高中數(shù)學(xué)：3 .1 直線的傾斜角與斜率

3.1直線的傾斜角與斜率

一、直線的傾斜角

i.直線的確定

在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線位置的幾何要素是：已知直線上的一點和這條直線的方向，

二者缺一不可.

2.直線傾斜角的概念

當(dāng)直線/與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上一方向之間所成的角a叫

做直線/的傾斜角.

傾斜角與傾斜程度

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線都有一個確定的傾斜角a,且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相

等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.因此，我們可用傾斜角a表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

一條直線的傾斜程度.

3.傾斜角的取值范圍

當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.因此,直線的傾斜角a的取值范圍是

0°<a<180°。

如下圖：4的傾斜角為0。，4的傾斜角為銳角，4的傾斜角為直角，乙的傾斜角為鈍角.

二、直線的斜率

1.斜率的定義

我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，通常用小寫字母k表示，即

Z=tana.注：傾斜角是90。的直線沒有斜率.

2.斜率與傾斜角之間的關(guān)系

當(dāng)直線的傾斜角a=0。時，斜率仁0,直線與x軸平行或重合二

當(dāng)0。<<1<90。時，斜率Q0,且％值增大，傾斜角隨著增大；

當(dāng)a=90。時，斜率k不存在（此時直線是存在的，直線與x軸垂直）;

當(dāng)90。<“180。時，斜率M0,且力值增大，傾斜角也隨著增大.

3.直線的傾斜程度

（1）傾斜角a不是90。的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同.因此，我們可以用

表示直線的傾斜程度.（2）直線的斜率和傾斜角都是刻畫直線傾斜程度的量，斜率側(cè)重于代數(shù)

角度，傾斜角側(cè)重于幾何角度.

三、過兩點的直線的斜率公式

1.公式

經(jīng)過兩點6（%,M）,￡（々，％）（%工々）的直線的斜率公式為斜率.

2.公式的推導(dǎo)

如圖（1）,（2）,設(shè)直線[鳥的傾斜角為a（存90。），當(dāng)直線64的方向（即從《指向巴的方向）向

上時，過點耳作x軸的平行線，過點鳥作y軸的平行線，兩條直線相交于點。，于是點。的坐

標(biāo)為

QGwJ，

（2）

如圖（1）,當(dāng)a為銳角時，a=NQ66，X[＜%2，＞1＜必?在RtalQE中，

=3I_%-M

tana=tanZQPtP2如圖（2）,當(dāng)a為鈍角時,a=l為。-W設(shè)NQ耳鳥=6）,

IP\Q\x2-xx

%>x2,y]<y2.tantz=tan（18（X-。）=-tan6.在RtZx/JQg中,

HF，于是可得tana=，即％=上上

x一%x-Xjx-Xj

2器222

同樣，當(dāng)直線HE的方向向上時，如圖（3）,（4）,也有tana=2匚&，即上=上二'

x2一玉x2-x]

綜上所述，經(jīng)過兩點《a，x）,鳥（9,%）（玉工/）的直線的斜率公式為一％=）二上一

注意

（1）當(dāng)直線的傾斜角為90。時，斜率公式不適用，因此在研究直線的斜率問題時，一定要注

意斜率的存在與不存在兩種情況.（2）斜率計算公式中出的值與所選取的兩點在直線上的位置

無關(guān)，兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換.（3）當(dāng)直線［6與x軸平行或重合

時，直線的斜率公式成立，此時％=0.

四、兩直線平行

1.特殊情況下的兩條直線平行的判定

兩條直線中有一條直線沒有斜率，當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°_,

故它們互相平行.

2.兩條直線的斜率都存在時，兩條直線平行的判定

兩條直線都有斜率而且不重合時，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜

率相等，那么它們平行，即4〃/20K=右.證明如下：

設(shè)兩條直線/,,乙的斜率分別為匕,h.

如果4〃/?（如圖），那么它們的傾斜角相等,即a、=a》：,tana]=tana2k]=&.

反過來，如果兩條直線的斜率相等，即匕=修，那么tana=tana?.由于

0<a,<180^90°）,04a?<180.（。2/90」），；.4=。2?又兩條直線不重合，二

五、兩直線垂直

1.特殊情況下的兩條直線垂直的判定

當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率，另一條直線的斜率為0時，即--條直線的傾斜角為90。,

另一條直線的傾斜角為0。時，兩條直線互相垂直.

2.兩條直線的斜率都存在時，兩條直線垂直的判定

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于T；反之，如果兩條直線的斜

率之積等于T,那么它們互相垂直，即/|J_/2=Z#2=-L

證明如下：設(shè)兩條直線/,與12的傾斜角分別為名與夕2?

