理學(xué)有限單元法簡介

2024/7/5有限單元法簡介1課時安排共36

學(xué)時有限元法：30學(xué)時軟件應(yīng)用：6

學(xué)時2024/7/5有限單元法簡介2考試考核成績構(gòu)成InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation聽課表現(xiàn)(30分)

有限元軟件考題（70分）

2024/7/5有限單元法簡介3課程學(xué)習(xí)基本要求

教材及參考書InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation1、李人憲.有限單元法基礎(chǔ)(第二版)[M].北京:國防工業(yè)出版社,20042、傅永華.有限單元法基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,20033、王生洪等.有限單元法基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,19904、黃國權(quán).有限單元法基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)用[M].北京:機械工業(yè)出版社,20045、王勖成、邵敏.有限單元法[M].北京:清華大學(xué)出版社,1997.2024/7/5有限單元法簡介4學(xué)習(xí)目的及方法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation目的

了解FEM數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)；把握FEM求解具體問題的基本過程；應(yīng)用FEM，特別是運用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱嶋H工程技術(shù)問題；方法

注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ);

運用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M(jìn)行工程問題分析；一、數(shù)值模擬方法概述二、有限單元法簡介三、有限單元法分析步驟四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析五、結(jié)后語第1章有限單元法概述2024/7/5有限單元法簡介6一、數(shù)值模擬方法概述工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多力學(xué)問題和場問題，如固體力學(xué)中的位移場、應(yīng)力場分析；電磁學(xué)中的電磁場分析；熱力學(xué)中的溫度場分析；流體力學(xué)中的流場分析等，都可以歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。雖然人們能夠得到它們的基本方程和邊界條件，但是能夠用解析法求解的只是少數(shù)性質(zhì)比較簡單和邊界比較規(guī)則的問題，實際結(jié)構(gòu)的形狀和所受到的載荷往往比較復(fù)雜，按解析法求解是非常困難的。2024/7/5有限單元法簡介7一、數(shù)值模擬方法概述

解決這類復(fù)雜問題主要有兩種方法：1、引入簡化假設(shè)，使其達(dá)到能用解析法求解的狀態(tài)，然后求其近似解（未必可行，容易導(dǎo)致不正確的解答）2、保留問題的復(fù)雜性，利用數(shù)值模擬方法求得問題的近似解（較多采用）數(shù)值模擬技術(shù)（即CAE技術(shù)，Computer-aidedEngineering）是人們在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，借助于計算機技術(shù)來獲得滿足工程要求的數(shù)值近似解，是現(xiàn)代工程仿真學(xué)發(fā)展的重要推動力之一。2024/7/5有限單元法簡介8一、數(shù)值模擬方法概述

目前在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有：

1、有限單元法FEM（FiniteElementMethod）

2、邊界元法BEM（BoundaryElementMethod）

3、有限差分法FDM（FiniteDifferenceMethod）

4、離散單元法DEM（DiscreteElementMethod）其中有限單元法是最具實用性和應(yīng)用最廣泛的。2024/7/5有限單元法簡介9一、數(shù)值模擬方法概述

由數(shù)值模擬方法結(jié)合計算機技術(shù)形成的應(yīng)用軟件在工程中得到廣泛的應(yīng)用，國際上著名的有限元通用軟件有：ANSYS,ABAQUS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC,ADINA,FLAC等它們大多采用FORTRAN語言編寫，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且?guī)в袕姶蟮那疤幚砗秃筇幚沓绦颉４蠖鄶?shù)有限元通用軟件擁有良好的用戶界面、使用方便，功能強大。2024/7/5有限單元法簡介10[FEM求解工程問題思路]

工程中的問題本構(gòu)關(guān)系線性的、邊界規(guī)則的問題數(shù)值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問題解析法圖1工程問題的求解思路

FEM猶如萬能鑰匙，是解決工程問題的主流數(shù)值分析方法只能解決極少的方程求解，而且解答復(fù)雜。工程問題求解的基本過程InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation二、有限單元法簡介2024/7/5有限單元法簡介111.有限元法定義

