余弦定理學(xué)高一數(shù)學(xué)課時同步練蘇教版必修第二冊解析版

一、單選題

222

1.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）在.ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,Ma=b-C+y[2ac>

則角B的大小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】

由02+萬^利用余弦定理可得cosBnXZ,結(jié)合3的范圍，即可得3的值.

2

【詳解】

ABC中,a2=b2—C2+6ac,

可得：/+02—=0加，

???由余弦定理可得：

a2+c2-b26ac丘

COSZDJ-----------------------------------,

2aclac2

Be（0,7r）,

..5=45，

故選：A.

2.（2021?全國高一課時練習(xí)）在蜘8c中，若（a+c）（a-c）=b（b-c）,則A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【分析】

根據(jù)余弦定理，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)值進行求解即可.

【詳解】

772a2_21

因為（a+G（。-c）=b（b—c）,所以b2+c2—a2—bc,所以cosA=---------=—.

2bc2

因為A三角形的內(nèi)角，所以4=60。.

故選：B

3.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）已知MBC中，角4B,C的對邊分別為a,b9c,若。=10,b=15,C=60°,

貝！IcosB=（）

AbR5出CaD5s

14141414

【答案】A

【分析】

先根據(jù)余弦定理算出c,再根據(jù)余弦定理可計算cos3.

【詳解】

由余弦定理得=a2+/—2abcosC=100+225—2x10x15x^=175,

2

故c=577,

由z?a2+c2-b2100+175-225幣

所以COS3=----------=----------=——?

lac2x10x57714

故選：A.

4.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）在MBC中，若B=60。，b2=ac,則財BC的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】

利用余弦定理計算可得；

【詳解】

解：B=—.

3

把Z?2=ac代入余弦定理求得/+。2一ac=qc，即（a—c）2=0,因此a=c,從而A=C,

.工ABC為等邊三角形.

故選：D.

113

5.（2021?上海高一）已知AABC的三邊。、b、c滿足----+-----=--------，則為（）

a+bb+ca+b+c

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【答案】C

【分析】

113

將等式--+--=---變形得b2=a2+c2-ac,再利用余弦定理即可求出.

a-\-bb+ca+b+c

【詳解】

113

由----+----=----；---可得，b2^a2+c2-ac,

a+bb+ca+b+c

2.2y2-i

即有cosB=a=匕又0°<6<180°,所以5=60°.

2ac2

故選：C.

6.（2021?上海高一）若a,a+l,a+2是銳角三角形的三邊長，則a的取值范圍是（）

A.l<a<3B.a>l

c.a>3D.0<a<l

【答案】c

【分析】

根據(jù)大邊對大角，只需邊長a+2對應(yīng)的角為銳角，由余弦定理即可求出.

【詳解】

因為三角形是銳角三角形,所以最大邊長a+2對應(yīng)的角為銳角，設(shè)該角為仇

所以cos￡=-----------\--------^-〉0,即a2_2a_3>0,解得a>3或a<-l（舍去）.

2a（a+l）

故選：C.

7.（2021?廣東東莞市?高二期末）2020年5月，《東莞市生活垃圾分類三年行動方案》出臺.根據(jù)該方案，小

明家所在小區(qū)設(shè)置了兩個垃圾回收點A,B,他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走80米，到達回收點A,再

向南偏東60。方向走30米，到達回收點B,則他從回收點B回到自家樓下至少還需走（）

A.50米B.57米C.64米D.70米

【答案】D

【分析】

畫出圖形，利用余弦定理，即可求解.

【詳解】

由題意，可知李華的行走路線，如圖所示,

由余弦定理可得OB=A/QA2+AB2-204-OBcos60

=^900+6400-2x30x80x1=70,

即他從回收點B回到自家樓下至少還需要走70米.

故選：D.

8.（2021?江西新余一中高二其他模擬（理））在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC

的面積為5,"2,45=。2+。2-4,貝!!ABC外接圓的面積為（）

A.4萬B.8%C.TCD.2%

【答案】D

【分析】

由余弦定理及三角形面積公式得^+c2—a2=2bccosA和S=^Z?csinA,結(jié)合條件4s=尸+°2一4,可

2

得sinA=cosA,求得角A,再由正弦定理即求得結(jié)果.

