備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合(精講)(原卷版+解析)

8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一排隊(duì)【例1】（2022云南）6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法各有多少種？（用式子表達(dá)）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中間；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何兩個女生都不得相鄰；（7）男生甲、乙、丙順序一定．【一隅三反】1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．（2022·河南模擬）某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（）．A．72 B．96 C．120 D．1443.（2022·廣東）有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，女生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．考點(diǎn)二排數(shù)【例2】（2021江蘇）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字：(最后運(yùn)算結(jié)果請以數(shù)字作答)（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？（3）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？【一隅三反】1．（2022·西安模擬）由組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則組成的五位數(shù)是奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問（1）能夠組成多少個五位奇數(shù)？（2）能夠組成多少個正整數(shù)？（3）能夠組成多少個大于40000的正整數(shù)？3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．考點(diǎn)三分組分配【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【一隅三反】1．（2022·貴州模擬）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種2．（2022·浙江模擬）為有效防范新冠病毒蔓延，國內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護(hù)人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種3．（2021江蘇期中）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（列式并用數(shù)字作答）（1）5個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少放一個小球；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．考點(diǎn)四涂色【例4】（2022·陳倉二模）如圖是某屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，現(xiàn)在有4種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（）A．72 B．48 C．36 D．24【一隅三反】1．（2022·武漢模擬）某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為（）A．288 B．336 C．576 D．16802．（2022·浙江模擬）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進(jìn)行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．3603．（2022·紅河模擬）有如下形狀的花壇需要栽種4種不同顏色的花卉，要求有公共邊界的兩塊不能種同種顏色的花，則不同的種花方式共有（）A．96種 B．72種 C．48種 D．24種8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一排隊(duì)【例1】（2022云南）6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法各有多少種？（用式子表達(dá)）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中間；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何兩個女生都不得相鄰；（7）男生甲、乙、丙順序一定．【答案】（1）A99（2）A22A77（3）A1010﹣2A99+A88（4）A22A88（5）A44A77（6）A66A74（7）=A107【解析】（1）男甲必排在首位，則其他人任意排，故有A99種，（2）男甲、男乙必排在正中間，則其他人任意排，故有A22A77種，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用間接法，故有A1010﹣2A99+A88種，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆綁法，把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和另外全排，故有A22A88種，（5）4名女生排在一起，利用捆綁法，把4名女生捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和另外全排，故有A44A77種，（6）任何兩個女生都不得相鄰，利用插空法，故有A66A74種，（7）男生甲、乙、丙順序一定，利用定序法，=A107種【一隅三反】1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】因?yàn)楸∠噜?，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有種排列方式；甲不在兩端，則甲在三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式.故答案為：B2．（2022·河南模擬）某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（）．A．72 B．96 C．120 D．144【答案】D【解析】第一步：全排列2個語言類的節(jié)目，共有種情況，第二步：從4個歌舞類節(jié)目中選出2個節(jié)目放入2個語言類的節(jié)目之間，共有種情況，第三步：再將排好的4個節(jié)目視為一個整體，與其余的兩個歌舞節(jié)目全排列，共有種情況，所以。故答案為：D3.（2022·廣東）有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，女生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【解析】（1）從7人中選5人排列，排法有（種）．（2）先排男生，有種排法，再在男生之間及兩端的4個空位中排女生，有種排法．故排法共有（種）．（3）方法一（特殊元素優(yōu)先法）

先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故排法共有（種）．方法二（特殊位置優(yōu)先法）

左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故排法共有（種）．（4）方法一

分兩類：第一類，甲在最右邊，有種排法；第二類，甲不在最右邊，甲可從除去兩端后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，而乙可從除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，其余人全排列，有種排法．故排法共有（種）．方法二