如果這時。尸。2?否則%=。2,則/"L與相矛盾.設(shè)<%(如下圖),

(1)(2)(3)

圖(1)的特征是/1與12的交點在x軸上方；圖(2)的特征是4與/2的交點在x軸下方；

圖(3)的特征是4與4的交點在x軸上，無論哪種情況下都有q=9()+a2.

V/,,12的斜率分別是k］,k2，且a戶90°，,a2H?！?

tan=tan(90°+a2)=-----——kx,BPk}k2=-\.反過來,若尢即

tana2k2'k2

左#2=-1?不失一般性，設(shè)尢<0，則tanax=-------=tan(90+<z2)，即a,=90+a2,

tana2

1.求直線的斜率

(1)已知傾斜角求斜率時，若aw9(T,根據(jù)公式左=tana直接計算.當(dāng)傾斜角未給出時，可

根據(jù)直線與其他直線的位置關(guān)系(如平行、垂直等)確定出所求直線的傾斜角，再代入％=tana計

算.

(2)已知兩點求直線的斜率時，首先應(yīng)檢驗兩點的橫坐標(biāo)是否相等.若相等，則斜率不存在；若

不相等，則可用斜率公式％=上&(玉彳/)直接計算.

/一玉

［例I］經(jīng)過兩點A(4,2y+l),B(2,-3)的直線的傾斜?角為45。,則y的值為(A)

A.-1B.-3C.0D.2

【解析】由過兩點的直線的斜率公式可得匕產(chǎn)等f=tan45o=L解得

【例2】已知點M,N的坐標(biāo)分別是(2,-3),(-3,-2),直線/經(jīng)過點P(l,l),且與線段MN相交.

(1)求直線P例與PN的斜率；(2)求直線/的斜率左的取值范圍.

【解析】(1)由題意與斜率公式可知，直線PM與PN的斜率分別為

-3-1-2-1_3

k=-4,k

0PM2-1PN-3-1-4

(2)如圖，直線/相當(dāng)于繞著點P在直線PM與PN間旋轉(zhuǎn)，是過P點且與x軸垂直的直線,

當(dāng)/由PN位置旋轉(zhuǎn)到/位置時，傾斜角增大到90。，又卜04三3，：?k%3.

當(dāng)I從/'位置旋轉(zhuǎn)到PM位置時，傾斜角大于90°,又⑥用=一4,二ZWT.

3

綜上所述，Z:e(-oo,-4]U[—,+oo).

【歸納總結(jié)】求直線的斜率的方法：

(1)定義法.已知直線的傾斜角為明且好90。，則斜率％=tana.

(2)公式法.若直線過兩點4(%,%),8(%,,%),且玉工工2，則斜率女=2二21

々一玉

(3)數(shù)形結(jié)合法.已知一條線段AB的端點及線段外一點P,求過點P的直線/與線段AB有交點

的情況下/的斜率，若直線以,PB的斜率均存在，則步驟為：

①連接玄，PB；②由％=%二幾求出一A次”；

龍2-玉

③結(jié)合圖形即可寫出滿足條件的直線/的斜率的取值范圍.

2.三點共線問題

兩點即可確定一條直線，要證三點共線，只要證過同一點的兩直線的斜率相等即可.用斜率公式

解決三點共線問題時，首先要估測三點中是否任意兩點的連線垂直于x軸，即斜率不存在的情

況.斜率存在的前提下，當(dāng)三點中任意兩點所確定的直線的斜率相等時，三點共線.

【例3】求證：A(-2,-4),8(2,0),C(3,l)三點共線.

[例4]若A(-1,-2),B(4,8),C(5力，且4,8,C三點共線，求x的值.

【解析】由題意，可知直線ABAC的斜率存在,

8-(-2)_x-(-2)

又A,B,C三點共線，則以8=&c,即，解得戶10.

4-(-1)-5-(-1)

3.直線的斜率、傾斜角的應(yīng)用

光的反射問題中，反射角等于入射角，但反射光線所在直線的斜率并不等于入射光線所在直線

的斜率.當(dāng)鏡面水平放置時，上述斜率之間是互為相反數(shù)的關(guān)系.另外，在光的反射問題中也經(jīng)常

使用對稱的方法求解.

［例5］光線從點A(2,l)射到y(tǒng)軸上的點Q,經(jīng))，軸反射后過點8(4,3),試求點Q的坐標(biāo)及

入射光線的斜率.

4.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系

(1)直線的傾斜角a與斜率上的關(guān)系：k=tana(aw90),由直線的傾斜角能求斜率，反過

來，由直線的斜率能求傾斜角.注意傾斜角的取值范圍是0。<a<180。.

