線性代數(shù)習(xí)題

第一章行列式

A基礎(chǔ)題

判斷題

10G+411=0；錯

1.—=

1

01r,+r21

3^z1131213a\\a\24|3

2.

3。213a223。23二3Cl21。22。23=3x8=24；錯

3〃313。323。33。31。32。33

?1|。12+瓦2〃13+如a\\a\2“13如仇3

對

3.^22b?3

a2\+。21。23+”23=。21a22。23人22

32+”3233+”33“32“33

%+砥。。。31。32。33r3i

4

4..“2=44…4"錯

2xX12

1X1-1中/與1的系數(shù).

*5.計算:/(x)=

32X1

111X

由題得:/1)=2/+x+4—4—3x?—x+2x~——2x，—x~一3,所以，/與彳4的系數(shù)分別為0、2.

二.填空題

(2564、

1002

41x2

(0161)那么矩陣行列式網(wǎng)中的元素》的代數(shù)余子式為

1.設(shè)

-151

811-X

9

2.寫出行列式24中的元素（—X）的代數(shù)余子式

3.設(shè)

6-584

9752

D=

abc\

-48-8—3

行列式0的代數(shù)余子式記為'=123,4）,則4仆+2&2+A,2-3A42

0003

00-10

4.0400

2000

-314

503

5.行列式2.1中元素-2的代數(shù)余子式等于

kk

6.方程1k1=0的實根個數(shù)為o

1k2

三.計算下列行列式:

0111

5-13a-5-24

1011

3212.—2ci—223.

1101

2952019742a-5

1111

10-2441-2-31201\aba

4.-37215.-2-3646.13507.a0ab

21-5-33-4520156ba\a

0-4111252371234aba0

11110a00

a-bah

2345000/?

8.9.—a—4+2a10.

22324252c000

b-b-a-b

2333435300J0

四.計算行列式。的值:

231509750829

43211-1001axa+x

4

-14378968321401-122

4.1aya+y

00210001

2143abc122

000341aza+z

1432

00102

babx+yXXX

%-\5a\\~4

Xx-2yXX

5.%一442—42—a2一。4

XXx+2yX

%一4。3~b2a3~3%4

%~~b?a—bax-3y

.4434一“4XXX

6-584

9752

D=

c1

五.設(shè)一彳8-8-3

行列式。的代數(shù)余子式記為4/'/=123,4),求下列各式的值:

(1)9A2]+7A22+5A23+244.(2)9A31+7A32+5A33+2A34.

(3)4A12+2A22+432-3442;(4)4Al3+2A23+&3-3443.

2xi+3X2+11匕+5X4=2,

2+x+5X+2X=1,

六.用克拉默法則解線性方程組《234

-2X^+2%4=-4.

七.下列齊次線性方程組有非零解嗎？

x+3X-9X+7X=0,

—X]+2/+2%3=0,x234

一3Xj一%—8工3—X4=0，

（1）4(2)4

4X1+x2-2X3=0,

x}-3X2+5X3-x4=0,

x2+4X3=0;

元1+x2+2X3+3X4=0.

xt4-x2+kx3=0,

八.左取何值時，下列齊次線性方程組可能有非零解：+kx2+x3=0,

Xj-x2+2x3=0.

B選擇題

1.5階行列式的全面展開式共有多少項

A.10項8.25項C.60項D.120項

2.設(shè)行列式D的元素都是正整數(shù),則。的值是

A.正整數(shù)8.整數(shù),即還可能是負整數(shù)或0

C.有理數(shù),即還可能是分數(shù)D.實數(shù),即還可能是無理數(shù)

b\2%4〃iq

=2

D=b22a24a2-3b2c2

4%-3b3c

3.設(shè)4，則2a33

A6B.2C-12D-48

4.下列哪個行列式的值一定為零

00%“4q0o

00&a耳00o

00o004

Gc2。

000

A4d2Bod,

a2%400〃30

b100000b4

c200000

4乩00D0d,00

-314

503

2-2

5.行列式中元素-2的代數(shù)余子式等于

429B-29C58D-58

0001

a00

020-1

6.已知0°1T=1,則〃=

B.0.5C.-2D.2

7.設(shè)n階行列式D=l%I,卻是au的代數(shù)余子式，則

1

AD8.0C~D。.難以確定其值

。內(nèi)+blx2+cl=0

4=1

ax+bx+c=0

8.已知的b2,則方程組2{222的解是

=0

kxx+2X2+X3

+kx2=0

9.在下列何種情況下,齊次線性方程組%-%+七=0僅有零解

A.KW-28.KW3°.!(2-2或1(￡3D.KW-2且KW3

C自我檢查題

一、填空題

(1)計算：(課堂補充例題)

