材料力學(xué)課件：梁彎曲時(shí)的位移

彎曲變形2024年7月5日2第五章梁彎曲時(shí)的位移1、梁的撓曲線近似微分方程及其積分3、梁的剛度校核2、求解梁的撓度與轉(zhuǎn)角的疊加法4、如何提高梁的剛度3§5－１概述4PAB一、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。用w

表示。與y

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。二、轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用

表示，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。三、撓曲線：變形后的軸線，稱為撓曲線。是光滑曲線，其方程為：四、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線小變形wqC1xy5wqC1xyxy6§5－2撓曲線微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程

小變形純彎曲∶橫力彎曲∶xyxy7二、撓曲線方程（彈性曲線）直接積分法∶就是撓曲線近似微分方程等截面直梁：積分常數(shù)由邊界條件(boundarycondition)決定。82、位移邊界條件

、支點(diǎn)位移條件：

、連續(xù)條件：

、光滑條件：PABDP91，梁的端點(diǎn)∶自由端、固定端、外伸端、中間鉸、截面變化點(diǎn)等等；2，載荷的端點(diǎn)∶分布力的起終端、集中力(力矩)點(diǎn)，等等；3，內(nèi)力的特殊點(diǎn)∶M=0的點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，等等；分段積分的特殊點(diǎn):10微分方程的分段情況和位移邊界條件PABCKABMCABCPDPABCDPL例6-2-1：求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。qmaxymaxxy解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角LqAB解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角qmaxymaxxy解：

分段并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxy14PLaxy

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大的撓度及轉(zhuǎn)角ABOA段彎曲，AB段直線(剛體位移)q

maxymax15解：

建立坐標(biāo)系并寫出微分方程

微分方程的積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)M0ABL=a+bayxb16M0ABL=a+bayxb

寫出彈性曲線方程并畫出曲線17§5-3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加：三、逐段剛化法疊加：四、對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用：二、微分累積：18多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。P1P2P1P2=+y1=y11+y12

y2=y21+y22一、載荷疊加：y22y12y21y11y1y2

y11=d11P1

y12=d12P2

y21=d21P1

y22=d22P2

dij為j單位力在j處方向作用下在i處產(chǎn)生i方向的位移aaPqaaPaaq=+例6－4-1按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度.解、

載荷分解如圖

、由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。

、疊加例6－4-2按疊加原理求C點(diǎn)撓度.解、

載荷無(wú)限分解微分集中力∶

、微力作用下的C處微分撓度dy:

、疊加二、微分累積：q00.5LABC0.5LxdxdydP=q(x)dx21對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱載荷作用下∶

撓曲線圖對(duì)稱;四、對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷作用下∶

撓曲線圖反對(duì)稱.22L/2q0ABL/2C=+q0/2ABCABCq0/2解、

載荷變換如圖

查表并利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性

、疊加例6－4--3按疊加原理求C點(diǎn)撓度.MPABL1CL2等價(jià)PABL1CL2PBCL2等價(jià)例6-4-4求AB梁的轉(zhuǎn)角和撓度.=+三、逐段剛化法疊加：全梁分段，逐段考慮變形，再疊加。注意剛體位移！AC段剛體位移為零BC段剛體位移為斜直線剛化AC段PABL1CL2剛化AC段PABL1CL224求B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度.解：結(jié)構(gòu)變換后，查表求簡(jiǎn)單載荷變形。PABL1CL2PBCL2MPABL1CL2=+25§5-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[y/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；

、設(shè)計(jì)載荷。對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。(特殊構(gòu)件例外）

、校核剛度：26例6－5-1下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[

]=0.001弧度,試

校核此桿的剛度.ABL=400mma=0.1mCP1=1KND200mmP2=2KN=+P1=1KNABCDABCDP2=2KN+=MP2ABLaCDP2BaCABCDP227ABLaCP1D200mmP2=P1=1KNABCD+MP2ABLaCDP2BaC+圖1圖2圖3解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單載荷變形。

疊加求復(fù)雜載荷下的變形28

校核剛度29

試按疊加原理求圖a所示外伸梁的截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD。已知EI為常量。例題5-5

為利用簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁AB(圖b)和簡(jiǎn)支梁BC(圖c)所組成。外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力和彎矩應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡(jiǎn)支梁的B截面處，它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b及圖c所示。

圖c中所示簡(jiǎn)支梁BC的受力情況以及約束情況與原外伸梁BC段完全相同，注意到簡(jiǎn)支梁B支座處的外力2qa將直接傳遞給支座B，而不會(huì)引起彎曲。簡(jiǎn)支梁BC，由q產(chǎn)生的

