備考2024高考一輪總復習數(shù)學人教a版第二章§2.3　函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性考試要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義，結合三角函數(shù)，了解周期性與對稱性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應用．知識梳理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結論1．奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．3．函數(shù)對稱性常用結論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b?f(x)的圖象關于點(a，b)對稱．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(×)(2)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則y＝f(x)g(x)為奇函數(shù)．(×)(3)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)的一個周期．(√)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱．(√)教材改編題1．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x答案B解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數(shù)；B選項為偶函數(shù)；C選項定義域為(0，＋∞)，不具有奇偶性；D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．2．若f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[0,2)時，f(x)＝2－x，則f(2023)＝________.答案eq\f(1,2)解析∵f(x)的周期為2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝eq\f(1,2).3.設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由圖象可知，當0<x<2時，f(x)>0；當2<x≤5時，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當－2<x<0時，f(x)<0，當－5≤x＜－2時，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]．題型一函數(shù)的奇偶性命題點1判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0；))(3)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1))．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}，從而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．∵當x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝log2[－x＋eq\r(－x2＋1)]＝log2(eq\r(x2＋1)－x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)－1＝－log2(eq\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．命題點2函數(shù)奇偶性的應用例2(1)(2022·哈爾濱模擬)函數(shù)f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在區(qū)間[－2,2]上的最大值與最小值分別為M，N，則M＋N的值為()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依題意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，顯然函數(shù)g(x)的定義域為R，則g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，因此，函數(shù)g(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值與最小值的和為0，而f(x)＝g(x)＋1，則有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值為2.(2)(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.答案1解析方法一(定義法)因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值檢驗法)因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－2))＝2a－eq\f(1,2)，解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.方法三(轉(zhuǎn)化法)由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)．設g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因為g(x)＝x3為奇函數(shù)，所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數(shù)，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.教師備選1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(9－x2),|6－x|－6)，則函數(shù)f(x)()A．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)答案C解析由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，解得－3≤x≤3且x≠0，可得函數(shù)f(x)的定義域為{x|－3≤x≤3且x≠0}，關于原點對稱，所以f(x)＝eq\f(\r(9－x2),|6－x|－6)＝eq\f(\r(9－x2),6－x－6)＝eq\f(\r(9－x2),－x)，又f(－x)＝eq\f(\r(9－－x2),x)＝－eq\f(\r(9－x2),－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)．2．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx，x<0，,2x－3，x>0))為奇函數(shù)，則f(g(－1))＝________.答案－1解析∵f(x)為奇函數(shù)且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.思維升華(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．跟蹤訓練1(1)(2021·全國乙卷)設函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝________；當x<0時，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴當x≥0時，f(x)＝2x－2x－1，設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.題型二函數(shù)的周期性例3(1)(2022·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x，f(x－2)＝f(x＋2)，當x∈(0,2)時，f(x)＝x2，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))等于()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(9,4)答案A解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(9,4).(2)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，則f(2023)＝________.答案eq\f(13,2)解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq\f(13,fx)，∵f(x＋4)＝eq\f(13,fx＋2)＝eq\f(13,\f(13,fx))＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(2023)＝f(3)＝eq\f(13,f1)＝eq\f(13,2).教師備選若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))則f(2023)＝________.答案－1解析當x>0時，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期為6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關的問題，應根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題．跟蹤訓練2(1)(2022·安慶模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當－1≤x<3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于()A．336 B．338C．337 D．339答案B解析因為f(x＋6)＝f(x)，所以函數(shù)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期為2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)， ①又f(x)的周期為2，∴f(－1)＝f(1)， ②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.題型三函數(shù)的對稱性例4(1)(多選)(2022·承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結論正確的是()A．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關于點(2,0)對稱C．f(x)的周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，則f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．(2)已知函數(shù)y＝f(x)－2為奇函數(shù)，g(x)＝eq\f(2x＋1,x)，且f(x)與g(x)圖象的交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，則y1＋y2＋…＋y6＝________.答案12解析∵函數(shù)y＝f(x)－2為奇函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0,2)對稱，又g(x)＝eq\f(2x＋1,x)＝eq\f(1,x)＋2，其圖象也關于(0,2)對稱，∴兩函數(shù)圖象交點關于(0,2)對稱，則y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.延伸探究在本例(2)中，把函數(shù)“y＝f(x)－2”改為“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝eq\f(2x＋1,x)”改為“g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)”，其他不變，求x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值．解∵y＝f(x＋1)－2為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,2)對稱，又g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)＝eq\f(1,x－1)＋2，∴g(x)的圖象也關于點(1,2)對稱，則x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.教師備選1．函數(shù)f(x)＝lg|2x－1|圖象的對稱軸方程為________．答案x＝eq\f(1,2)解析內(nèi)層函數(shù)t＝|2x－1|的對稱軸是x＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝lg

