2-10123

A.er,>cr3>cr2>0B.0<巧<o3<^2

C.CTj>cr2>cr3>0D.0<0vc「2<%

【答案】D

【解析】

由圖可知，三種正態(tài)曲線的〃都等于0

由〃一定時，b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中，b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的

分布越分散，則0<CT|<q<內(nèi)

故選：D

S,,2〃一3a,

6.設(shè)數(shù)列{%},{〃,}均為等差數(shù)列，它們的前〃項和分別為S“，T”,若聲=而暮，則社=（）

7151719

A.—B.—C.—D.—

19313437

【答案】B

【解析】】???數(shù)列{4},{2}均為等差數(shù)列，它們的前〃項和分別為S“，T“,

9（%+%）

Sg_2_4+/_2as_as

799（優(yōu)+4）h+瓦2bsb；

2

Sn2n-3.邑"

'于3〃+4.7一斤'.又一

故選：B.

7.雙曲線C的左、右焦點分別為耳，后，且尸2恰好為拋物線>2=4x的焦點，設(shè)雙曲線。與該拋物線的一

個交點為A，若|A&=|片閭，則雙曲線c的離心率為（）

A.B.1+73C.2+V2D.2+

1+A/2百

【答案】A

【解析】工為拋物線>2=4x的焦點,

F2(1,0),F1(-1,0)

=忸閭=2,故A點坐標(biāo)為。，2)或(1,一2)

|A/；；|=^[1-(-1)]2+22=272-則2a=2亞-2

解得。=近一1，又c=l

故選A

8.設(shè)函數(shù)/'(X)是函數(shù)〃x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)XHO時，/0)+2乂。<0,則函數(shù)

g(x)=/(x)-g的零點個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】設(shè)尸(x)=d/(x)_l,則F(X)=X3/，(X)+3X2〃X)=X3/(x)+當(dāng)

當(dāng)XH0時，/，(x)+2ZH<0,

當(dāng)x>0時，/>(),故尸(力<0,所以，函數(shù)y=F(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x<0時，/<0,故b'(x)>0,所以，函數(shù)y=*x)在(F,0)上單調(diào)遞增.

所以*x)1rax=/(0)=—1<0,所以，函數(shù)y=E(x)沒有零點，

故g(x)=〃》)-3=斗裝也沒有零點.

故選：D.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求的，全選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得。分.）

9.在某次高中學(xué)科知識競賽中，對4000名考生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖,

其中分組的區(qū)間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],60分以下視為不及格,

若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說法中正確的是（）

A.成績在[70,80）的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競賽成績的平均分約為70.5分D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

【答案】ABC

【解析】由頻率分布直方圖可得，成績在[70,80）的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確;

成績在[40,60）的頻率為0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人數(shù)為4000x0.25=1000,故B

正確;

考生競賽成績的平均分約為45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

確;

因為成績在[40,70）的頻率為0.45,在[70,80）的頻率為0.3,

所以中位數(shù)為70+10x^=71.67,故D錯誤.

0.3

故選ABC.

10.己知函數(shù)/（x）=Asin（/x+e）|A>0,。>0，M<5）的最大值為拉，其圖像相鄰的兩條對稱軸之間

的距離為且/（x）的圖像關(guān)于點（一1,。）對稱，則下列結(jié)論正確的是（）.

SJT

A.函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于直線彳=在對稱

B.當(dāng)XG-W時，函數(shù)/（X）的最小值為一孝

C.若=,則sin,a—cos4a的值為一之

D.要得到函數(shù)/（X）的圖像，只需要將&3=挺32欠的圖像向右平移2個單位

【答案】BD

【解析】由題知：函數(shù)/（X）的最大值為五,所以A=J5.

因為函數(shù)/（X）圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為^,

所以工=工，T=3-=冗,CD=2,/(x)=V5sin(2x+e)

22co

又因為的圖像關(guān)于點（一1,0）對稱，

所以/1_專）=001“_看+9]=0,—^+（p-k7r,keZ.

所以9=（+次力,左wZ.因為闞<、,所以尹=仁.

即/（x）=V^sin（2x+?）.

對選項A,/（亮燈）=0sin;r=O4土&,故A錯誤.

對選項B,xe——,2x+—G——

L66J6L62

當(dāng)2x+^=q時，/(x)取得最小值一自，故B正確.

對選項C,f?^一a)=Vising-2a)=0cos2a=

3

得到cos2a=—.

因為sin,a-cos,a=卜擊a+cos?6Z)(sin2rz-cos2a)=-cos"=--|,

故C錯誤.

對選項D,

g(x)=&cos2x的圖像向右平移3個單位得到

6

y=y/2cos2-V2cos=41sin?^+[2x-?)]=esin(2尤+看，

故D正確.

