2024春新教材高中數(shù)學(xué)5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修第一冊

5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（復(fù)習(xí)課）一、教學(xué)目標(biāo)1.能畫出三角函數(shù)的圖象；2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大(小)值、對稱性；3.理解探討三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思想和方法；4.培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)圖象及其主要性質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值或值域、對稱性）；探討函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思路和方法．2.難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的圖象及其性質(zhì)；依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)問題．三、教學(xué)過程1.學(xué)問梳理1.1用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（1）在正弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，．（2）在余弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，．1.2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間最大值最小值對稱中心對稱軸方程【周期結(jié)論】1．正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰兩個(gè)對稱中心的距離也是半個(gè)周期．2．為常數(shù)，：（1）或周期為；（2）周期為．2.探究典例例1.求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）．思索：將（4）換成、，定義域又是多少？【預(yù)設(shè)答案】（1）由題意知，，，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）要使函數(shù)有意義，必需使.在同一坐標(biāo)系中畫出上和的圖象，如圖所示：在內(nèi)，滿足時(shí)或，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?（3）函數(shù)的解析式為，，所以原函數(shù)的定義域?yàn)榍?（4）由題意得，又由前面的學(xué)問可知將函數(shù)在軸下方的圖象翻折到軸上方，并去掉軸原下方圖象保留原上方圖象，就得到了函數(shù)的圖象，的圖象如下圖所示：周期是，在內(nèi)，時(shí)或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?【設(shè)計(jì)意圖】求三角函數(shù)定義域事實(shí)上是構(gòu)造簡潔的三角不等式（組），通常是借助三角函數(shù)圖象來求解.【思索題預(yù)設(shè)答案】對于，得，結(jié)合的圖象：周期是，在內(nèi)，時(shí)或，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?對于，得，結(jié)合的圖象：周期是，在內(nèi)，時(shí)或，所以定義域?yàn)榛?【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生復(fù)習(xí)翻折變更下三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).對于函數(shù)仍是周期函數(shù)，而函數(shù)、不是周期函數(shù)，他們的圖象如下圖所示：例2.已知求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）．【預(yù)設(shè)答案】（1）依據(jù)余弦函數(shù)圖象知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以原函數(shù)值域?yàn)椋?）函數(shù)的解析式為，由（1）得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以原函數(shù)值域?yàn)椋驹O(shè)計(jì)意圖】本題涉及的三角函數(shù)求值域的方法有①利用、的圖象性質(zhì)干脆求解；②通過換元，轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的形式求值域.例3.比較下列各數(shù)的大?。海?），，；（2），，，.【預(yù)設(shè)答案】（1）由，且，結(jié)合正弦函數(shù)圖象知；（2）由前面三角函數(shù)的幾何意義可得當(dāng)時(shí)，，所以，又，，因此.【設(shè)計(jì)意圖】利用三角函數(shù)單調(diào)性比較大小；并總結(jié)三個(gè)三角函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系中的關(guān)系如下圖所示：例4.對于函數(shù)回答下列問題：（1）接受“五點(diǎn)法”如何作出的圖象？（2）求解的最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心；并推斷函數(shù)的奇偶性．【預(yù)設(shè)答案】（1）由函數(shù)的周期性可知仍是周期函數(shù)，令，，由“五點(diǎn)法”令、、、、，得到下表：得到的大致圖象： （2）法一：由（1）中圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，;單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)對稱軸方程為；對稱中心坐標(biāo)為;圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，也不關(guān)于軸對稱，是非奇非偶函數(shù).法二：令，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即，即時(shí)，單調(diào)遞減，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)對稱軸方程為，即；令，得，所以函數(shù)對稱中心坐標(biāo)為；【設(shè)計(jì)意圖】圖象是函數(shù)的直觀表示，也是函數(shù)性質(zhì)的集中體現(xiàn).學(xué)生駕馭如何作圖能幫助其有效解題.五點(diǎn)法作圖時(shí)應(yīng)當(dāng)選取怎樣的五個(gè)點(diǎn)是關(guān)鍵：抓住一個(gè)周期內(nèi)的最高（低）點(diǎn)、圖象與平衡位置的交點(diǎn)就能反映圖象的走勢.復(fù)合函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心有兩種方法：①利用復(fù)合函數(shù)圖象求解；②通過換元法整體代換，將看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，選用哪種方法應(yīng)依據(jù)實(shí)際狀況靈敏運(yùn)用.對于、處理方法也一樣.另外本題設(shè)置函數(shù)，也為后面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的平移和伸縮變更做好鋪墊．