高考高中數(shù)學(xué)必考?jí)狠S題答題模板及例題詳解

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高考高中數(shù)學(xué)必考?jí)狠S題答題模板及例題詳解

第2講

【模板特征概述】

數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類(lèi)重要題型，通常是高考的把關(guān)題

和壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能.目前的高考解答題已經(jīng)由單

純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力的綜合型解答題.在高考考場(chǎng)上,

能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵，因此，在高考備考中學(xué)會(huì)怎樣解題,

是一項(xiàng)重要的內(nèi)容.本節(jié)以著名數(shù)學(xué)家波利亞的《怎樣解題》為理論依據(jù),

結(jié)合具體的題目類(lèi)型，來(lái)談一談解答數(shù)學(xué)解答題的一般思維過(guò)程、解題程

序和答題格式，即所謂的“答題模板”.

“答題模板”就是首先把高考試題納入某一類(lèi)型，把數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)

程劃分為一個(gè)個(gè)小題，按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整

為零.強(qiáng)調(diào)解題程序化，答題格式化，在最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問(wèn)題的最

佳方案，實(shí)現(xiàn)答題效率的瓊優(yōu)化.

第2講

構(gòu)建答題模板

模板1三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值問(wèn)題

【例11已知函數(shù)/(x)=2cosx?

sinlx+^sin2x+sinxcosx+1.

(1)求函數(shù)人")的最小正周期；

(2)求函數(shù)作)的最大值及最小值；

(3)寫(xiě)出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

審題路線(xiàn)圖不同角化同角f降解擴(kuò)角f化fix)=NsinQx+(p)

+//f結(jié)合性質(zhì)求解.

規(guī)范解答

第2講

解=2cosx-sinx+cosx-V3sin2x+sinx-cosx+1

=2sinxcosx+A/3(COS2X-sin2x)+1

=sin2x+\/3cos2x+1

n

=2sin2x+T

（1）函數(shù)?r）的最小正周期為彳=?r.

-1Wsin2x+T,

(2)V(J

:.-1^2sin2A-+?+1<3.

TTTT,

.二當(dāng)2x+§=$+2E,左￡Z,即K=夜+女兀，左￡Z時(shí)，?v）取得最大值3;

兀7T5兀1

當(dāng)2x+^=-2+2kjt,左GZ,即工=-五+左兀，左￡Z時(shí)，於）取得最小值-1

第2講

(3)由一不+2ATT〈2X++2上兀,kb

得一等++力兀，氏GZ.

JL/JL/

???函數(shù)上)的單調(diào)遞增區(qū)間為

57r.7T.1.

-TT+kn,TT+ZOT(〃￡Z).

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成衛(wèi)=

/lsin(wx+(p)+h的形式或y=/cos3x+(/))+h的形式.

如：/(x)=2sin2x+j+1.

第二步：根據(jù)人工)的表達(dá)式求其周期、最值.

第三步：由sin工、cosx的單調(diào)性，將+看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)

化為解不等式問(wèn)題.

第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

第2講

模板2與平面向量綜合的三角函數(shù)問(wèn)題

【例2】已知向量。=(cosy,siny),/>=(—sinp—cos》其中

工仁生，7r.

(1)若|“+b|=,,求x的值；

(2)函數(shù)八》=〃山+|°+。2,若c>/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

審題路線(xiàn)圖(1)|。+b\=A/3-*A2+lab+〃=3-*三角方程一求不.

(2)化fix)向量表示式為三角表達(dá)式一化簡(jiǎn)fix)=/sin?x+(/>)+

h-\/(x)max-**C^/(X)niax.

規(guī)范解答

解(1)Vt7+/?=(cosy-sinI，siny-cos|),

\a+b\=yjcos苧-sin野+giny-cos曾

=，2-2sin2t,

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：根據(jù)向量運(yùn)算將向量式轉(zhuǎn)化為三角式；

第二步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，一般化為y=4sin（s，+夕）+〃的形式；

第三步：解三角方程或求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值；

第四步：明確規(guī)范地寫(xiě)出答案；

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.如本題的易

錯(cuò)點(diǎn)為易忽略匯￡去兀這一條件.

第2講

模板3由數(shù)列的前〃項(xiàng)和用與通項(xiàng)〃“的關(guān)系求通項(xiàng)明

[例3]已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,〃尸1,斯十i=2S“+l(〃eN"),

等差數(shù)列｛瓦J中，^>O(/teN*),且兒+岳+必=15,又可+仇、

恁+慶、/+岳成等比數(shù)列.

Q)求數(shù)列｛%｝、｛小｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛明協(xié)“｝的前〃項(xiàng)和Tn.

第2講

第2講

規(guī)范解答

解(1)丁%=1,即+i=2S〃+l(〃￡N*),

；?冊(cè)=25”-i+1(〃￡N二九22),

??%+i—=2(S“—Sn-1)5即時(shí)+1—?！?2〃“，

=

，斯+i=3?！?〃￡N*,〃22).而。2=2〃I+1=3,/.?23?i.

???數(shù)列｛斯｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

工〃”=3"1(〃￡N)./.?!=1,。2=3,〃3=9,

在等差數(shù)列出〃｝中，???仇+岳+仇=15,???必=5.

又??Zi+M?+劣、的+優(yōu)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列出〃｝的公差為d

則有3+瓦)3+優(yōu))=Q+①丫.

