2024屆高考復(fù)習(xí)小專題坐標(biāo)法拿下三視圖

坐標(biāo)法拿下三視圖-----2024.考前談兵(1)三視圖仍然是2024屆考生的必考內(nèi)容.可是對(duì)許多考生來(lái)說(shuō),又是無(wú)法躲避且揮之不去的難題,這是因?yàn)?破解三視圖問(wèn)題需要快速將三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖.而這一點(diǎn),正是許多考生的薄弱環(huán)節(jié).解決三視圖試題一般需分三步:第一,定容,即確定相應(yīng)的直觀圖應(yīng)該包容在什么規(guī)格的長(zhǎng)方體之中;第二,定位,即確定直觀圖的輪廓;第三,求果.即計(jì)算出試題所需要的結(jié)果(一般是求直觀圖的面積或體積).在這三步中,最關(guān)鍵也是考生最感困難的是第二步:定位.為攻克這一難點(diǎn),以下我們向讀者提供一種行之有效且便于操作的方法--坐標(biāo)法.這需要熟悉三視圖的如下特點(diǎn).三視圖的每個(gè)視圖都是二維的:主視圖可以定左右上下,但不能定前后;俯視圖可以定左右前后,但不能定上下;左視圖可以定上下前后,但不能定左右,根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),我們可以從任何一個(gè)視圖出發(fā),先確定二維,然后從其他視圖中將缺失的那一維找回來(lái).這就是坐標(biāo)法破解三視圖的根本原理.【題1】〔2024全國(guó)〕如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為〔 〕A.6 B.9 C. D.【解析】第一步:定容.由主,俯視圖確定其長(zhǎng)為6,由俯,左視圖確定其寬為3,由左,主視圖確定其高為31這就是說(shuō),相應(yīng)的直觀圖應(yīng)包容在規(guī)格為6×3×3的長(zhǎng)方體之中.我們約定,直觀圖的前后,左右,上下的方位依次用x,y,z表示.于是建立空間直角坐標(biāo)系如解圖1.2步:定位.由于主視圖的節(jié)點(diǎn)更多,所以如解圖2,以主視圖為基準(zhǔn),去依次確定A,B,C,D的坐標(biāo).在主視圖中,點(diǎn)A1在左下方,可以定位為(x,0,0);在左視圖中,點(diǎn)A2在左前方,可以定位為(0,y,o),令(x,0,0)=(0,y,o),得x=y=0,于是有A(0,0,0);主視圖中,點(diǎn)B1在中間上方,可定位為(x,3,3),在左視圖中,點(diǎn)B2在前上方,可以定位為(3,y,3),令(x,3,3)=(3,y,3),得x=3,y=3.于是有B(3,3,3);同理由主視圖得C1(x,6,0),由俯視圖得C2(0,6,z),令(x,6,0)=(0,6,z),得x=0,z=0.故有C(0,6,0);由主視圖得D1(x,3,0),由俯視圖得D2(3,3,z),令(x,3,0)=(3,3,z),有x=3,z=0.故有D(3,3,0).依次連結(jié)ABCD,于是該幾何體的形狀與大小完全確定.反過(guò)來(lái)與原三視圖對(duì)照,2知所求不誤.3步:求果.由解圖3易知,該四面體的底面積為1263=9,而高為3,故其體積為1393=9.應(yīng)選B.【題2】〔2024.北京〕某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的體積為〔 〕A.1B.1C.1D.1【解析】第1步,定容.由三視圖的外輪廓知相應(yīng)直觀圖必容納在規(guī)格為2×1×1的長(zhǎng)方體之中,畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方體,并建立如解圖1的空間直角坐標(biāo)系.2步,定位,由于俯視圖中的節(jié)點(diǎn)更多,所以主要依據(jù)俯視圖,確定A,B,C,D四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).在俯視圖中,有A10,0,z;在主視圖中,相應(yīng)的點(diǎn)為A2x,0,1.令(0,0,z)=(x,0,1)得x=0,z=1,故有A(0,0,1);在俯視圖中有B1(0,2,z),在主視圖中,相應(yīng)的點(diǎn)為3B2(x,2,0).令(0,2,z)=(x,2,0),得x=0,z=0,故有B(0,2,0).以下同理可得C(1,2,0),D(0,1,0).依次連結(jié)ABCD,得如解圖3的四面體.對(duì)照原三視圖檢查,知所得四面體完全正確.3步:求果.這個(gè)四面體的下底面積為相應(yīng)矩形面積的四分之一即12,而高是1,故其體積為1312116.應(yīng)選A.【題3】(哈爾濱三中二模11題)某棱錐的三視圖如以以下圖,那么該棱錐的外接球的外表積為:A.12 B.11 C.14 D.13【分析】和前面的2題相比,此題的難度更大.不僅直觀圖難以確定,而且以下的計(jì)算也不容易.