2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第八章8.4　直線、平面平行的判定與性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與______的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的______與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條____________與另一個平面平行，則這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?β∥α性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面____，那么它們的____平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個平面．()(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.()(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線也相互平行．()教材改編題1．平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α2．已知α，β是兩個不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為______．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點．求證：BE∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD為長方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點．設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點F，使EF∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華解決面面平行問題的關(guān)鍵點(1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點．(1)當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個平面．(×)(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線也相互平行．(×)教材改編題1．平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，排除C.2．已知α，β是兩個不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l答案D解析對于A，若l∥m，l∥β，則m∥β或m?β，A錯誤；對于B，若α∥β，m?α，l?β，則m∥l或l，m異面，B錯誤；對于C，若m⊥α，l⊥m，則l∥α或l?α，C錯誤；對于D，由線面平行的性質(zhì)知正確．3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為______．答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點．求證：BE∥平面PAD.證明方法一如圖，取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法二如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點，又E為PC的中點，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法三如圖，取CD的中點H，連接BH，HE，∵E為PC的中點，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD為長方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點．設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.證明(1)取PB中點G，連接FG，EG，因為點F為PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC，因為四邊形ABCD為長方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE，因為DF?平面PBE，GE?平面PBE，所以DF∥平面PBE；(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點F，使EF∥平面PAD.解如圖，在平面PCD內(nèi)，過點E作EG∥CD交PD于點G，連接AG，在AB上取點F，使AF＝EG，因為EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四邊形FEGA為平行四邊形，所以EF∥AG.又AG?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以點F即為所求的點．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.設(shè)PA＝x，則PC＝eq\r(2a2＋x2)，由PB·BC＝PC·BE，得eq\r(a2＋x2)·a＝eq\r(2a2＋x2)·eq\f(\r(6),3)a，所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝eq\r(3)a.又CE＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))2)＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(GE,CD)＝eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，即GE＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)a，所以AF＝eq\f(2,3)a.故點F是AB上靠近B點的一個三等分點．思維升華解決面面平行問題的關(guān)鍵點(1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點．(1)當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解(1)當eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.如圖，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點．在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.課時精練1.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點，若EF∥平面PBC，則()A．EF∥PAB．EF∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能答案B解析由線面平行的性質(zhì)定理可知EF∥PB.2．已知三條互不相同的直線l，m，n和三個互不相同的平面α，β，γ，現(xiàn)給出下列三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為()A．3B．2C．1D．0答案C解析對于①，兩條異面直線分別在兩個平面內(nèi)，這兩個平面可能平行，也可能相交，故①錯誤；對于②，兩個平行平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線的位置關(guān)系是平行或異面，故②錯誤；對于③，因為l∥γ，l?α，α∩γ＝n，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正確，因此真命題的個數(shù)為1.3.在如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．5．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案D解析對于A選項，由正方體性質(zhì)可知AB∥NQ，因為NQ?平面MNQ，AB?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，故排除A；對于B，C選項，由正方體性質(zhì)可知AB∥MQ，因為MQ?平面MNQ，AB?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，故排除B，C；對于D選項，由正方體性質(zhì)易知，直線AB與平面MNQ不平行．6.(2023·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)，則()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四邊形MNEF為平行四邊形D．四邊形MNEF為梯形答案D解析由于B，E，F(xiàn)三點共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，故A1B1，NE為異面直線，故B錯誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確．7.如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，則AC的長為________cm.答案eq\f(7,2)解析過點D作直線AB的平行線分別交平面β與平面γ于點M，N，連接AD，BM，CN，ME，NF，如圖所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DE,EF)，因為AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，所以eq\f(2,BC)＝eq\f(4,3)，解得BC＝eq\f(3,2)cm，所以AC＝AB＋BC＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2)(cm)．8.如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.則四邊形EFGH的形狀為________．答案矩形解析因為CD∥平面EFGH，CD?平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．又因為CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四邊形EFGH為矩形．9.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，設(shè)DF與GN的交點為O，連接AE，則AE必過點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.10．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足為P，將△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，連接AD，AC，M為棱AD的中點，連接CM.試分別在BP，CD上確定點E，F(xiàn)，使平面MEF∥平面ABC.解E，F(xiàn)分別為BP，CD的中點時，可使平面MEF∥平面ABC，證明如下：如圖，取BP的中點E，CD的中點F，連接ME，MF，EF.∵M，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，∴MF∥AC.∵MF?平面ABC，AC?平面ABC，∴MF∥平面ABC，又E為BP的中點，且四邊形PBCD為梯形，∴EF∥BC.∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，∴EF∥平面ABC，∵MF∩EF＝F，MF，EF?平面MEF，∴平面MEF∥平面ABC.11.如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個結(jié)論，其中不正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在的平面平行D．當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值答案B解析由題圖，顯然A是正確的，B是錯誤的；對于C，因為A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG?平面EFGH，A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正確的；因為水是定量的(定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D是正確的．12.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點E是線段AB的中點，點F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點H，則線段CH的長度為()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)答案C解析∵PD與平面CEF交于點H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，過點H作HM∥PA交AD于點M，連接CM，如圖所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM.∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中點，則H為PD的中點，∴CH＝eq\r(CM2＋MH2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).13.如圖，在正方體A