高中數(shù)學概念、公式大全

高中數(shù)學概念總結(jié)

一、函數(shù)

1、若集合A中有n(72WN)個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為

22,所有非空真子集的個數(shù)是2"-2。

b

二次函數(shù)y=ax0+bx+c的圖象的對稱軸方程是x=,頂點坐

標是__L,4ac—J用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，解

I2a4aJ

析式的設(shè)法有三種形式，即f(x)=ax2+bx+c(一般式)，

=a(x-jq)?(1-々乂零點式)和/(x)=a(x-m)2+n

(頂點式

m

2、幕函數(shù)了=*7,當n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m<n時，其大致圖象

是

3、函數(shù)了=--5x+6］的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+s),單調(diào)遞增區(qū)間是

［2,2.5］和［3,+s),單調(diào)遞減區(qū)間是(-S,2］和［2.5,3］。

二、三角函數(shù)

1、以角a的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角

a的終邊上任取一個異于原點的點P(x*_y),點P到原點的距離記為

.yxyxrr

r，貝Usma=—,cos(Z=—,tg(Z=—,ctgCl.=—,sec(Z=—,escCl=一。

r_r__5_y2E_y

2,同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：su/a+cos2a=i,

1+次2a=se2ca,1+ctg2a=es2ca；

倒數(shù)關(guān)系是：tga?etga=1,siiiacsca=1,cosasec(z=l；

…入?一dsinacoscif

相除關(guān)系是：tga=------,ctga=-------o

cosasine

3、誘導公式可用十個字概括為：奇變偶不變，符號看象限。如：

,in、15萬

sui(--a)=-cosafctg(———a)=tga,tg(37T-a)=-tga

4、函數(shù)？=月sin(Q+*)+8(其電4?0,0>0)的最大值是

2萬-co

月+B,最小值是B—A周期是T——，頻率是f——，相位

9CO17：

是3+（p,初相是7;其圖象的對稱軸是直線

GC+3=化7+上wZ）,凡是該圖象與直線y=B的交點都是該

圖象的對稱中心。

5、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=sinx的遞增區(qū)間是2上;r-；,2上；r+：（EwZ）,遞減區(qū)間是

、，了、，3”

IkK+—,24不+—(keZ)y=cosx的遞增區(qū)間是

22

\lkn-k,2七r］(后E2),遞減區(qū)間是［2上不2匕r+開］伊?EZ),y=tgx的

遞增區(qū)間是|匕—三，匕+勺（林2）,y=c￡gx的遞減區(qū)間是

22）

（匕T,匕T+開）（左WZ）g

6、sin(cz±/J)=sni6<cos/?±cos6Zsin/?

cos(a±/3)=COSCZCOS/7)LIsin6<sin/?

tga土姐/3

tg(a±/3)

lyitgatgp

7、二倍角公式是：sin2a=2sinacosa

cos2ez=cos26Z-SHI2(Z=2COS2a-1=1-2sin2a

Itga

tg2a=-一~。

1一擔％

8、三倍角公式是：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4co/a-3cosa

9、半角公式是：若=士產(chǎn)等1+C0S6Z

a1-cosa1-cosasina

tg——=±-------=-------=-------

2vl+cos<zsina1+cosa

oa

10、升累公式是：l+cosa=2cos—1-cosa=2sui—

22

21+cos2a

11、降鼎公式是：siii=--a'"。cosa=--------。

2

a

2苗5”g彳

12、萬能公式:Sina=-----

1+收2.

13、sin(a+P)sin(tz-/?)=sill2a-sin2p,

222

cos(a+p)cos((Z-/?)=cosa-sin2yC=Cosp-siiia。

14、4siiiczsiii(60°-a)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a；

tgatg(60Q-a)tg(60Q+a)=tgia<.

15、ctga-tga=2ctglao

/-I

16、sinl8P=——

4

17、特殊角的三角函數(shù)值:

冗穴7：

a0萬

6432

1叵正

sin。010-1

222

叵1

cosa1走0-10

222

不存不存

tga0在1石0

3在在

不存不存

ctga61造00

在3在

18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圓半徑)：

abc

----=-----=-----=2R

sillAsillBsillC

19、由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-ZaccosB

22_12

由余弦定理第二形式，COSB=------=—

lac

20、Z\ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表

示，半周長用p表示則：

①S=9〃也=A；②S=9左血1月=A；

22

③S=2及2sinHsingsinC；④S=^^；

47?