為此,我們?cè)敿?xì)分析并給出此題各種解法的全過(guò)程.【解析】1.定容:容易確定,相應(yīng)的直觀圖包容于規(guī)格為2×1×1的長(zhǎng)方體之中.畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方體,并建立如解圖2的空間直角坐標(biāo)系.定位:3個(gè)視圖中,由于俯視圖是四邊形,而其他兩個(gè)視圖都是三角形,所以我們以俯視圖為主依次求出直觀圖中相應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo).因?yàn)楦┮晥D可以定前后左右,而不能定上下(用z表示),所以記俯視圖中的四個(gè)頂點(diǎn)依次為A1(0,0,z),4B1(1,1,z),C1(1,2,z)和D1(0,1,z).再考察主視圖,因?yàn)樗軌蚨ㄉ舷伦笥叶荒芏ㄇ昂?用x表示).故相應(yīng)各點(diǎn)可依次記為A2(x,0,1),B2(x,1,0),C2(x,2,0).A,B,C三點(diǎn)必須統(tǒng)一.故由(0,0,z)=(x,0,1)得x=0,z=1,即A(0,0,1);由(1,1,z)=(x,1,0)得x=1,z=0,即有B(1,1,0);由(1,2,z)=(x,2,0)得x=1,z=0,即有C(1,2,0.僅從這兩個(gè)視圖還無(wú)法確定頂點(diǎn)D.所以繼續(xù)分析左視圖.左視圖是只能定前后上下而不能定左右的.所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D2(0,y,o).以下由(0,1,z)=(0,y,o)得y=1,z=0,即有D(0,1,0).依次連結(jié)各頂點(diǎn),得四面體ABCD.即為所求直觀圖.(與原三視圖對(duì)照無(wú)誤)3.求果.關(guān)鍵在于求出該四面體外接球的半徑.法1(定義法).設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O(x,y,z),那么:OA2OB2x2y2z12x12y12z2xyz1;2OA2OC2x2y2z12x12y22z2x2yz2;OA2OD2x2y2z12x2y12z2yz.13313O,,222解所得方程組得:x.yz,即球心為,22521232321111半徑R1.所求外接球的外表積S411.故22222B.2(幾何法)設(shè)四面體ABCD所在長(zhǎng)方體ECFG-PQRA.,AB中點(diǎn)M,BD中點(diǎn)N,CD中點(diǎn)H,那么M,H分別是Rt△ADB與Rt△DBC的外心.連結(jié)MN,NH.∵M(jìn)N∥AD,而AD⊥BD,∴MN⊥BD;同理HN⊥BD.故∠MNH是二面角A-BD-C的平面角.∵∠MNS=∠ADG=45o,∴∠MNH=135o.MO⊥平面ADB,HO⊥平面BCD,MO,HO交于O,那么點(diǎn)O即為四面體ABCD的球心.由NMNH12,得OMOH32.于是該外接球的半徑RBN2NH2HO2141494211,外表積S411411,應(yīng)選B.以下7題,供考生練習(xí),參考使用(參考答案附后)1.(2024.全國(guó)理數(shù)1卷.7題).某多面體的三視圖如以以下圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有假設(shè)干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．14D．1662.(湖南師大附中,3月考)某幾何體的三視圖如以以下圖,那么其體積為A.83 B.2 C.43 D.233.〔東北三省三校2024屆高三第二次高考模擬考試第12題〕三棱錐的三視圖如以以下圖，其中側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為3的正三角形，那么該幾何體的外接球的體積為( )A．16B．3233C．4D．1634.(河北武邑中學(xué)高三下質(zhì)檢1.11題)某簡(jiǎn)單多面體的三視圖如以以下圖,其中俯,左視圖均為直角三角形,主視圖為直角梯形,那么其所有外表(含底面與側(cè)面)中直角三角形的個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.475.(青島高三三月考.5題)某幾何體的三視圖如以以下圖,那么該幾何體的體積為A.56B.568C.64D.64833336.(湖北荊州中學(xué)周練13.8題)如以以下圖是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一部分后所得幾何體的三視圖，其體積為169233那么圓錐的母線長(zhǎng)l為()A．22 B．23C．4 D．237.(福建4月質(zhì)檢理數(shù).8題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,俯視圖中的兩條弧線均為圓弧,那么該幾何體的體積為A,6432B.6483C.6416D.648338參考答案1.