A(1+5-4(9+5+m=64,解得d=-10或d=2,

VZ)?>0(wGN*),I.舍去。=-10,取d=2,

=3,.??，［=2/+1(〃￡N").

第2講

(2)由(1)知7；=3義1+5X3+7X32+…+(2n-l)3n-2+(2n+

①

???37；=3X3+5X3?+7X33+…+(2n-l)3n-1+(2n+1)3”,②

二①一②得一27；=3X1+2X3+2X32+2X33+???+2X3〃T-

(2n+1)3〃

=3+2(3+32+33+…+3”T)-(2n+1)3〃

3-3”

=3+-(In+1)3"=3"-(2n+1)3"=-2/r3〃，

/?Tn=nB".

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：令〃=1,由Sn=/(〃”)求出樂(lè).

第二步：令〃22,構(gòu)造〃“=S〃-S.1，用即代換S〃-S〃-I(或用S

S〃一I代換恁，這要結(jié)合題目特點(diǎn))，由遞推關(guān)系求通項(xiàng).

第三步：驗(yàn)證當(dāng)H=1時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)心2時(shí)的結(jié)論.

如果適合，則統(tǒng)一“合寫(xiě)”；如果不適合，則應(yīng)分段表示.

第四步：寫(xiě)出明確規(guī)范的答案.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.本題的易錯(cuò)點(diǎn),

易忽略對(duì)n=l和n>2分兩類(lèi)進(jìn)行討論，同時(shí)忽視結(jié)論中對(duì)二者的合并.

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：利用條件求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.

第二步：寫(xiě)出1rt=必+必+???+bn的表達(dá)式.

第三步：分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.（例如：公式法、

裂項(xiàng)法，本題用錯(cuò)位相減法）.

第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題中在

求廝時(shí)，易忽視對(duì)〃=1,勿22時(shí)的討論.

第2講

模板5立體幾何中的基本關(guān)系與基本景問(wèn)題

【例5】在如圖所示的空間幾何體中，平面4CDJ_平面AB=

BC=CA=DA=DC=BE=2fBE和平面ABC所成的角為60°,

且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在N4BC的平分線(xiàn)上.

(1)求證：刀E〃平面4BC；

(2)求多面體/笈CDE的體積.

審題路線(xiàn)圖在平面ABC內(nèi)作輔助線(xiàn)。尸一證明OE〃。尸將多

面體4BCDE分割f分別求兩個(gè)三棱錐體積之和.

第2講

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：畫(huà)出必要的輔助線(xiàn)，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化.

第二步：寫(xiě)出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分.

第三步：明確寫(xiě)出所證結(jié)論.

第四步：對(duì)幾何體進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化（分割或拼補(bǔ)）.

第五步：分別計(jì)算幾何體的體積并求和.

第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范.

第2講

模板6空間角或空間距離問(wèn)題

【例6】如圖，在七面體4BCDMN中，四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為2

的正方形，M)_L平面ABCDf平面ABCD,且MD=29

NB=1,MB與ND交于尸點(diǎn).

(1)在棱48上找一點(diǎn)Q,使。尸〃平面力MD,并給出證明

(2)求平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值.

第2講

證明：?.?MD_L平面4BCZ>,NB_L平面N8CD,：,MD//NB.

.BPNB1^QB1

,,麗=礪=5?又=1

.QB=BP

?Q一尸M

/.在/\MAB中，QP//AM.

又Q尸(Z面加〃)，力MU面4ATO,

???QP〃面AMD.

(2)

以。4、DC、DM所在直線(xiàn)分別為；v軸，＞軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系如圖，

第2講

則刀(0,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,l).

/.O/=(0,-2,2),示=(2,0,1),DC=(0,2,0).

設(shè)平面CMN的法向量為〃i=(x,p,z).

2y+2z

則］_

771K=0.2x+z=0.

取XH1,/.7?1-=(1,-2,-2).

又NBL平面ABCD,:?NBLDC,又DC1,BC.

"CJ_平面BNC.

???平面BNC的法向量小m虎=(0,2,0),

-42

cos

(人m>=|同網(wǎng)-3X2~"3,

第2講

第2講

構(gòu)建答題模板第一步：作出（或找出）具有公共交點(diǎn)的三條相互垂直

的直線(xiàn).

第二步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出特殊點(diǎn)坐標(biāo).

第三步：求（或找）兩個(gè)半平面的法向量.

第四步：求法向量〃1，如的夾角或COS〈小，“2〉（若為銳二面角則求

|cos〃2〉I）-

第五步：將法向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角的夾角.

第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題求得

COS〈〃1，=-弓后易答當(dāng)二面角的余弦值為-，而出錯(cuò)，一定要

注意這一點(diǎn).

第2講

模板7解析幾何中的探索性問(wèn)題

［例7］已知定點(diǎn)。(一1,0)及橢圓f+3/=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)與

橢圓相交于4,8兩點(diǎn).

(1)若線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是:,求直線(xiàn)的方程;

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)使曲而為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)

M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

審題路線(xiàn)圖設(shè)的方程j，=A(x+l)f待定系數(shù)法求寫(xiě)出

方程;設(shè)M存在即為(町0)-求疝?/笳一在疝?濃為常數(shù)的條件

下求m.

第2講

規(guī)范解答

解(1)依題意，直線(xiàn)"的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)N3的方程為

y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x2+3j，=5,