Bq

、wDq(圖d)，由MB產(chǎn)生的

BM、wDM

(圖e)?？刹橛嘘P(guān)式，將它們分別疊加后可得

B、wD，它們也是外伸梁的

B和wD。圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|·a，應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去,才是原外伸梁的A端撓度wA*5-4梁撓曲線的初參數(shù)方程I.初參數(shù)方程的基本形式前已得到等直梁的撓曲線近似方程為彎矩、剪力與分布荷載集度之間的微分關(guān)系為q(x)向上為正

為了使下面導(dǎo)出的撓曲線初參數(shù)方程(initialparametricequation)中除了包含與位移相關(guān)的初參數(shù)q0和w0以外，也包含與內(nèi)力相關(guān)的初參數(shù)FS0和M0，先將二階的撓曲線近似微分方程對(duì)x取二階導(dǎo)數(shù)求得等直梁撓曲線的四階微分方程以x=0代入以上四式，并注意到以x為自變量時(shí)上列四式中的積分在坐標(biāo)原點(diǎn)(x=0)處均為零，于是得式中，F(xiàn)S0，M0，

0和w0為坐標(biāo)原點(diǎn)處橫截面(初始截面)上的剪力、彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度，它們是初參數(shù)方程中的四個(gè)初參數(shù)。37

將積分常數(shù)C1，C2，C3，C4代入上述表達(dá)式中的后二式即得轉(zhuǎn)角和撓曲線初參數(shù)方程的基本形式：初參數(shù)方程中的四個(gè)初參數(shù)可由梁的邊界條件確定38

顯然，如果梁上的分布荷載是滿布的(分布荷載在全梁上連續(xù))，而且除梁的兩端外沒(méi)有集中力和集中力偶，亦即荷載和內(nèi)力在全梁范圍內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，則可直接應(yīng)用上述兩個(gè)方程。簡(jiǎn)支梁或懸臂梁受滿布分布荷載作用時(shí)就屬這種情況。在此條件下，當(dāng)分布荷載為向下的均布荷載時(shí)，q(x)=-q，從而有39

試?yán)贸鯀?shù)方程求圖示簡(jiǎn)支梁的跨中撓度wC和B截面的轉(zhuǎn)角qB。已知梁的EI為常量例題5-6x401.根據(jù)邊界條件確定初參數(shù)

另一初參數(shù)q0需利用x=l處撓度等于零的邊界條件求出。將以上三個(gè)初參數(shù)代入撓曲線的初參數(shù)方程，并注意該公式中的q(x)=-q，有由x=0處的邊界條件得：解得例題5-6解:x412.列出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求撓度wC和轉(zhuǎn)角qB將已得到的四個(gè)初參數(shù)代入初參數(shù)方程得：撓曲線方程即轉(zhuǎn)角方程即例題5-642將x=l/2代入(1)式，得將x=l代入(2)式，得例題5-6x43II.一般情況的處理

這里所說(shuō)的一般情況是指梁上分布荷載不連續(xù)，梁上除兩端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情況。此時(shí)，外力(荷載和約束力)將梁分為數(shù)段，每段梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程各不相同，但相鄰兩段梁在交界處的撓度和轉(zhuǎn)角仍連續(xù)?，F(xiàn)就幾種常遇情況下的初參數(shù)方程加以討論。44初參數(shù)：q0≠0(其值未知)，w0=0情況一45轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：AC段梁（0≤x≤a）CB段梁（a≤x≤l）46

CB段梁轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中帶積分的項(xiàng)，是由于自x=a處開(kāi)始有向下的均布荷載而在AC段梁延續(xù)過(guò)來(lái)的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中增加的項(xiàng)。

未知初參數(shù)q0可由x=l處wB=w|x=l=0的邊界條件求得。47情況二初參數(shù)：

0≠0(其值未知)，w0=048AC段梁（0≤x≤b）CB段梁（b≤x≤l）轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：49

CB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中帶積分的項(xiàng)，是由于考慮C截面(x=b)以右沒(méi)有向下的均布荷載，而從由AC段梁延續(xù)過(guò)來(lái)的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中減去了的那部分在C截面以右的均布荷載產(chǎn)生的影響的相關(guān)項(xiàng)。未知初參數(shù)q0可由wB=w|x=l=0的邊界條件求得。50情況三初參數(shù)：q0≠0(其值未知)w0≠0(其值未知)51CA段梁(0≤x≤c)AB段梁(c≤x≤c+l)轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：52

AB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中的第二項(xiàng)，是由于考慮在由CA段梁延續(xù)過(guò)來(lái)的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中，應(yīng)將向上的約束力在A截面(x=c)偏右截面上產(chǎn)生的剪力的影響包含進(jìn)去而增加的項(xiàng)。

未知初參數(shù)q0和w0

可由邊界條件wA=w|x=c=0和wB=w|x=l+c=0求得。53情況四初參數(shù)：54AC段梁(0≤x≤d)CB段梁(d≤x≤l)轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：55