【詳解】

由余弦定理得，b2+c2-a2=2Z?ccosA，a=2

所以〃+H—4=2Z?ccosA，

又S=4csinA,4s=Z?2+02-4,

2

所以有4x^/?csinA=2Z?ccosA,即sinA=COSA,

又Ae（O,?）,所以A=?,

_--=---=2RI-

由正弦定理得，sinAsin^，得R=.

Sm4

所以ABC外接圓的面積為S=萬=2萬.

故選：D.

【點睛】

思路點睛：

解三角形問題多為邊角求值的問題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合已知條件，靈活選擇，它的作

用除了直接求邊角或邊角互化之外，它還是構(gòu)造方程（組）的重要依據(jù)，把正、余弦定理，三角形的面積

結(jié)合條件形成某個邊或角的方程組，通過解方程組達到求解的目標(biāo)，這也是一種常用的思路.

二、多選題

9.（2021?全國高一課時練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,0=273,cos/l

=—，則b=（）

2

A.2B.3C.4D.272

【答案】AC

【分析】

利用余弦定理即可求解.

【詳解】

由余弦定理，

得a2=b2+c2—2bccosA,

04=b2+12-6b,

即b2-6b+8=0,

0b=2或b=4.

故選：AC.

10.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150。，然后沿新方向走了3左〃，結(jié)

果離出發(fā)點恰好亞心，則x的值為（）

A.73B.273C.2D.3

【答案】AB

【分析】

根據(jù)余弦定理列出方程，即可求解.

【詳解】

如圖所示，在/ABC中，AB=x,BC=3,AC=y/3,ZABC=30,

2

由余弦定理得，AC2=x+32-2XX3COS30，

整理得36犬+6=0，解得X=26或X=

故選：AB

11.（2021?全國高一課時練習(xí)）在A5C中，。，6,c分別是內(nèi)角A,B,。所對的邊，6a=2csinA,

TT

且0<C<—,6=4,則以下說法正確的是（）

2

A.C=-

3

71

B.若c=—,貝！Icos3=—

27

C.若sinA=2cos3sinC,貝！IABC是等邊三角形

D.若二A5C的面積是2百，則該三角形外接圓半徑為4

【答案】AC

【分析】

對于A,利用正弦定理可將條件轉(zhuǎn)化得到GsinA=2sinCsinA，即可求出C；

對于3,利用正弦定理可求得sin8,進而可得cosB；

對于C,利用正弦定理條件可轉(zhuǎn)化為a=2ccos3,結(jié)合原題干條件可得3,進而求得A=B=C；

對于。，根據(jù)三角形面積公式求得。，利用余弦定理求得c,進而由正弦定理求得R.

【詳解】

解：由正弦定理可將條件JGa=2csinA轉(zhuǎn)化為由sinA=2sinCsinA，

因為sinAwO,故sinC=走，

2

rr7T

因為Ce(0,—),則。=—,故A正確；

23

".a_b.也_4也

若c=L7,則由正弦定理可知‘一=上h，則smB=rmC=7><3=^,

2sinCsinB-

因為5w(O,?),則COS3=±J1-SZ%2B=±JI一竺=±L故_B錯誤；

V497

若sinA=2cos5sinC,根據(jù)正弦定理可得a=2ccos6,

又因為=2csinA，即a=2^csinA,即有2^csinA=2ccos3,所以sinA=A/^COS5，

因為A+3=?-C=Z^,則A=2^—5,故sin(M—3)=百cosB,

333

整理得走cos3+」sin5二百cosB,即^sinB=旦c°sB,

2222

解得tanB=6,故B=工，則A=工，

33

71

即A=3=C=§,所以.ABC是等邊三角形，故C正確；

若ABC的面積是2g，即gabsinC=26，解得a=2,

由余弦定理可得c?=a2+b2-labcosC=4+16-2x2x4x—=12,即0=2百

2

設(shè)三角形的外接圓半徑是R,

2尺---逑-4

由正弦定理可得sinC一3一，則該三角形外接圓半徑為2,故D錯誤，

~2

故選：AC.

【點睛】

本題考查正余弦定理的應(yīng)用及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的三角公式，轉(zhuǎn)化思想，計算能力，

屬于中檔題.

12.(2021?全國高三專題練習(xí))八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為

圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中。4=1,則以下結(jié)論正確的是().

B.OAOD^-—

2

c.OB+OH=-s/2OED.|AH-FH|=72-V2

【答案】ABC

【分析】

結(jié)合向量知識判斷，即可得出答案.