(2)在00<a<90。范圍內(nèi)，女>0,且k隨著a的增大而增大;在90。<。<180。范圍內(nèi)，左<(),

且％隨著a的增大而增大.但在0<a<180。范圍內(nèi)，k并不是隨著?的增大而增大的.

【例6】已知直線/的傾斜角范圍為［45。，135。］,求直線/的斜率的范圍.

【解析】應(yīng)進(jìn)行分類討論：

當(dāng)傾斜角a=90。時，/的斜率不存在；

當(dāng)ae［45。,90。)時，/的斜率左=tanae［1,4<o)；

當(dāng)(90。,135。］時，l的斜率k=tanae(-a),-l］.

；./的斜率不存在或斜率々e(-8,-l］UU,+8).

5.兩條直線的平行關(guān)系

在判斷兩條直線是否平行時，首先應(yīng)判斷直線的斜率是否存在，然后根據(jù)斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷，

同時不要漏掉兩條直線重合的情況.

【例7】根據(jù)下列給定的條件，判斷直線4與直線/2是否平行.

(1必經(jīng)過點/(2,1),B(—3,5),b經(jīng)過點C(3,-3),0(8,-7)；

(2為經(jīng)過點E(0,1),F(~2,-1),〃經(jīng)過點G(3,4),HQ,3)；

(3)/i的傾斜角為60。,/2經(jīng)過點M(l,我,N(—2,—2依)；

(4)/1平行于y軸,(經(jīng)過點于0,—2),2(0,5).

6.兩條直線的垂直關(guān)系

判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是

否等于T即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直

線也垂直.

【例8】根據(jù)下列給定的條件，分別判斷直線h與h是否垂直：

(l)/i經(jīng)過點41,3),僅-1,-1),/2經(jīng)過點C(2,l),￡)(4,0);

(2)/i經(jīng)過點￡(-1,3),尸(-1,-5),/2經(jīng)過點6(2,4),"(-1,4);

(3)/＞的傾斜角為30。/經(jīng)過點M(l,小),M2,0)；

(4)Zi經(jīng)過點尸(2,4),。(3,4)/經(jīng)過點R(5,2),S(0,l).

7.根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)

已知兩直線平行或垂直求解參數(shù)的相關(guān)問題時，首先需考慮直線的斜率是否存在，若斜率都存

在，則依據(jù)斜率間的關(guān)系求解；若斜率不存在，則需注意特殊情形.此外，己知兩直線垂直求解

參數(shù)時，還需注意斜率是否為零.

【例9】已知直線4經(jīng)過點A(3,a),B{a-1,2)，直線12經(jīng)過點M(l,2),N(—2,a+2).

(1)若求a的值；(2)若求a的值.

【解析】由題意知直線4的斜率存在且率="+2-2=一4

-2-13

(1)若，則直線/,的斜率也存在，又k=2一"=三，

a-1-3。-4

由A=%得當(dāng)=—解得a=l或a=6.經(jīng)檢驗，當(dāng)a=l或4=6時，

■。一43

(2)若當(dāng)左2=0時，a=0,匕=一;,不符合題意；

當(dāng)匕工0時，直線12的斜率存在且不為0,則直線4的斜率也存在，且k1k,=-1，即—3.上工=-1,

3<2-4

解得。=3或。=-1.經(jīng)檢驗，當(dāng)。=3或a=T時，ly±l2.

【例10】已知點A(-2,-5),8(6,6),點尸在y軸上,且NAPB=90°,則點P的坐標(biāo)為(C)

A.(0,-6)B.(0,7)C.(0,-6)或(0,7)D.(-6,0)或(7,0)

8.兩直線平行和垂直的綜合應(yīng)用

利用直線平行與垂直的條件判斷三角形或四邊形的形狀是常見題型，同時要熟知各種圖形的特

點及判定方法.證明兩直線平行時，僅有斜率相等是不夠的，注意排除兩直線重合的情況.

【例11］已知A(0,l),5(1,0),C(3,2),0(2,3),試判斷四邊形ABCO的形狀.

0-13-22-03-1

【解析】由題意，可得A”=—Lbp=2-2)=-LA'。1MzM=1,

1-03-12-0

/.kAK=kCD,kBC=kIM..\AB//CD,BC//DA.：.四邊形ABCD為平行四邊形.

又kAB-kBC=T，，直線48與BC垂直，即ZABC=90°.：.四邊形ABCD為矩形?

9.求直線的傾斜角時忽略斜率不存在的情況

【例12】求經(jīng)過4〃?，3),8(1,2)兩點的直線的斜率，并指出傾斜角a的取值范圍.

