高中數(shù)學(xué)選3-77.1~7.3綜合拔高練

7.1~7.3綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1.（2020課標(biāo)全國III理,3,5分,#,）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為

4

PBP2,P3,P4,且￡P(guān).=l,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）

1=1

A.p尸Pa=o.1,P2=P3=O.4B.p尸Pa=o.4,P2=P：；=O.1

C.pi=p,i=0.2,p2=P3=0.3D.pi=p,i=0.3,p2=p：（=0.2

2.（2019北京，17,13分,*?）改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年

來,移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付

方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式

都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額（元）支付方

(0,1000](1000,2000]大于2000

式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（D從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概

率；

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)

月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,

隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)

為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.

3.(2019課標(biāo)全國I,21,12分,")為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望

知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對

藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的

治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的

白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約

定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1

分，乙藥得T分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分,

甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分

別記為a和8,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,p,(i=O,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得

分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=O,p8=l,Pi=aPl-

i+bpi+cpi”(i=l,2,…，7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)

a=0.5,6=0.8.

⑴證明：｛p"「pj(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求即并根據(jù)pi的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2020福建福州一中高二下適應(yīng)性考試,的從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),

事件A表示“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B表示“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶

數(shù)”，則P(B|A)=()

2.（2020重慶巴蜀中學(xué)高二下月考,*已知A學(xué)校有15位數(shù)學(xué)老師,其中9位男

老師,6位女老師,B學(xué)校有10位數(shù)學(xué)老師,其中3位男老師,7位女老師,為了實(shí)現(xiàn)

師資均衡,現(xiàn)從A學(xué)校任意抽取一位數(shù)學(xué)老師到B學(xué)校,然后從B學(xué)校隨機(jī)抽取一

位數(shù)學(xué)老師到市里上公開課,則兩次都抽到男老師的概率是（）

AA.—9nB.—12

5555

C.-D.-

1150

3.（2020山東淄博桓臺(tái)一中高二下期中,#7）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-101

111

P———

236

且Y=aX+3,E（Y）=*則a=.

4.（2020河北邯鄲第一中學(xué)高二期中，*設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率為5%,即

若用A表示驗(yàn)血為陽性,B表示受驗(yàn)者患病,則P（HB）=P（A厄）=0.05.若受檢人群

中有0.5%患此病，即P（B）=0.005,則一個(gè)驗(yàn)血為陽性的人確患此病的概率

為.

5.（2020河北滄州一中高二下月考,"）依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點(diǎn)的

歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水

位與災(zāi)害等級的條形圖如圖乙所示.

圖甲

(1)以此頻率作為概率,試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；

(2)在8月份,該河流域某企業(yè)若沒受1、2級災(zāi)害影響，則利潤為500萬元;若受1

級災(zāi)害影響，則虧損100萬元;若受2級災(zāi)害影響，則虧損1000萬元.

現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：

方案防控等級費(fèi)用(單位:萬元)

方案一無措施0

方案二防控1級災(zāi)害40

方案三防控2級災(zāi)害100

試問，如僅從利潤考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.

6.(2020山東濟(jì)寧一中高三下質(zhì)量檢測,")某班級體育課進(jìn)行一次定點(diǎn)投籃測試，

規(guī)定每人最多投3次,每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.在A處每投進(jìn)一球得3分，在B

處每投進(jìn)一球得2分,否則得0分.將學(xué)生得分逐次累加并用X表示,如果X的值

不低于3就判定為通過測試,立即停止投籃,否則繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.現(xiàn)

有兩種投籃方案:方案1,先在A處投一球，以后都在B處投;方案2,都在B處投籃

已知甲同學(xué)在A處投籃的命中率為:在B處投籃的命中率為占

(1)若甲同學(xué)選擇方案1,求他測試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大?說明理由.

遷移創(chuàng)新

7.(2020江西瑞金四校高三第三次聯(lián)考,")2020年新冠肺炎給世界人民帶來了巨

大的災(zāi)難,面對新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早報(bào)告、早隔離、早診斷、早治療是有效防控

疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對55位居民是否患有新冠肺炎進(jìn)行篩查,先到

社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行咽拭子核酸檢測,檢測結(jié)果呈陽性者,再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查，已

知這55位居民隨機(jī)一人其咽拭子核酸檢測結(jié)果呈陽性的概率為2%且每個(gè)人的咽

拭子核酸檢測是否呈陽性相互獨(dú)立.

(1)假設(shè)患新冠肺炎的概率是0.3%且患病者咽拭子核酸檢測呈陽性的概率為98%,

設(shè)這55位居民中有一位的咽拭子核酸檢測呈陽性,求該居民可以確診為新冠肺炎

患者的概率；

(2)假設(shè)咽拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量,具體操作如下:將55

位居民分成若干組,先取每組居民的咽拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測,若結(jié)果顯示陰

性,則可斷定本組居民沒有患病,不必再檢測;若結(jié)果顯示陽性,則說明本組中至少

有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測,現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：

方案一:將55位居民分成11組,每組5人；

方案二:將55位居民分成5組,每組11人.

試分析哪一個(gè)方案的工作量更少.

(參考數(shù)據(jù)：0.98—0.904,0.98"^0,801)

答案全解全析

7.T7.3綜合拔高練

五年高考練

44

1.B根據(jù)均值E(X)=Ex,p“方差D(X)=￡[x[E(X)]2p,以及方差與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系,

i=li=l

得各選項(xiàng)對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差如下表.