|2x－1|圖象的對稱軸方程是x＝eq\f(1,2).2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的圖象關于點(0,1)對稱，且f′(1)＝4，則a－b＝________.答案－1解析因為f(x)關于點(0,1)對稱，所以f(x)＋f(－x)＝2，故f(1)＋f(－1)＝2，即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，解得a＝0，所以f(x)＝x3＋bx＋1，又因為f′(x)＝3x2＋b，所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，所以a－b＝－1.思維升華(1)求解與函數(shù)的對稱性有關的問題時，應根據(jù)題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心．(2)解決函數(shù)對稱性有關的問題，一般結合函數(shù)圖象，利用對稱性解決求值或參數(shù)問題．跟蹤訓練3(1)函數(shù)f(x)的周期為6，且f(x＋2)為偶函數(shù)，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－1，則f(2025)＝________.答案1解析∵f(x)的周期為6，則f(2025)＝f(3)，又f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2025)＝1.(2)(多選)關于函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個命題，其中正確的是()A．f(x)的圖象關于y軸對稱B．f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．f(x)的圖象關于點(π，0)對稱答案BCD解析∵f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(1,sin－x)＝－sinx－eq\f(1,sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故A錯誤，B正確．∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱，故C正確．又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋eq\f(1,sinx＋2π)＝sinx＋eq\f(1,sinx)，f(－x)＝－sinx－eq\f(1,sinx)，∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的圖象關于點(π，0)對稱，故D正確．課時精練1．如果奇函數(shù)f(x)在[3,7]上單調(diào)遞增且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上()A．單調(diào)遞增且最小值為－5B．單調(diào)遞減且最小值為－5C．單調(diào)遞增且最大值為－5D．單調(diào)遞減且最大值為－5答案C解析因為奇函數(shù)f(x)在[3,7]上單調(diào)遞增且最小值為5，而奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以f(x)在區(qū)間[－7，－3]上單調(diào)遞增且最大值為－5.2．(2022·南昌模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(9x＋1,3x)的圖象()A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱C．關于坐標原點對稱 D．關于直線y＝x對稱答案B解析f(x)＝eq\f(32x＋1,3x)＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱．3．已知函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，且周期為4，f(3)＝－2，則f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依題意，函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又f(x)的周期為4，且f(3)＝－2，則有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.4．(2022·寧德模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，則a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函數(shù)圖象關于直線x＝1對稱，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.5．(多選)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案BD解析由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)驗證，A項，f(|－x|)＝f(|x|)，為偶函數(shù)；B項，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)；C項，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)；D項，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)．可知BD正確．6．(多選)(2022·湖北新高考9＋N聯(lián)盟模擬)已知f(x)為R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)是奇函數(shù)，則()A．f(x)的圖象關于點(2,0)對稱B．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱C．f(x)的周期為4D．f(x)的周期為8答案AD解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關于y軸對稱，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函數(shù)，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關于點(2,0)對稱，f(x)為周期函數(shù)且周期為8.7．(2022·湘豫名校聯(lián)考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝________.答案eq\f(1,3)解析因為f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，則有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，則a＝eq\f(1,3)，同時f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，則有bx＝0，必有b＝0.則a＋b＝eq\f(1,3).8．已知函數(shù)f(x)滿足對?x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，當x∈(0,1)時，f(x)＝x2＋mx，若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝eq\f(1,2)，則m＝______.答案eq\f(1,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，f(x)的周期為4，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)m＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結合f(x)的圖象(如圖所示)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．10．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．(1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即當x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.11．(2022·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，則f(－2)等于()A．－7B．－3C．3D．7答案B解析設g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，則g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.12．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，則f(1)等于()A．－1B．0C．1D．2答案C解析由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1，f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1，因為f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＋g1＝a2－a－2＋1，,f1－g1＝a－2－a2＋1，))解得f(1)＝1.13．(多選)(2022·本溪統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)對?x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，則下列判斷正確的是()A．f(x)是周期函數(shù)且周期為4B．f(x)的圖象關于點(1,0)對稱C．f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱D．f(x)在[－4,4]上至少有5個零點答案ACD解析對于A選項，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，故A項正確；對于B選項，因為f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故B項錯誤；對于C選項，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)，又因為f(－x)＝－f(x)，所以f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，故C項正確；對于D選項，因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，因為T＝4，所以f(4)＝f(－4)＝0，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(0＋2)＝－f(0)＝0，所以f(2)＝0，因為T＝4，所以f(－2)＝0，故D項正確．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，則f(x)＋f(1－x)＝____________，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2023)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2023)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2023)))＝________.答案11011解析因為f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(41－x,41－x＋2)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(\f(4,4x),\f(4,4x)＋2)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(\f(4,4x),\f(4＋2·4x,4x))＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(4,4＋2·4x)＝eq\f(2·4x＋4,4＋2·4x)＝1，設f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2023)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2023)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2023)))＝m， ①則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2023)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2023)))＋f

eq\b\lc\(\