故選：BD

11.在AABC中，D,E,F分別是邊8C,AC,AB中點，下列說法正確的是()

A.AB+AC-AD=6

B.DA+EB+FC=0

若EH二呵

則而是麗在起的投影向量

\AB\\AC\\AD\

—.—.—.1

D.若點P是線段A。上的動點，且滿足BP=28A+〃3C,則入〃的最大值為7

8

【答案】BCD

【解析】

如圖所示:

對選項A，AB+AC-AD=2AD-Ab=AD^Q>故A錯誤.

對選項B,DA+EB+FC^--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

=」通」正」麗」及」畫」函

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=6,故B正確.

222222

ADAr1AH

對選項C,.,—.,=丁分別表示平行于入以，AC，的單位向量,

1陰|AC|\AD\

APA(^

由平面向量加法可知：=+=為的平分線表示的向量.

|AB|\AC\

Ti?AH

因為駕-+，所以AO為NB4C的平分線,

\AB\\AC\\AD\

又因為AD為BC的中線，所以AOL8C,如圖所示:

BD

麗在就的投影為網(wǎng)cos3=|網(wǎng)?BD

BA

所以亦是麗在比的投影向量，故選項C正確.

對選項D,如圖所示：

因為P在AO上，即AP,。三點共線,

設(shè)麗=曲+（1一）而，0<r<l.

又因為方方=,百+,所以麗=/麗+支"0耳已

22

2=/

因為8戶=%明+則vl-t，()<r<l.

Ajcl。，1/12

號y=lm-1?----Q——x)'+一,

2228

當(dāng)，=，時，取得最大值為故選項D正確.

28

故選：BCD

12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,…,

該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列

數(shù)組成的數(shù)列｛0｝稱為斐波那契數(shù)列.并將數(shù)列｛0｝中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為

{5,},則下列結(jié)論正確的是()

A.g269=2B."/3)-(％)2+"%)—(%了=0

C.gi+gz+g?^,+g2019=2688D.ft+f2+于3+…+6()19=2&0I8&020

【答案】AB

【解析】對于A選項：

g|=Lg2=l，g3=2送4=3曲=Lg6=°，g7=1送8=Lg9=2，g|0=3，g|I=l，g|2=°，…，

所以數(shù)列{5,}是以6為最小正周期的數(shù)列，又2019=6x336+3,所以g2(n9=2,故A選項正確；

d

對于C選項：g]+g2+S3----Fg2()i9=336x(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2692,故C選項錯誤；

對于B選項：斐波那契數(shù)列總有：fn+2=fn+x+fn，

所以（%）=人2（/3-%）=力2%-為2月，=—=

(Al)fl\(^2A))

所以（以力3）—（人2）2+（力。右2）_（%）2=0,故B正確；

對于D選項：?."=為＜+2=/出叱,，，（工）2=工人，人2=人（八一工）=力人一人工,

力2=力（力一右）=力力一人人,

力/=fn+i(力+2—力)=(),+2—4+工。

所以k+力2+6+?..+#19

=1&+(/力—//)+(/力-為人)+…+(身)18>/i019-月)18人)17)+(%19月)20一方019人018)

=人019人020,故D選項錯誤;

故選：AB.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知(ox?-I)',>0)的展開式中第6項的系數(shù)為-189,則展開式中各項的系數(shù)和為.

【答案】128

777

【解析】由題意，通項為：7；+1=C*(ar)-*(-l)*=(-l/a-*C；-*x-*,

由于(ox?一I)，(a>0)的展開式中第6項的系數(shù)為-189,

則第六項系數(shù)為：(-1),7-5&=-189,解得：a=3,

故該二項式為(3f—I)?,

令x=l得展開式各項系數(shù)的和為：27=128.

故答案為：128.

14.已知一袋中有標(biāo)有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當(dāng)四種號碼

的卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為.

75

【答案】市

【解析】由分步乘法計數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號碼后放回，進行6次一共有4X4XKX4=46

種不同的取法.

恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼，三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為

3,1,1或者2,2,1,

三種號碼分別出現(xiàn)3,1,1且6次時停止的取法有國或U^xl=240種，

r2r2

三種號碼分別出現(xiàn)2,2,1且6次時停止的取法有A；xlxl=360種,

由分類加法計數(shù)原理知恰好取6次卡片時停止，共有240+360=600種取法,

60075

所以恰好取6次卡片時停止的概率為：P=

75

故答案為:

512

15.已知直線y=2x+l與圓Y+yZ+or+Zy+JO交于A、3兩點，直線的+丁+2=0垂直平分弦A8，

則m的值為,弦AB的長為