【錯解】由斜率公式可得直線A2的斜率女=二3-2^=——1.

m-\

當(dāng)〃?>1時，k=」一>0,所以直線的傾斜角a的取值范圍是0。<。<90。；

m-1

當(dāng)膽<1時，z=—L<0,所以直線的傾斜角a的取值范圍是9(r<a<180。.

m-1

【錯因分析】利用斜率公式求直線的斜率的條件是“西/馬”.而錯解中沒有考慮膽=1的情況，忽

略了斜率不存在的情況.

【正解】當(dāng)機(jī)=1時，直線AB的斜率不存在，此時直線的傾斜角a=90。.

3-2I

當(dāng)機(jī),1時，由斜率公式可得直線AB的斜率A=-=——，

m-\m-\

當(dāng)m>\時，Z=—!—>0,所以直線的傾斜角a的取值范圍是0。<心<90。；

m-1

當(dāng)時，&=」一<(),所以直線的傾斜角a的取值范圍是90。*<180。.

m-1

10.忽略直線斜率的存在性致錯

【例13】已知4(一加一3,2),8(-2加一4,4),。(-九利),￡)(3,3利+2),若直線45，?！?,求加的

4—223m+2-m2(m+l)

值.【錯解】由斜率公式知，kAB--=-,k=~~-——

-2m-4-(-m-3)-(m+1)cn3-(-m)m+3

即一-——2(〃z+l)=—],解得機(jī)=i,

■:AB.LCD,/.kAB-kCD=-1,

-(m+1)m+3

：.m的值為1.

【錯因分析】漏掉了直線斜率不存在的情況.

【正解】「A］兩點縱坐標(biāo)不相等，.'AB與x軸不平行.

,.,4B_LC￡）,，C￡）與x軸不垂直，一根。3,加工-3.當(dāng)AB與x軸垂直時，一帆-3=-2〃7-4,解得

〃2=-1,而〃2=-1時，C,?？v坐標(biāo)均為一1,則C力〃x軸，此時48J_CO,滿足題意.

2

當(dāng)A8與x軸不垂直時，由斜率公式知，kAII=------------------

AH-2/n-4-（-m-3）-(m4-1)

f3m+2-m2(7n+l),nn22(/n+l)

kcn-----------=--------ABI.CD,I.kAR?kcn=-1,即

CL/3C-(/-7/2)\m+O3/LoCLz-(/n+1)"2+3

解得〃?=1.綜上，機(jī)的值為1或-1.

基礎(chǔ)測試

1.關(guān)于直線的傾斜角與斜率，下列說法正確的是（B）

A.所有的直線都有傾斜角和斜率B.所有的直線都有傾斜角，但不一定都有斜率

C,直線的傾斜角和斜率有時都不存在D.所有的直線都有斜率，但不一定有傾斜角

2.已知直線/經(jīng)過點A（—2,0）與點8（—5,3）,則該直線的傾斜角為（C）

A.150°B.75°C.135°D.45°

3.直線4的斜率為2,lt//l2,直線/2過點（一1,1）,且與y軸交于點P,則P點坐標(biāo)為（D）

A.（3,0）B.（-3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

4.如圖，設(shè)直線/l,h,/3的斜率分別為七，&2,&3,則％,kl,&3的大小關(guān)系為（A）

A.k1<k2<k3B.k]<k3<k2C.k2<k]<k3D.k3<k2<k]

2

5.若直線/經(jīng)過點(a-2,T)和(-4-2,1),且與斜率為-§的直線垂直，則實數(shù)〃的值是(A)

2323

A.---B.---C.-D.一

3232

6.已知4-4,2),2(6,-4),C(12,6),。(2,12),則下面四個結(jié)論：?AB//CD；?ABLAD；③

AC//BD.④ACLBD中正確的個數(shù)為(C)

A.1B.2C.3D.4

7.若/i過點｛見1),8(-3,4),b過點C(0,2),0(1,1),且則加=0.

8.若過點P(1,1),Q(3,2”)的直線的傾斜角為鈍角,則實數(shù)a的取值范圍是(-?),-).

2

9.求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角、直角還是鈍角.

(l)A(O,-1),5(2,0).⑵P(5,-4),Q(2,3).(3)M(3,-4),N(3,-2).

(1)KB=±Q=，，因為心8>0,所以直線AB的傾斜角是銳角-

0-22

-4-37

(2)即°=-----因為依所以直線PQ的傾斜角是鈍角.

5—23

(3)因為XM=XN=3,所以直線MN的斜率不存在，其傾斜角為直角.

10.當(dāng)機(jī)為何值時，過A(l,1),8(2%2+1,m-2)兩點的直線：

(1)傾斜角為135。；(2)與過兩點(3,2),(0,-7)的直線垂直；

(3)與過兩點(2,-3),(-4,9)的直線平行？

11.己知A(l,5),B(-l,1),C(3,2),若四邊形ABC。是平行四邊形，求。點的坐標(biāo).