7名學(xué)生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時(shí)，有種排法，乙在最右邊時(shí)，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故排法共有（種）．（5）7名學(xué)生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故排法共有（種）．（6）把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（種）．（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法．故排法共有（種）．（8）將甲、乙看成一個整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）．考點(diǎn)二排數(shù)【例2】（2021江蘇）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字：(最后運(yùn)算結(jié)果請以數(shù)字作答)（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？（3）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？【答案】（1）156（2）108（3）284【解析】（1）符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個位時(shí)有個；第二類：2在個位時(shí)，首位從1，3，4，5中選定1個（有種），十位和百位從余下的數(shù)字中選（有種），于是有個；第三類：4在個位時(shí)，與第二類同理，也有個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)：個．（2）符合要求的數(shù)可分為兩類：個位數(shù)上的數(shù)字是0的四位數(shù)有個；個位數(shù)上的數(shù)字是5的五位數(shù)有個．故滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)共有個．（3）符合要求的比1230大的四位數(shù)可分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共個；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四類：形如123□，共有個由分類加法計(jì)數(shù)原理知，無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)共有：個．【一隅三反】1．（2022·西安模擬）由組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則組成的五位數(shù)是奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，基本事件總數(shù)為：；其中是奇數(shù)的基本事件個數(shù)為：，所求概率。故答案為：D.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問（1）能夠組成多少個五位奇數(shù)？（2）能夠組成多少個正整數(shù)？（3）能夠組成多少個大于40000的正整數(shù)？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先排最個位數(shù)字，從1、3、5中選1個數(shù)排在個位有種，其余4個數(shù)全排列有種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有個五位奇數(shù)；（2）根據(jù)題意，若組成一位數(shù)，有5種情況，即可以有5個一位數(shù)；若組成兩位數(shù)，有種情況，即可以有20個兩位數(shù)；若組成三位數(shù)，有種情況，即可以有60個三位數(shù)；若組成四位數(shù)，有種情況，即可以有120個四位數(shù)；若組成五位數(shù)，有種情況，即可以有120個五位數(shù)；則可以有個正整數(shù)；（3）根據(jù)題意，若組成的數(shù)字比40000大的正整數(shù)，其首位數(shù)字為5或4，有2種情況；在剩下的4個數(shù)，安排在后面四位，共有種情況，則有個比40000大的正整數(shù)；3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成五位數(shù),相當(dāng)于從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在千位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在十位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，所以可組成個五位數(shù).(2)用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),相當(dāng)于先從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，再把剩下的三個數(shù)字和0全排列，有種情況，所以可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).(3)無重復(fù)數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，所以三個數(shù)字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三個數(shù)字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；若三個數(shù)字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；若三個數(shù)字是1、2、3，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有種情況;若三個數(shù)字是2、3、4，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有種情況.所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共可組成個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).(4)由數(shù)字0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以放在個位數(shù)字只能是1或3，所以相當(dāng)于先從1、3兩個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，再從剩下的四個數(shù)字中除去0抽取一個放在萬位，有種情況，再對剩下的三個數(shù)字全排列，有種情況，所以可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).考點(diǎn)三分組分配【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有(種)選法.（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.（4）有序均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).（5）無序部分均勻分組問題.共有(種)分法.（6）有序部分均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).（7）直接分配問題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.【一隅三反】1．（2022·貴州模擬）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種【答案】A【解析】根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類：第一類是2，2，4，第二類是3，3，2，故不同的安排方法共有種；故答案為：A.2．（2022·浙江模擬）為有效防范新冠病毒蔓延，國內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護(hù)人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】C【解析】若甲乙和另一人共3人分為一組，則有種安排方法；若甲乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組兩人，則有種安排方法，綜上：共有12+12=24種安排方法.故答案為：C3．（2021江蘇期中）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（列式并用數(shù)字作答）（1）5個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少放一個小球；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．【答案】（1）240（2）1560（3）10（4）2160【解析】（1）解：從5個不同的小球中任取個小球當(dāng)成一個元素，連同其余3個元素作全排，共有種（2）解：若四個盒子中小球的個數(shù)為：，則共有種，若四個盒子中小球的個數(shù)為：，則共有種，所以共有種（3）解：等價(jià)于2個相同的元素填入四個不同的空位，共有種（4）解：從4個不同的盒子中選一個盒子空著，有種，另外三個盒子中，小球的個數(shù)可能為：①，②，③，若為①，則共有種；若為②，則共有種；若為③，則共有種，所以一共有種.考點(diǎn)四涂色【例4】（2022·陳倉二模）如圖是某屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，現(xiàn)在有4種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】A【解析】由圖知：兩組顏色可以相同，若涂4種顏色：