變式1：求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【預(yù)設(shè)答案】法一：令，得，得，所以原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.法二：，令，得，得，所以原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【設(shè)計(jì)意圖】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”原則求函數(shù)的單調(diào)性.令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，若和都單調(diào)遞增或都單調(diào)遞減，則原函數(shù)單調(diào)遞增；若和一增一減，則原函數(shù)單調(diào)遞減.變式2：求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【預(yù)設(shè)答案】令，得，原函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)或時(shí)原函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間和.【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)在定區(qū)間上求單調(diào)遞減（增）區(qū)間，可以求出原函數(shù)在上的全部單調(diào)減（增）區(qū)間，再與定區(qū)間求交集.變式3：求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【預(yù)設(shè)答案】令，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，又，所以，又依據(jù)圖象可知，當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)合函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題，分三個(gè)步驟：第一步，令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，其次步，依據(jù)的范圍求出的范圍，第三步，依據(jù)的圖象單調(diào)性得出的最值.變式4：求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【預(yù)設(shè)答案】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，，而，做出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象：圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，因此函數(shù)零點(diǎn)有5個(gè).【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，幫助學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)中的零點(diǎn)問題.變式5：已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且，求的值.【預(yù)設(shè)答案】由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱可知是函數(shù)的對稱軸，所以，又，因此.【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是，為奇函數(shù)的充要條件是；函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是；為奇函數(shù)的充要條件是．變式6：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【預(yù)設(shè)答案】由題意，得，再令，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞增，所以，即，得，得，因此.【設(shè)計(jì)意圖】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.變式7：已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，求的取值范圍.【預(yù)設(shè)答案】由題意，得，再令，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上有最大值無最小值，所以，所以，得或，因此或.【設(shè)計(jì)意圖】已知函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍.變式8：已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【預(yù)設(shè)答案】由題意，得，再令，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以，得，得或或，因此或或.【設(shè)計(jì)意圖】已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.3.歸納小結(jié)思索：本節(jié)課我們回顧了哪些學(xué)問？用到了那些探討方法和數(shù)學(xué)思想？【預(yù)設(shè)答案】學(xué)問：三角函數(shù)是刻畫周期的現(xiàn)象的的重要模型，圖象是周期現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，性質(zhì)是周期變更的規(guī)律的代數(shù)表現(xiàn).我們通過圖象直觀了解三角函數(shù)的性質(zhì),包括定義域、值域、周期性、單調(diào)性、最值、對稱性、零點(diǎn)等；思想方法：劃歸與轉(zhuǎn)化、模型思想、數(shù)形結(jié)合等；【設(shè)計(jì)意圖】（1）讓學(xué)生學(xué)會自主梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容、解題方法、數(shù)學(xué)思想；（2）激勵(lì)學(xué)生不怕困難，主動(dòng)攀登學(xué)問高峰.四、課外作業(yè)（1）設(shè)函數(shù)，若對隨意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值 為.（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為，求的最小值.（3）已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則.（4）函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為.（5）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶數(shù)；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③在上有個(gè)零點(diǎn)；④的最大值為.其中全部正確結(jié)論的編號是.【預(yù)設(shè)答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）①④.【設(shè)計(jì)意圖】（1）利用正弦余弦三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)求最值有