標(biāo)準(zhǔn)差

選項(xiàng)均值E(X)方差D(X)

JD(X)

A2.50.65VO.65

B2.51.8571.85

C2.51.0541.05

D2.51.45Vl.45

由此可知選項(xiàng)B對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大,故選B.

2.解析(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生

有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.

故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的

概率為喘=0.4.

(2)X的可能取值為0,1,2.

記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額

大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)

月的支付金額大于1000元”.

由題設(shè)知,事件C,D相互獨(dú)立,且P(0=^=0.4,P(D)上祟=0.6.

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=1)=P(CDUCD)

=P(C)P(萬)+P(C)P(D)

=0.4X(1-0.6)+(l-0.4)X0.6=0.52,

P(X=0)=P(CD)-P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列為

X012

P0.240.520.24

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X0.24+1X0.52+2X0.24=1.

(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都

大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，

則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=嵩=*.

答案示例1:可以認(rèn)為有變化.

理由如下：

P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的

支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化,所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2:無法確定有沒有變化.

理由如下：

事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的,所以無法

確定有沒有變化.

3.解析(1)X的可能取值為-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B,

P(X=0)=a8+(l-a)(1-。),

P(X=l)=a(1-B).

所以X的分布列為

X-101

P(1-a)PaB+(1-a)(1-B)a(1-0)

(2)(i)證明：由⑴得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=O.4pi-,+0.5P,+0.lpi+i,

故0.1(pi.,-pi)=o.4(pj-pi-i),

即pi+i-pi=4(pi-pi^).

又因?yàn)閜-po=Pi^O,

所以｛Pirpj(i=0,1,2,…,7)是公比為4,首項(xiàng)為pi的等比數(shù)列.

(ii)由(i)可得P8=P8-P7+P7-P6+—+p-po+po=(P8-P7)+(P7-P6)+―+(P>-Po)=—Pl-

由于Ps=l,故Pi=-^-,

4b-l

所以Pi=(pt-p3)+(P3-P2)+(P2-P1)+(P「PO)=一P尸擊.

Pl表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙

藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為p,=言-0.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論

的概率非常小,說明這種試驗(yàn)方案合理.

三年模擬練

1.B依題意P(A)=^==|,P(AB)q|W，故P(B|A)=^4§故選B.

L?s1UbC?5lui\/l/-4

2.B設(shè)“從A學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)老師是男老師”為事件M,“從B學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)

老師是男老師”為事件N,

則由題意可知P(M)《=|,

P(N|M)=—=—,

10+111

則兩次都抽到男老師的概率P(MN)=P(M)P(N|M)=|x±=i|.

故選B.

3.答案4

解析：E(X)=-1X三+0X三+1Xi=-i,Y=aX+3,

2363

.\E(Y)=aE(X)+3=|,

即-1a+3=|,解得a=4.

4.答案短

解析P(B|A)

_P(B)P(AB)_______

P(8)P(aIB)+P(B)P(A|B)

________0.005X0.95________19

0.005X0.95+0.995X0.05218,

5.解析⑴依據(jù)題圖甲，記該河流8月份“水位小于40米”為事件A”“水位在

40米至50米之間”為事件A2,“水位大于50米”為事件A3,

則P(A,)=(0.02+0.05+0.06)X5=0.65,

P(A2)=(0.04+0.02)X5=0.30,

P(A：J=0.01X5=0.05.

記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件B”“水位在40米至50

米之間且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件B2,“水位大于50米且發(fā)生1級災(zāi)害”為事件B%

貝！IP(B)=0.10,P(B2)=0.20,P(B3)=0.60.

記“該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害”為事件B,則

P(B)=P(AB)+P(AB)+P(A3B3)=P(AJP(Bi)+P(A2)P(B2)+P(A：S)P(B：s)

=0.65X0.10+0.30X0.20+0.05X0.60=0.155.

故估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率為0.155.

(2)以企業(yè)利潤為隨機(jī)變量，

若選擇方案一,則利潤X,的可能取值為500,-100,-1000,由(1)知

P(X1=500)=0.65X0.90+0.30X0.75+0.05X0=0.81,

P(Xt=-100)=0.155,

P(Xt=-l000)=0.65X0+0.30X0.05+0.05X0.40=0.035.

故X1的分布列為

X,500-100-1000

P0.810.1550.035

則該企業(yè)在8月份的利潤期望E(XJ=500X0.81+(-100)X0.155+(-1

000)X0.035=354.5.

若選擇方案二，則利潤X2的可能取值為460,7040,由(1)知，

P(X2=460)=0.81+0.155=0.965,

P(X2=-1040)=0.035.

故X?的分布列為

X2460-1040

P0.9650.035

則該企業(yè)在8月份的利潤期望E(Xz)=460X0.965+(-1040)X0.035=407.5.

若選擇方案三,則該企業(yè)在8月份的利潤期望E(X3)-500-100=400.

因?yàn)镋(X2)>E(XJ〉E(XJ,所以該企業(yè)應(yīng)選擇方案二.

6.解析(1)設(shè)甲同學(xué)在A處投中為事件A,在B處第i次投中為事件Bi(i=l,2),

則P(A)="P(Bi)W.

45

X的可能取值為0,2,3,4,

P(X=0)=P=P(A)P(Bi)?P(B2)=|X|X|^,

P(x=2)=PUBJ)+P(近小2)=^-x-x-+-x-x絲2,

245545525

P(X=3)=P(A)=±

4

P(X=4)=PUB,B,)=-X-X

45525

故X的分布列為

X0234

p36112

10025425

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X—+2X-+3xi+4X-=—=3.15.

10025425100

(2)設(shè)甲同學(xué)選擇方案1