⑤S=y/p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

21、三角學中的射影定理：在△ABC中，b=acosC+c-cosAf-

22、在△ABC中，A<Bsillyl<sillB,…

23、在△ABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A4-B)=-cosCtg(A+B)="tgC

,A+BCA+B,CA+BC

sin-----=cos—cos-----=sui—次------=ctg—

222222

tgA+tgB+tgC=tgA-tgB-tgC

24、積化和差公式：

①sinacos/?=:[疝i(a+夕)+siii(a-p)],

②cosczsin0=y[siii(a+0)-siii(a-/>)],

③cosa?cos0=；[cos(tz+2)+cos((z-/)],

④疝iasinp=-y[cos(<z+fi)-cos(a-/7)]0

25、和差化積公式：

x+x

@令?smx+suiy=2-sm--y-cos----y--,

22

x

@科s?mx-smj/=2，cos—工+—y?si-n----y,

_x+yx-y

@cosx+cosy=2cos--——cos---,

_.x+y.x-y

@cosx-cosy=-1sui--——sin---。

三、反三角函數(shù)

1、y=arcsinx的定義域是口，1],值域是奇函數(shù)，增函數(shù);

y=arccosx的定義域是[-1,1],值域是[0,刃，非奇非偶，減函數(shù);

y=ardgx的定義域是R,值域是(-￡,￡),奇函數(shù)，增函數(shù)；

y=a%agx的定義域是R,值域是(0,哈,非奇非偶，減函數(shù)。

2、當xw[-L1]時,sin(arcsinx)=x>cos(arccosx)=x；

siii(arccosx)=Vl-x2,cos(arcsiiix)=Vl-x2

aicsin(-x)=-aicsiiix,aiccos(-x)=*-aiccoscr

.萬

arcsuix+arccosx=——

2

對任意的工E/?,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)=萬一arcctgx

arctgx+arcctgx=；

當工=0時，有：tg(arcctgx)=ctg(arctgx)=-°

xx

3,最簡三角方程的解集：

\a\>1時，疝工=d的解集為8

|G|<1時,sinx=a的解集為?卜卜=〃開+(-1)”.mcshia,nez]

回〉1時,cosx=o的解集為6

|dt|<1時，cosx=d的解集為卜卜=2月笈土arccosd,nez\9

awR,方程修=&的解集為氐,=arctga,n^z\

awR,方程ctgx=a的解集為此卜-+arcctga,nez}?

四、不等式

1、若n為正奇數(shù)，由a<8可推出a"<6"嗎？(能)

若n為正偶數(shù)呢？(僅當a、b均為非魚數(shù)時才能)

2、同向不等式能相減，相除嗎(不能)

能相加嗎？(能)

能相乘嗎？(能，但有條件)

L.

3、兩個正數(shù)的均值不等式是：-—>4ab

2

三個正數(shù)的均值不等式是："：+c2也%

3

n個正數(shù)的均值不等式是：■+&+'+%>癡J2，氏

n

4、兩個正數(shù)a、6的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之

間的關(guān)系是

…亡，癡.等.再i

a+b

6,取向不等式是：同邛|斗士*|4+忸

左邊在ab<0(>0)時取得等號，右邊在ab>0(<0)時取得等號。

五、數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項公式是%=%+m-l)d,前n項和公式是：

n(a｝+a?)1,

Sn=---————=nax+—n(n-l)d。

2、等比數(shù)列的通項公式是a*

叫(g=i)

n

前n項和公式是：Sn=\a1(l-q),八

--------("D

[1-q

3、當?shù)缺葦?shù)列我｝的公比q滿足匕|<1時，hinSn=S-一般地,

如果無窮數(shù)列名」?的前n項和的極限hmS”存在，就把這個極限稱為這

M—>00

個數(shù)列的各項和(或所有項的和)，用S表示，即S=iimS.。

4、若m、n、p、qWN,且/+N=p+g,那么：當數(shù)列匕J是等差數(shù)

列時，有分+%=3+4；當數(shù)列加｝是等比數(shù)列時，有

5、等差數(shù)列也｝中，若Sn=10,32n=30,則s31K2；

6、等比數(shù)列何｝中，若Sn=10，s2n=30,則的十四

六、復數(shù)

1、廠怎樣計算？（先求n被4除所得的余數(shù)，/小=廣）

2、電=—+~~i-?g=----。二i是1的兩個虛立方根，并且:

12222

3、復數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：同-匕2歸區(qū)土22佰匕1|+匕2］，其中

左邊在復數(shù)z；Zz對應的向量共線且反向（同向）時取等號，右邊在

復數(shù)z：z々對應的向量共線口同向（反向）時取等號o

4、棣莫佛定理是：卜（cos8+isin8）1=r"（cos"e+isin月6）（月wZ）

5、若非零復數(shù)z=r（cosa+2sina）,則z的n次方根有注個，即：

”廣2^+a,2^+az,

zk=Vr（cos-----------+isui------------）（AT=0J,2,A>n-1）

nn

它們在復平面內(nèi)對應的點在分布上有什么特殊關(guān)系？

都位于圓心在原點，半徑為正的圓上，并且把這個圓n等分.

z1

6、若|zj=2,z2=3（cos^-+/siiii復數(shù)zi、Z2對應的點分別是

I萬.—

A、B,則△AOB（0為坐標原點）的面積是一乂2?6sin—=3）3。

8、復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點的幾個基本軌跡:

①argz=e（a為實常數(shù)）一軌跡為一條射線.