10000

121000

at+l11

012100a+1

①口…001200一遞推法②121，其中aj工0,

0000-??2111%+1

000012

(2)如果n階行列式中每一行上的n個元素之和等于零，則￡>〃=

12345

22211

已知

(3)D5—31245=27,則A4I+A42+&3=^44+As=

11122

43150

abc

(4)設(shè)a、b、c為一元三次方程尤3+px+g=0的三個根，則cab

bca

(5)已知4階行列式D中第二行上的元素分別為一L0,2,4,第四行上的元素的余子式分別為5,10,

a,4,JJliJa=o

Ax,+x2+=0

(6)線性方程組,w+g+G=0有非零解，則左=

2xt-x2+x3=0

000100

000120

000123

(7)6階行列式=720。

004000

050000

670000

5x123

xxi2

(8)行列式f(x)則f(x)中/的系數(shù)為_____10d的系數(shù)為-4

12x3,

x122x

二、選擇題

1q

-1\-a}a2

-1]一%%

(1)行列式..的值為()。

11-*%

T1-4

A.0B.1C.anD.空2…仆

(2)設(shè)A為n階方陣，如果A經(jīng)過若干次初等變換成矩陣8,則成立().

A.|A|=|B|B.若網(wǎng)=0,則必有忸|=0

C.同。冏D.若網(wǎng)＞0,則必有冏＞0

x-2x—1x-2x-3

2x—22x—12.x—22x—3

(3)已知f^x)=,則/(x)=0的根的個數(shù)為)o

3x-33x-24%-53x-5

4x4x-35x-l4x-3

■B.2C.3D.4

(4)設(shè)行列式=3,2=m,a'3?=n,則行列式"+a]3等于(

a21a22a23a2)a2la22+a23

A.m+nB.-(m+n)C.n—inD.m-n

abed

cbda

(5)設(shè)=，且〃w0,則Aj4+&4+&4+Au=()O

dbca

abdc

A.0B.1C.(a+Z?+c+d)~D.(a"+b~+c?+d~)~

（6）設(shè)3階方陣方=[%,%0]，則網(wǎng)=（）o

A.I%%,金B(yǎng).|一1/1,一a”一

C.做+4,%+%,%+ajD.!?1,?1+a2,txl+%+?3|

三、計算下列行列式的值

31-12abcd

-513-400ef

(1)(2)

201-100gh

1-53-300kI

1111

a-b-c2a2a

cosacosacosacosa

⑶2bb-c-a2b;(4)]234

cos2alcos2acos2acos2%

2c2cc-a-b23

cos3qcos3a2cos3%cos3%

四、證明下列各等式成立

l+x111

a-xa-ya-z

1l-x11

(1)b-xb-yb-z=0：(2)=x2y2

111+y1

c-xc-yc—z

111l-y

21

a+4a1

CTa

]_

b

~bI

(3)若abed=1,則0；

,11

1

c

1

屋+;d1

d-~d

2cos<91

12cos61

(4)12cos6sin(〃+l)。6Wk7T、(k=0,±l,???)。

sin。

1

12cos。

五、計算下列n階行列式

75

x—123n111??1

275

x-122223..T

(1)(2)27(3)

n2n

x-n75n?n

27

199…9

a}x■■■x

929...9xa.y???x

(4)993...9(77>9)(5).其中=2,…，n?

xx■-■a?