是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成代數(shù)方程組求解。分析指導(dǎo)思想

化整為零，裁彎取直，以簡馭繁，變難為易二、有限單元法簡介2024/7/5有限單元法簡介122.發(fā)展簡史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機機翼，借助有限元法概念研究機翼的強度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀(jì)60年代，我國數(shù)學(xué)家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用FEM求解20世紀(jì)60年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴大了應(yīng)用二、有限單元法簡介2024/7/5有限單元法簡介133.發(fā)展方向新型單元的研究有限元的數(shù)學(xué)理論向新領(lǐng)域擴展應(yīng)用大型通用程序的編制和設(shè)計

ANSYS,NASTRAN,ABAQUS開發(fā)微機用版本設(shè)計自動化及優(yōu)化設(shè)計（CAD,CAE,CAM）二、有限單元法簡介2024/7/5有限單元法簡介144.有限元法的分類

以方程中未知數(shù)代表的意義分類

有限元位移法：未知數(shù)為位移有限元力法：未知數(shù)為力有限元混合法：未知數(shù)為力和位移

以推導(dǎo)方法分類

直接法變分法加權(quán)余數(shù)法二、有限單元法簡介2024/7/5有限單元法簡介15有限單元法的常用術(shù)語：二、有限單元法簡介真實系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義2024/7/5有限單元法簡介16自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自由度(DOFs)用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs結(jié)構(gòu) 位移熱溫度電 電位流體壓力磁 磁位物理場 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ2024/7/5有限單元法簡介17節(jié)點和單元節(jié)點:空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元: 一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維單元或三維單元等。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。載荷載荷2024/7/5有限單元法簡介18節(jié)點和單元(續(xù))節(jié)點自由度隨連接該節(jié)點的單元類型變化。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ2024/7/5有限單元法簡介19單元形函數(shù)FEA（Finiteelementanalysis）僅僅求解節(jié)點處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOF值到單元內(nèi)所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。2024/7/5有限單元法簡介20真實的二次曲線.節(jié)點單元二次曲線的線性近似

(不理想結(jié)果).2單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點單元DOF值二次分布..1節(jié)點

單元線性近似(更理想的結(jié)果)真實的二次曲線.....3節(jié)點單元二次近似(接近于真實的二次近似擬合)

(最理想結(jié)果)..42024/7/5有限單元法簡介21單元形函數(shù)(續(xù))遵循:

DOF值可以精確或不夠精確地等于節(jié)點處的真實解，但單元內(nèi)的平均值與實際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來的（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力、熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因為這些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導(dǎo)出來的。遵循原則:

當(dāng)選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點來精確描述所要求解的問題。2024/7/5有限單元法簡介22二、有限單元法簡介有限單元法的基本思想：1、將一個連續(xù)域離散化為有限個單元，并通過有限個節(jié)點相連接的等效集合體。由于單元能按照不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。2、有限元法利用在每一個單元內(nèi)假設(shè)的的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在單元的各個節(jié)點的數(shù)值和其插值函數(shù)來表達(dá)。3、一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)在各個節(jié)點上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。4、一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過插值函數(shù)計算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷改進(jìn)，如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。2024/7/5有限單元法簡介23三、有限單元法分析步驟有限元法分析問題的基本步驟：1、結(jié)構(gòu)的離散化

離散化就是將要分析的結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體，并在單元的指定位置設(shè)置節(jié)點，使相鄰單元的有關(guān)參數(shù)具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成單元的集合體代替原來的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化時，劃分的單元大小和數(shù)目應(yīng)根據(jù)計算精度的要求和計算機的容量來決定

選取坐標(biāo)（右手法則）選擇合適的單元，離散結(jié)構(gòu)物為有限個單元，并對單元、節(jié)點進(jìn)行編號2024/7/5有限單元法簡介24三、有限單元法分析步驟2、選擇位移插值函數(shù)

為了能用節(jié)點位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體問題時，必須對單元中位移的分布做出一定的假設(shè)，一般假定位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關(guān)鍵。