②21&2-20）=火2（）是復常數(shù)，隨實常數(shù)）一軌跡為一條射線.

③|z-Zo|=r（r是正的常數(shù)）一軌跡是一個圓。

④|z-zj=I?-Z2|（ZpZ2是復常數(shù)）C軌跡是一條直線。

⑤|z-zJ+|z-Z2|=Zag、z2是復常數(shù),a是正的常數(shù)）一軌

跡有三種可能情形：a）當2a>|馬-Z2I時，軌跡為橢圓；b）當

B>

2a=-Z2|^軌跡為一條線段；c）當2a<k-Z2I時，軌跡不存在。

⑥|z-zj-匕-z2||=2am是正的常數(shù)）一軌跡有三種可能情形：

a）當2a〈h-ZzI時，軌跡為雙曲線；b）當2a=k-Z21時，軌跡為兩

條射線；c）當2a>h-Z21時，軌跡不存在。

七、排列組合、二項式定理

1、加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點？

如法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關(guān)。

flI

2、排列數(shù)公式是：郎=fi（n-1）A（n-m+1）-------；

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：琛

組合數(shù)公式是：一如F-+］）=附??；

1x2xA："mml-（n-in）l

組合數(shù)性質(zhì)：C：=C：fM+C：1=CM

tC：=2"PE*

r=0

。；+C；M+C；+2+A+C；=C：2

3、二項式定理：

nn2rnrr

(a+b)=C°a+C^b+C^b+A+Cna-b+A+C?”

r

二項展開式的通項公式：Tr+l=C^b(r=0,L2A,n)

八、解析幾何

1、沙爾公式：^4B|=-xx

2、數(shù)軸上兩點間距離公式：網(wǎng)=匕-以|

3、直角坐標平面內(nèi)的兩點間距離公式：

|耳聞=-馬尸+仇-內(nèi)了

4、若點P分有向線段月耳成定比入，則入=￡￡■

PP2

5、若點耳(工「外),后(工2*%)，P(XJ)，點P分有向線段福成定比

入，則：入=上五=匕左；

工2-1y2-y

陽+生

A---------

1+2

v」i+加

1+/v

若4/Ji),B(x2.y2),。(工3、為)，WJAABC的重心G的坐標是

j一+〃+13,%+12+。3j。

6,求直線斜率的定義式為k=tga,兩點式為k=七二左。

工2一對

7,直線方程的幾種形式：

點斜式：了-%=化(X-%),斜截式：y=kx+b

兩點式：上立=口,截距式：幻屋i

%-，1ab

一般式：4+為+0=0

經(jīng)過兩條直線TAxx+Bxy+G=0和q：4工+B2y+弓=0的

交點的直線系方程是：4*+8逮+C\+A(A2X+B2y+C2)=O

8、直線小y=kxx+bx,Z2：y=k2x+b2,則從直線％到直線右的角

8滿足：tgO=~——

14-kyk2

直線上1與%的夾角8滿足：tge=?二k

1+kxk2

直線+4工+Bxy+G=0,/2：A^x+B2y+C2=0f則從直線％

到直線j2的角8滿足：tg0=44-

/出+“

直線％與，2的夾角8滿足：tg"4%二鄉(xiāng)%

月出+為斗

9,點_?(/、兀)到直線/：4+耳y+C=O的距離：

\Ax0++C|

a=---,二——

4A2+B2

10,兩條平行直線+Ax+By+Cx=0,%：4+出+。2=0距離是

11.圓的標準方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

Jn2+E2-4F(D

其中，半徑是廠=匕士~,圓心坐標是-上，-三

2(21)

思考：方程，+了2+/+產(chǎn)=。在2^+E2-4尸=。和

D2+￡2-4F<0時各表示怎樣的圖形？

12、若4(陽,%),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-一為)=0

經(jīng)過兩個圓

2222

x+y+DjX+Exy+耳=0,x+y+D2x+E2y+苞=0

的交點的圓系方程是：

2222

x+y+Dxx+豈了+F[+2(x+y+D2x+E2y+%)=0

經(jīng)過直線上4c+ay+C=0與圓—+y2+“+劭+產(chǎn)=。的

交點的圓系方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0

13、圓X2+,2=戶的以尸(XQ.YQ)為切點的切線方程是

2

XOX+yoy=r

一般地，曲線+力2-勤+產(chǎn)=。的以點p(x。，打)為切點

X4-Xny4-y.