999…n

110010

1G0010

a1411q1

六、計算6階行列式,其中0為1的虛立方根。

a2b21arc2co

2

a3h3\coc3co

1療00co0

xab

七、求解下列方程的全部根:xcb

=0；

bCXa

ba,v

八、證明

⑴設(shè)f(x)=Co+qx+…+c“x",用克萊姆法則證明:f(x)有〃+1個不同的根,則/(x)是零多項式。

1998

2196

(2)已知1998,2196,2394,1800都能被18整除,試證也能被18整除。

2394

1800

ax}+hx2+cx3+dx4-0

c、d不全為零，試證線性方程組"%+也-5=0只有零解。

⑶設(shè)a、b、

cx{-dx1-ax3-\-bx4=0

dx】+cx2-bx3-ax4=0

1x-12x-l

(4)設(shè)/(幻=1X2-23X-2,證明必存在一點￡￡(0,1),使/'(0=0成立。

1r—34x—3

第二章矩陣

A基礎(chǔ)題

一.判斷題

1.若矩陣乘積AB=4C,則3=C。

2.矩陣A',A可交換。

3,若W+M=O,則A=_g

4.若A是可逆矩陣，則矩陣AX=8的解是X=歷產(chǎn)

5.矩陣A8滿足AB=O,則A=0,或B=0。

6.對于矩陣AB一定有可比

7若A可逆，則也可逆。

8.任一矩陣A經(jīng)若干次初等行變換可化成階梯形矩陣。

9.若矩陣AB，。滿足AB_AC=O,且AHO,則有§=C

10.n階方陣A,3,一定有A8=8A

11.若矩陣Aw°,Aw°,則可能有A6=°

12若網(wǎng)=網(wǎng)，則A=g

13.矩陣A的秩（A）等于A中不為零的子式的階數(shù)

14.若矩陣A，3可作乘積運算A5,則1鉆1=同憫

15.對任意〃階方陣A,3,總有（AB）r=ATB7

ana12a13a21a22a23

a

16.設(shè)人=a21a2223，B=alla12a13

.a31a32a33._a31+alla32+?12a33+a13

一ol-o

1oOP100

Pl=oo12010,必有P2P[A=B

，101

101

0-10

17.001不是初等矩陣.

18.若AB=O且AWO,則必有B=0；

19.n階矩陣A,B均可逆，則A+B不一定可逆;

20.等式225=25成立;

21.n階方陣A為0矩陣的充分必要條件是|A|=0；

22.A為任意矩陣，則ATAAT為對稱矩陣。

23.若n實對稱矩陣A滿足=°，貝1」人=0。

二、填空題

A0、

1.設(shè)A,5是兩個可逆矩陣，則0B,

2.設(shè)4為三階矩陣,且網(wǎng)=3,則|（-A）'|

，1一2川=

3.若網(wǎng)=5,則；若矩陣A，8均可逆，且AXB=C,則乂=

4.已知〃階方陣A,滿足A2-A-E=O,E為單位陣，則A-1

123

5..設(shè)矩陣A0-10，A*為A的伴隨陣，貝I（A*）T

00

1-12

6.設(shè)A23若3階非零方陣8滿足A8=0,則/=

021

det[（一工幺）-1+/?]

7.設(shè)A為n階方陣，且detA=2,則3

8.設(shè)3階方陣A按列分塊為工=（%，。2，。3）（其中如是A的第I列），且detA=5,又設(shè)

B=Q1+2a2,3%+4a3，5。2),則detB=

100

A220

33j的伴隨矩陣為d,則（A*）-1

9.設(shè)3

11

10.00（n為正整數(shù)）

-1-1,

A=。1]’則3)

11.設(shè)

12.若n階矩陣A尻?滿足ABC=I,I為n階單位矩陣，則C-1=

13.若48為同階方陣，則（』+3）（5-3）=工2-3*的充分必要條件是

14.設(shè)A是〃階方陣，且|A|=2,A*是A的伴隨矩陣，則|3A[=

15.設(shè)q,a2,%,都是三維列向量,A=[al,a2,a3],8=[4,%4]且.=1，同=2,則

[A+耳=。

6設(shè)A-B2AB=

3

O

1設(shè)A=220A

7.343

18.設(shè)A是mxl矩陣，則ATA是階矩陣。

19.設(shè)A是〃階方陣，且網(wǎng)=3,則|(2A)T卜o

20.設(shè)A、8是三階方陣，/是三階單位陣，同=2且A2+A8+2/=0,則|A+.=

一100-

230

21.C*=456,則C=_________

22.設(shè)A是mxn矩陣，B是mxp矩陣，則A】B是階矩陣

140x：,則AX=B所表示的方程為

23.已知A=15,B=1

012x3

,12-2,

A=4a1

24.設(shè)3-11B為三階非零矩陣，且工3=0,則a=

25.設(shè)A為3階方陣，且|A|=3,則|“小=|2A-'|=||A|A*卜—

26.［歷乃2，…,A,J=-------------------

-5200

2100.