【詳解】

對A,因八卦圖為正八邊形，故中心角為45。，NFOD=90°,

^HDBF=O<故A對;

由上得NAOE>=135°=q,OAOD=|(?A|-|OD|cos-B對；

對C,08與?！钡膴A角為90。，又因口目=|。"卜根據(jù)平行四邊形法則08+0"=夜04=—6?！?，C

對；

對D,|A"—+=ZAOF=^~,AAOR中，由余弦定理可得

|AF|2=|(9A|2+|OF|2-2|G)A|-|(9F|cos^=2+V2,"='2+0，D錯；

故選:ABC

【點睛】

本題考查向量的基礎(chǔ)知識，向量線性運算的基本法則，余弦定理解三角形，屬于中檔題.

三、填空題

3

13.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）一個三角形的兩邊長分別為5和3,它們夾角的余弦值是一《，則三角形的

另一邊長是.

【答案】2岳

【分析】

利用余弦定理列出關(guān)系式，把兩邊長與夾角的余弦值代入求出另一邊長即可.

【詳解】

_3

解：設(shè)Q=5,b=3,cosC=——,

由余弦定理得：22

H=^+Z?-2^COSC=25+9+18=52,

則c=2萬.

故答案為：

14.（2021?上海高一）在A8C中，a=6,b=l,c=8,A5邊上的中線長為.

【答案嚴(yán)

【分析】

取AB中點/，由余弦定理得cosA及。02可得答案.

【詳解】

如圖取A5中點M，連接CM,且A"='A3=4,

2

^272_264+49-36_11

由余弦定理得8sA

H2~16

CM2=AC2+AM2-2AC?ACcosA49+16-2倉1)74?^=f

所以CM=半.

15.（2021?江蘇常州市?高三期末）在ABC中，已知AC=1,NA的平分線交于。，且AD=1,

BD=O，貝DABC的面積為.

【答案】近

8

【分析】

設(shè)/氏4。=/。4。=3/氏4。=6,AB^x,將SABAD+S^CAD=S*BC利用三角形面積公式表示出來，

X+1丫2I1?

可得cose=——，在△ABD中,利用余弦定理可得cos0=，解得x=2,即可求出cos。，sin8,

2x2x

進而可得sin/BAC的值，再利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】

因為A。平分N54C,所以/34。=/。1。=工/84。，

2

設(shè)=則NC4D=，，ABAC^20,

因為S△明Q+^ACAD=^AABC,設(shè)=X,

所以工九sinO+^sine二工尤sin20,

222

所以，xsin8+sin夕=2xsin，cos0,

x+]

因為sinOwO,所以x+l=2%cos。，即cos8=----,

2x

+4nnr+i八x2+]_2匚Ui、[%2_1X+1

在△ABD中，cos0---------，所以------=-----,

2x2x2x

可得％2—尤―2=0，解得：％=2,

3

所以cos/BAD=cos0,

4

所以sin/BAD=y/1-cos2ZBAD=—，

4

sinN3AC=2sin，cos6=2義立x3=,

448

13J7

所以S.cAC-ABsinZBAC

28

故答案為：近

8

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是將SABAD+SACAOMSOBC用面積公式表示出來可得邊角之間的關(guān)系，再結(jié)

合余弦定理即求出邊和角即可求面積.

16.（2021?上海高一）ABC中，設(shè)6C=a,AB=c,ZABC為銳角且滿足lgcz-lgc=Igsin8=-IgTI,

則ABC的形狀是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】

由lga-lgc=lgsinB=-lgJ5得B=c=J5a,再結(jié)合余弦定理即可得結(jié)果.

【詳解】

由lgcz-lgc=lgsinB=-lgV2lg—=lgsinB=lg（0j

所以@=sin3=Y2又NABC為銳角，則3=工，c=^2a

c24

222

入*中/曰n—Z7+2^z—Z7A/2ZQ,

由余弦定理得cosB=---------------=----------T=---=——得a=b

2ac2a>J2a2

77jr

所以B=A=—,C=—,則4A5c的形狀是等腰直角三角形.

42

故答案為：等腰直角三角形

四、解答題

17.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）已知在MBC中，a的團c=2回巡回（出+1）,求角A的大小.