(2024.全國(guó)理數(shù)1卷.7題).某多面體的三視圖如以以下圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有假設(shè)干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12 C．14 D．16【解析】1.定容:由三視圖條件知該幾何體包容在規(guī)格為2×2×4的長(zhǎng)方體之中.據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系如解圖.2.定位.用坐標(biāo)法確定直觀圖的6個(gè)頂點(diǎn)依次為A(0,2,4),B(0,0,2),C(2,2,2),D(0,0,0),E(2,2,0),F(0,2,0).依次連結(jié)各頂點(diǎn)即得五面體ABC-DEF.求果:所得五面體中,只有ACDE和BCDF兩個(gè)直角梯形,它們的面積都是12242=6.所以所求面積之和為12.應(yīng)選B.2.(湖南師大附中,3月考)某幾何體的三視圖如以以下圖,那么其體積為A.83 B.2 C.43 D.239【解析】構(gòu)造如圖的正方體及相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系.個(gè)視圖形狀大小完全一樣,故可直接想象該直觀圖是一個(gè)正八面體.其6個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體各個(gè)外表正方形的中心.其坐標(biāo)依次為(1,2,1),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,0),(1,1,2).由于相對(duì)兩個(gè)中心的距離都是2,故其體積V12224.應(yīng)選C.6 3二次高考模擬考試第12題〕三棱錐的三視圖如以以下圖，其中側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為3的正三角形，那么該幾何體的外接球的體積為( )B．16B．3233C．4D．163【解析】1,定容.俯視圖確定了這個(gè)長(zhǎng)方體的左右距離為4,由于側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為3的正三角形,所以它界定了這個(gè)長(zhǎng)方體的寬為3,高為3/2.故其直觀圖包容在規(guī)格為4332的長(zhǎng)方體之中,于是畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方體,并將其置于如以以下圖的空間直角坐標(biāo)系之中.102:定位.用坐標(biāo)法依次得到該多面體的四個(gè)頂點(diǎn)是:33A0,1,C,0,0223,1,3D3.4.02ABCD.考察上述直觀圖的三視圖,與題設(shè)條件完全相符3.求果.注意到△ACD與△BCD是有公共斜邊且全等的直角三角形,故3取CD中點(diǎn)M,2,0,那么MAMBMCMD2,知所求外接球體積為:24323323.,應(yīng)選B.4.(河北武邑中學(xué)高三下質(zhì)檢1.11題)某簡(jiǎn)單多面體的三視圖如以以下圖,其中俯,左視圖均為直角三角形,主視圖為直角梯形,那么其所有外表(含底面與側(cè)面)中直角三角形的個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4【解析】構(gòu)造如圖的正方體.直觀圖如圖中粗線所示,即四面體ABGM,其中M為PH中點(diǎn).顯然△ABG為直角三角形,△AME與△BMG為銳角三角形.取BF中點(diǎn)11N,連結(jié)AMGN.顯然四邊形AMGN為平行四邊形,但MN<AG.故□AMGN不可能為矩形.即△AMG不是直角三角形.據(jù)此,原直觀圖中的直角三角形僅有1個(gè),應(yīng)選A.5.(青島高三三月考.5題)某幾何體的三視圖如以以下圖,那么該幾何體的體積為A.56B.568C.64D.6483333【解析】如圖,直觀圖是四棱錐P-ABCD中挖去一個(gè)半圓錐.四稜錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,其高V142464也是4,故四稜錐PABCD33.半圓錐的底半徑為2,高為4,故V112248.23半圓錐PBCV648故所求幾何體的體積3,應(yīng)選D.6.(湖北荊州中學(xué)周練13.8題)如以以下圖是沿圓錐的兩條母線將圓錐削去一局部后所得幾何體的三視圖，其體積為1623，那么圓錐的母線長(zhǎng)l為()39B．2B．223C．4D．23【解析】這個(gè)殘缺圓錐的直觀圖如以以下圖.12設(shè)O為底面圓的中心,由條件弦AB23.作OD⊥AB于D,由俯視圖知OD=1.所以圓半徑OA=OB=2,從而∠AOB=23.優(yōu)弧的圓心角為4ABC3.SAOB1222233,S扇形OACB232283.S底=