27.設(shè)A=,則

001-2

0001

101

28.若4=020,則(A+31)T(A2-9/)=

001

三.計算：

1.設(shè)矩陣

-300

A=3-30計算(A+2E)T(A2-4E).

33-3

2.設(shè)BC=(l2I),A=BC(1)求A；(2)求4°。

3.求滿足下面方程的矩陣X,

(11-n

4.設(shè)4=-111,AX=/r+2X,其中A是A的伴隨矩陣，求X。

1-117

120200

5.設(shè)方陣A-1-10,B=010又已知AX=5A,求A-'X以及X5.

001002

6.求下列矩陣的逆矩陣：

(1)(2)

'30-14'<123、

A-1201A=221

-2003

、22-18,、343,

-420O'

2000

A=

00-73

7.設(shè)［。057,

且胡=j+3,求矩陣B

101

A=020

8.已知L301J滿足班-2E=B-2/2,求矩陣B

100叼電b?b3b4

010a3a45c2c3c4

9.若A=,B=d,求AB。

001a5a6id2d3d4

000k00010

0000k0001

300

10.設(shè)3階方陣A,B滿足關(guān)系式A-iBA=6A+BA,其中A=020，求矩陣B.

004

11.已知向量組a1=(1,2,1),a2=(2,3,2),a3=(1,4,0),a4=(2,5,0),求該向量組的秩及

一個極大線性無關(guān)組并判斷其線性相關(guān)性。

四、證明題

1.矩陣A滿足A2-A-2E=O,證明：(A-3E)可逆，并求出其逆矩陣。

2.設(shè)方陣A滿足=0,證明(1+A+A2)(I-A)=I

(A丁=白

3.設(shè)A是n階可逆矩陣，試證它的伴隨矩陣A*可逆，且網(wǎng)。

4.設(shè)A是n階方陣，且滿足人丁A=1,悶=-1,求證“+人|=0

B選擇題

1.設(shè)A與B均為n階方陣，則下列結(jié)論中()成立。

A.det(AB)=0,則A=0,或B=0；

B.det(AB)=0,則detA=0,或detB=0；

C.AIM),則A=0,或B=0；

D.ABH0,貝I」detAH0,或detBH0。

2.設(shè)均為n階可逆矩陣，則下列結(jié)論成立的是()

A.AB-BA-

B.存在可逆矩陣尸，使尸T5尸=8；

C.存在可逆矩陣尸和。，使PAQ=B

D.存在可逆矩陣C,使CrAC=B

3.設(shè)43都是n階矩陣，且工3=0,則下列一定成立的是()

A.A=0或B=0B.A3都不可逆

c.A3中至少有一個不可逆[).4+8=0

4.設(shè)A為3階方陣，網(wǎng)=3,則12Al的值為()

A.5B.6C.12D.24

5.A,8為同階方陣，且AB=O,貝I()

A.A=O或3=0B.網(wǎng)=0或同=0

C.|A+@=OD.A+3=O

6.對任意〃階方陣A,3,總有()

A.|A+川=網(wǎng)+網(wǎng)B.(AB)，=ATBT

C.(A+5)2=A2+2AB+B2D.|蝴=|班

A.|A+B|=|A|+|B|B.|A-B|=|B-A|

c||胭=|忸|A|D.\AB\=\BA\

C自我檢查題二

一、填空題

(1)設(shè)〃階矩陣A的伴隨矩陣為A*,若⑶=0,則|A*卜

(2)設(shè)A=(101,則個=___________o

U1)

00…0

00a2…0

(3)設(shè)q/0,i=1,2,…，〃且A=,則4一

000…an-\

%00?-?0

423

(4)設(shè)A=110,且AB=A+2B,貝!|B=

-123

2-12-1

(5)設(shè)X=X,則乂=

-12-12

101

(6)設(shè)A=020,KN2為正整數(shù)，則2Al=

101

01

2

n-\

(7)n0=。

(8)已知A為n階矩陣，A可逆，則[/+(/—A)(/+A)T](/+A)=

(9)若對任意的nXl矩陣x均有Ax=0,則A=

二、選擇題

(1)設(shè)A、B均為n階方陣，則下面結(jié)論正確的是()