【答案】A=45°

【分析】

利用余弦定理可求A的大小.

【詳解】

由題設(shè)可設(shè)a=2k,b=y/6k,c=（6+1）左（左>0）,

b2+c2-a2642+(2百+4快2-442」近

由余弦定理得，cosA=

2bc2x瓦kx(6+l)左2'

而A為三角形內(nèi)角，故A=45。.

18.(2021?上海高一)在MBC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程f一2氐+2=0的兩根，2cos(A+5)=1.

(1)求角。的度數(shù)；

(2)求AB的長.

【答案】(1)C=—；(2)AB=y/lQ.

【分析】

(1)利用誘導(dǎo)公式可得角C的余弦值，從而可求。的大小.

(2)利用余弦定理和韋達定理可求A5的長.

【詳解】

(1)由題設(shè)可得COS(%-C)=；即85。=一3,

27r

而C為三角形內(nèi)角，故。=—.

3

(2)由韋達定理可得。+人=2百,。人=2,

由余弦定理可得AB?=a2+b2-2abcosC=a1+b2+ab=(?+Z?)2-ab=lQ,

t^AB=y/10.

19.(2021?上海高一)在M8C中，所示，4W是財BC邊BC上的中線，求證：AM=^2(Z?2+C2)-a2

【答案】證明見解析.

【分析】

uuir1uuauun

先利用向量表示AM=萬(zA3+ACx),再計算模長，結(jié)合余弦定理化角為邊，即得結(jié)論.

【詳解】

UULT1/UUHuun

解：AM是回ABC邊BC上的中線，故AM=5(AB+AC)x,

故AM=|眼=；J(AB+AA『=14AB+AC+2ABAC,

.2-2

2222

而AB~=02,AC~=b,2AB-AC=2cbcosABAC=b+c-a'

故AM=g+12+（/+）2—42）=1J2k2+匕2）一42.

20.（2021?山東威海市?高三期末）在①5ABe=￥，②bsinC_6bsinB—gccosB=c；③

sin6=2sinC這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并做答.

7T

問題:已知ABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,b,c,A=-,c=l,,角B的平分線交AC于點。,

求BD的長.

（注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

【答案】BD=3'W

2

【分析】

若選①，根據(jù)三角形的面積公式即可求出b=2,再利用余弦定理得a=5再根據(jù)勾股定理，可知5=^；

5%

方法一：根據(jù)5。為角平分線，可知NAO3=——，再在中，由正弦定理即可求出結(jié)果；方法二：

12

7T

根據(jù)應(yīng)＞為角平分線，可知NA3D=NCBD=i,再由S=S+S.CB?和面積公式即可求出結(jié)果；

若選②，根據(jù)正弦定理可得sinB-GCOS3=1，進而求出3=1,其他同①過程，即得結(jié)果；若選條件

③，由sin5=2sinC,可得/?=2c=2,再根據(jù)余弦定理可求出a=百，再根據(jù)勾股定理，可知3=],

其他同①過程，即得結(jié)果.

【詳解】

若選條件①：由54”=走，可得,6csinA=Y3

ABC222

TT

因為A=—,c=l,

3

所以b=2,

在」中，由儲=/2+。2一。必=』二

ABC?2/7℃4+1—2x2xlx3

2

22

所以Z?2=a+C,

TC

所以B二—

2

（法一）因為5D為角平分線,

兀

所以NAB0=—

4

.,..7C7C57r

故NADB=71---------=—

3412

.5乃.71711血#&y/2+46

sin——=sin—+—=—X----1---X---二--------

126422224

BD1

在AABD中，.兀.5TT，

sin—sin——

312

可得BDJ應(yīng)一戈

2

（法二）因為5D為角平分線,

TT

所以NA3D=NCBD=—

4

因為S.ABC=SABD+SCBD

所以立=LxlxBOxsin450+Lx6xBDxsin45。，

222

解得3D=3忘一痛

2

若選條件②：由bsinC-把ccosB=c，

可得sinBsinC-石sinCcosB=sinC

因為sinCwO,

所以sinB-GcosB=1,

可得sin]g_：

29

977

因為0<8<?,

717171

所以<5__<-

333

故3-f=

TV

可得B二=.

2

（下同條件①）

若選條件③:由sin5=2sinC,可得b=2c=2,

在《ABC中，由Q?=/+c2—2bccosA=4+l—2x2xl