的切線方程是：Axox+Cyoy-D-—^-+E^-^-+F=O.例如，拋

物線r=41的以點尸（L2）為切點的切線方程是：2y=4>丁，即：

y=x+l。

注意：這個結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按

照求切線方程的常規(guī)過程去做。

14,研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式'法：>>0,W,<0,等價于直線與圓相交、相切、相離：

②老杳圓心到直線的距離與半杼的大小關(guān)系：距離大于半徑、等于

半徑、小干半徑，等價千百線與圓相離、相切、相交。

15,拋物線標準方程的四種形式是：y2=lpx,y2=-lpx,

x2=lpy>x2=-2py.

16、拋物線y2=2px的焦點坐標是：準線方程是：工=-￡。

若點尸（而、九）是拋物線y?=2Px上一點，則該點到拋物線的焦點

的距離（稱為焦半徑）是：。+且，過該拋物線的焦點且垂直于拋

物線對稱軸的弦（稱為通徑）的長是：2p。

2222

17、橢圓標準方程的兩種形式是：一^~+4~=1和??+—z-=1

a2ya2,b*

（?>8〉0）。

22

18、桶圓1+勺=1（a>0）的焦點坐標是（±的0）,準線方程是

a2b2------

以“CID

=±—,離心率是2=—，通徑的長是其中OON

caa-----------

x2y2

19、若點F(XQJ。)是橢圓-2"+~^2=1(儀>6)。)上一點，耳、尸2是

其左、右焦點，則點P的焦半徑的長是忸/=〃+%和

\PF2\=a-ex0.

2222

20、雙曲線標準方程的兩種形式是：0-勺=1和'-1=1

a2b2a2b2

(a>0,b>0),

x222

21、雙曲線三-Jy=1的焦點坐標是(切,0),準線方程是x=土a匕，

a2b2------------c

C~>h2r2V2

離心率是@=一，通徑的長是一，漸近線方程是r-J=o.

aaab

其中c2=12+乩

22

22、與雙曲線多?-勺=i共漸近線的雙曲線系方程是

a2投

2222

—z—=/I(ziH0)。與雙曲線一y=1共焦點的雙曲線系方

公b*a2,bz

程是4-----4-=1。

23、若直線？=米+6與圓錐曲線交手兩點A(xi,yi),B(X2,yz),則弦

長為\AB\=J(1+/)(%-X2)2;

若直線工=沖+￡與圓錐曲線交于兩點A(xi,yi),B(X2,yz),則弦

長為M=J(l+/2)(%--2)2，

24、圓錐曲線的焦參數(shù)p的幾何煮義是焦點到準線的距離,對于橢圓和

雙曲線都有：P=---。

c

25、平移坐標軸，使新坐標系的原點?！谠鴺讼迪碌淖鴺耸?h,k\

若點P在原坐標系下的坐標是(耳？),在新坐標系下的坐標是

(/、川，則工’=工-力,y=y-k.

九、極坐標、參數(shù)方程

1、經(jīng)過點片(近Jo)的直線參數(shù)方程的一般形式是：

產(chǎn)工。+;跟參勒。

1/=%+沅

2,若直線2經(jīng)過點用(%,%)，傾斜角為a,則直線參數(shù)方程的標準形

式是：［”一"°+"°”"-是參數(shù))。其中點P對應的參數(shù)t的幾何

I)=兀+1sina

意義是：有向線段索的數(shù)量。

若點Pi、P2、P是直線2上的點，它們在上述參數(shù)方程中對應的參數(shù)

分別是外力2和七，則：|與鳥=P1-修|；當點P分有向線段

福成定比X時，￡J+&-;當點P是線段P/2的中點時，

1+A

+_,1+,2

L-。

2

3、圓心在點C(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程是：

x=a+rcosez

（a是參數(shù)）。

I=b+rsiii<z

3、若以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點

P的極坐標為（p、8）,直角坐標為（x、y）,則x=pcos￡,

y=psinB,p=Jr2+y2>tg0=--

x

4,經(jīng)過極點，傾斜角為a的直線的極坐標方程是：。=&或8=尸+&,

經(jīng)過點（a,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標方程是：pcos6=a,

經(jīng)過點（a,：）且平行于極軸的直線的極坐標方程是：psine=a,

經(jīng)過點（。。，綜）且?guī)苯菫閍的直線的極坐標方程是：

psin（0-a）=p0siii（^0-a）°

5、圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程是p=r；

圓心在點Q,0）,半徑為〃的圓的極坐標方程是p-2acos6；

圓心在點（a,：）,半徑為a的圓的極坐標方程是p=2asin8；

圓心在點（P。，綜），半徑為r的圓的極坐標方程是

p2+Pa-Ippocos（6>-%）=戶。

6、若點M（0,4）、N（02，%），貝U

網(wǎng)=4P；+2cos@-%）?

十、立體幾何

1、求二面角的射影公式是COS0=—,其中各個符號的含義是：S是二