CB段梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程中第二項(xiàng)，是由于考慮在由AC段梁延續(xù)過(guò)來(lái)的相應(yīng)方程EIq1和EIw1中，應(yīng)將外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上對(duì)應(yīng)的彎矩所產(chǎn)生的影響包含進(jìn)去而增加的項(xiàng)。在此例中，四個(gè)初參數(shù)都是已知的。56

思考:對(duì)于情況四中的等直梁，試檢驗(yàn)由初參數(shù)方程所求得的wB

，wC

，qC

是否符合如下關(guān)系：57§5-5梁的剛度校核·提高梁的剛度的措施I.梁的剛度校核

對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件(stiffnesscondition)：式中，l為跨長(zhǎng)，為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比(簡(jiǎn)稱許可撓跨比)，[q]為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。58

土建工程中通常只限制梁的撓跨比，。在機(jī)械工程中，對(duì)于主要的軸，；對(duì)于傳動(dòng)軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角，。59

圖a所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇槽鋼型號(hào)。已知[

]=170MPa，[

]=100MPa，E=210GPa，。例題5-760

一般情況下，梁的強(qiáng)度由正應(yīng)力控制，選擇梁橫截面的尺寸時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度條件進(jìn)行校核。如果切應(yīng)力強(qiáng)度條件不滿足，或剛度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。例題5-7解:611.

按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào)

梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖c和圖e所示。最大彎矩為Mmax=62.4kN·m。梁所需的彎曲截面系數(shù)為例題5-762

而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz≥367×10-6m3/2=183.5×10-6m3=183.5cm3。由型鋼表查得20a號(hào)槽鋼其Wz=178cm3，雖略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a號(hào)槽鋼。例題5-7632.

按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核

圖c最大剪力FS,max=138kN。每根槽鋼承受的最大剪力為例題5-764

Sz,max

為20a號(hào)槽鋼的中性軸z以下半個(gè)橫截面的面積對(duì)中性軸z的靜矩。根據(jù)該號(hào)槽鋼的簡(jiǎn)化尺寸(圖d)可計(jì)算如下：z例題5-765當(dāng)然，的值也可按下式得出：

每根20a號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為

Iz

=1780.4

cm4

1780cm4例題5-766

故20a號(hào)槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。于是例題5-7673.校核梁的剛度條件

如圖a，跨中點(diǎn)C處的撓度為梁的最大撓度wmax。由疊加原理可得例題5-768梁的許可撓度為由于因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。例題5-769II.提高梁的剛度的措施(1)增大梁的彎曲剛度EI

由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E≈210GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來(lái)說(shuō)采用高強(qiáng)度鋼并無(wú)明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。70

跨長(zhǎng)為l的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為(2)

調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系71

如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為而且跨中撓度減小為72而此時(shí)外伸端D和E的撓度也僅為73

所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來(lái)提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個(gè)鉸支座，又例如在簡(jiǎn)支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座。74§5-6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

在本教材的§3-6中曾講述了等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能，并利用功能原理導(dǎo)出了密圈圓柱螺旋彈簧受壓(拉)時(shí)彈簧高度變化量的計(jì)算公式。

本節(jié)研究等直梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由于作用在梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理來(lái)求梁在簡(jiǎn)單荷載情況下的位移。75

等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)(圖a)，其曲率為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在梁彎曲后對(duì)應(yīng)的圓心角為76

圖b示出了Me與q的上列線性關(guān)系。圖b中斜直線下的三角形面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值Me過(guò)程中，外力偶所作的功：它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)變能：將代入上式可得77

梁在橫力彎曲時(shí)，既有與彎曲變形相應(yīng)的彎曲正應(yīng)變能，又有與剪切變形相應(yīng)的剪切應(yīng)變能。但如同在§5-2開(kāi)始時(shí)所述，工程中常用的梁其剪切變形對(duì)位移的影響通常很小，可略去不計(jì)。梁在橫力彎曲時(shí)其長(zhǎng)為dx的微段內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為78從而全梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為式中，M(x)為任一橫截面上彎矩的表達(dá)式，亦即彎矩方程。此式在求梁系(例如兩根交叉在一起的梁)的位移等問(wèn)題時(shí)是有用的。順便指出，由于直梁橫力彎曲時(shí)，

，因此上式也可寫作79§5-5梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能MxP1P2y80例6－6－1用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？aaACBxy81§5-6簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知量。

、幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

、建立靜定基用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=q0LABxyRBq0ABMAq0AB82

、物理方程——變形與力的關(guān)系

、補(bǔ)充方程

、求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力等）

、幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：=q0LABxyRBq0AB=RBABq0AB+

、幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

、物理方程——變形與力的關(guān)系

、補(bǔ)充方程解：

、建立靜定基例6－7－2結(jié)構(gòu)如圖，

求B點(diǎn)反力。q0LABLBCq0ABRB==RBABq0AB+84思考:前兩例中,如果分別取下圖示靜定基,幾何方程該怎樣寫?(圖1)幾何方