A.若A或B可逆，則AB必可逆

B.若A或B不可逆，則AB必不可逆

C.若A、B均可逆，則A+B必可逆

D.若A、B均不可逆，若A+B必不可逆

(2)設(shè)A、B均為n階方陣，若且3*0,則必有()

A.A,B均為不可逆陣B.A為不可逆陣

C.(A+5)2=A2+B2D.A=O

(3)設(shè)n階方陣A、B、C滿足A8C=/,則必有()。

A.CAB=IB.CBA=I

C.BAC=ID.BCA=I

（4）若n階矩陣A、3都可逆,且AB=BA,則下列（）結(jié)論錯誤。

A.A-'B=BA：'B.AB-'=B''A

C.A-'B'=B''A：'D.BA：'=AB'

0

0,設(shè)有64A=3,

1

則鳥=（）。

10-1101100100

A.010B.010c.010D.010

001001-101101

（6）設(shè)A為n階可逆矩陣，則（）。

A.若AB=CB,則A=C

B.A總可以經(jīng)過初等變換化為/

C.對矩陣（A"）施行若干次初等變換，當(dāng)A變?yōu)?時，相應(yīng)的/變?yōu)锳i

D.對矩陣施行若干次初等變換，當(dāng)4變?yōu)?時，相應(yīng)的/變?yōu)锳i

（7）、設(shè)A、8為同階可逆矩陣，則（）。

A.AB^BA

B.存在可逆矩陣P,使

C.存在可逆矩陣C,使C'AC=8

D.存在可逆矩陣P和。，使B4Q=8

（8）、設(shè)A、8、A+5、4-1+5一|均為n階可逆矩陣，則（47+57尸=（）。

A.AT'+B'B.A+B

C.A(A+BY'BD.(A+B)-'

（9）、A、3都是n階可逆矩陣，且滿足（AB）2=/,則下列不成立的是（）?

A.A^B-'B.ABA=B-'

C.BAB=A-1D.(BA)2=I

三、計算證明題

（1）4個食品店均要進同樣的兩種貨物,這兩種貨物的單價分別為4，b2,已知各食品店進貨的批量,

試用矩陣計算出各種進貨的總價是多少？

一21()一-31-2

(2)已知A=112,B=3-24,求A2-B2.

-121-35-1

123

(3)已知x是3X1矩陣，且A=x/=246,求(1)/*；(2)4"(n為正整數(shù))。

369

'200'

(4)設(shè)4=120,求4"。

012

(5)設(shè)A為n階矩陣，4,四，…，其為力的列向量，試用四，不，…，瓦，表示“A。

(6)設(shè)A、8為n階可逆矩陣，且滿足

X+[fi2(Arfi)-IAr]-1=X[A1(BTAy'BT]-\A+B^)

求X。

(7)設(shè)A、B是n階方陣，C=ST(A+/l/)B,B彳O。

(1)證明當(dāng)A為對稱矩陣時，C也為對稱矩陣；

(2)若A為反對稱矩陣，則X取何值時，。也為反對稱矩陣。

(8)已知n階方陣A滿足43=4/,證明A—/,A—2/均可逆。

(9)設(shè)A、8均為n階方陣，且8=8?,A=I+B,證明A可逆，并求其逆。

100

(10)已知T=A,2A-B—AB=/,試證A—5可逆,若胃=03-1,求矩陣B。

06-2

⑴)設(shè)/(x)=aox"'+a，i+…+以1%+酸，又A為n階矩陣，如果/尸0,且/(A)=O,證明

A可逆，并求A-,

(12)已知n階方陣A可逆，。、A均為n維列向量，且1+夕,小:工0,證明A+勾犬可逆，且

42夕才

(A+a/?T)=A'

1+尸7一%

(13)若n階矩陣A、6滿足A+8=A8,證明4B=B4。

第三章向量與線性方程組

A基礎(chǔ)題

一、判斷題

1.若向量組線性相關(guān)，則部分組也線性相關(guān)。

2.矩陣的行秩不一定等于列秩。

3.含有零向量的向量組必線性相關(guān)。

4.零向量是任意一組同維向量的線性組合

5.若齊次線性方程組AX=0只有零解，則A的列向量組線性無關(guān)。

6.設(shè)四,。2，。3是3階方陣A的列向量組，且Ax=O只有零解，則可