{f}—單元內(nèi)任意點的位移列矩陣[N]—單元形函數(shù)矩陣—單元節(jié)點位移的列矩陣2024/7/5有限單元法簡介25三、有限單元法分析步驟3、分析單元的力學(xué)特性

利用幾何方程、本構(gòu)方程和變分原理得到單元的剛度矩陣和載荷矩陣{R}e=[K]e{δ}e{R}e—單元節(jié)點力[K]e—單元剛度矩陣2024/7/5有限單元法簡介26三、有限單元法分析步驟4、集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程

先將各個單元剛度矩陣集合成整體剛度矩陣[K]，然后將各單元的等效節(jié)點力列陣集合成總的載荷列陣[K]=Σ[K]e5、由平衡方程求解未知節(jié)點位移{δ}

按照問題的邊界條件修改總的平衡方程，并進(jìn)行求解。2024/7/5有限單元法簡介27三、有限單元法分析步驟6、單元應(yīng)變和應(yīng)力的計算

根據(jù)已知結(jié)點的位移利用彈性力學(xué)方程和位移插值函數(shù)算出單元的應(yīng)變和應(yīng)力。2024/7/5有限單元法簡介28四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析

所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進(jìn)行實際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進(jìn)行。進(jìn)入求解器進(jìn)行求解（設(shè)定分析步驟，輸出變量）前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）進(jìn)入后處理（變形圖、等值線圖，列表顯示等等后處理）2024/7/5有限單元法簡介29四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析利用有限元軟件進(jìn)行工程問題的分析，一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行：（一）、制訂分析方案需考慮以下幾個方面：important2024/7/5有限單元法簡介301、分析領(lǐng)域

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁2024/7/5有限單元法簡介312、分析目標(biāo)力？位移？溫度？還是其他？2024/7/5有限單元法簡介323、線性/非線性分析“我的物理系統(tǒng)是在線性還是非線性狀態(tài)下工作？線性求解能滿足我的需要嗎？如果不能，必須考慮哪種非線性特性？”許多情況和物理現(xiàn)象都要求進(jìn)行非線性計算。(a)訂書釘t0t1t2t3Fu

(b)木制書架b1b2

(c)氣動帶FuFu2024/7/5有限單元法簡介334、靜力/動力分析靜力求解能否滿足你的分析要求？如果不能，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行哪種動力分析？動力分析的所有載荷都是隨時間變化的，但在許多情況下動力影響可以忽略不計。一般情況下，激勵頻率低于結(jié)構(gòu)最小固有頻率的1/3時靜力求解就足夠了。慣性力是動力問題不同于靜力問題的關(guān)鍵之處。2024/7/5有限單元法簡介345、分析細(xì)節(jié)的考慮在建立分析模型之前必須制訂好建模方案：必須考慮哪些細(xì)節(jié)問題？對稱/反對稱/軸對稱？模型中存在應(yīng)力奇異？選用哪種類型的單元？線單元殼單元X－Y平面單元平面應(yīng)力或應(yīng)變單元軸對稱單元諧單元實體單元專用單元線性單元/高階單元/P單元四邊形單元/三角形單元，塊單元/四面體單元2024/7/5有限單元法簡介356、充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性PPPPP2024/7/5有限單元法簡介367、網(wǎng)格密度相鄰單元的尺寸盡可能接近應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點的多少與疏密要考慮計算機的容量和計算精度結(jié)點所連接的單元個數(shù)盡可能一致宜不宜2024/7/5有限單元法簡介378、單位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元軟件中，沒有固定的單位制，大家在使用的過程中，可以自己選用前后一致的一套單位制，則最后所得結(jié)果的單位即為即為所選單位制對應(yīng)的單位。建議：盡量采用國際單位制2024/7/5有限單元法簡介389、材料特性材料特性是有限元分析必須提供的數(shù)據(jù)，其準(zhǔn)確與否直接影響到計算的精度；必要的時候需通過試驗提供；一個復(fù)雜分析中可能包含很多種性質(zhì)截然不同的材料，建模的時候應(yīng)以足夠的關(guān)鍵字以識別；很多有限元軟件中，都提供用戶接口，若軟件中沒有現(xiàn)成的材料模型，用戶