2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)2.1直線的傾斜角與斜率、直線的方程-(選擇性必修第一冊(cè))(學(xué)生版+解析)

直線的傾斜角與斜率、直線的方程知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定α=0(2)范圍α∈[0°,180°).2直線的斜率(1)定義直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，記作k=tanα(α≠90當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，α=0°當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，α=90(2)傾斜角α與斜率k之間的關(guān)系k=tanα，α∈[0如左圖，當(dāng)α∈[0°,右圖中斜率為k1,k2的直線對(duì)應(yīng)的傾斜角為α1如左圖，當(dāng)α∈(90°,右圖中斜率為k3,k其中π2<α(簡(jiǎn)而言之，斜率大小看傾斜角，直線越陡斜率絕對(duì)值|k|越大)(3)斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(使用斜率公式的時(shí)候要注意x1(4)求斜率的方法(1)已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式k==y(2)已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)根據(jù)k=tanα(α≠90(5)利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法已知A(x若x1=x2=知識(shí)點(diǎn)2直線的方程1直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng)?(x1k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk為斜率b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)?經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1,y不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式xa是直線在x軸上的非零截距

b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A,B,C為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何

位置的直線2易錯(cuò)點(diǎn)(1)利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.(2)截距與距離的區(qū)別：截距的值有正、負(fù)、零.距離的值是非負(fù)數(shù).(3)用截距式方程表示直線時(shí)，要注意方程的條件限制為兩個(gè)截距均不能為零.【題型一】直線的傾斜角與斜率的關(guān)系【典題1】已知直線過(guò)A(3,m+1),B(4,2m+1)兩點(diǎn)且傾斜角為56π，則m的值為.【典題2】直線x+ycosθ?5=0的傾斜角α的取值范圍是.【典題3】設(shè)點(diǎn)A(2,?3)，B(?3,?2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍為.鞏固練習(xí)1(★)下列敘述正確的是()A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率 B．直線傾斜角α的取值范圍是0°C．若一條直線的傾斜角為α(α≠90°)D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或2(★)若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2)，B(?m,2m?1)且傾斜角為45°，則m的值為.3(★★)已知在直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC中A與原點(diǎn)重合，若AB的斜率為32，則BC的斜率可能為4(★★)已知θ∈R，則直線xsinθ?3y+1=0的傾斜角的取值范圍是5(★★)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(3,t2)，(?2≤t≤6(★★★)已知兩點(diǎn)A(?3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是.7(★★★)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，已知A(2,4),B(5,?2)，則y+1x+1的取值范圍是【題型二】求直線方程【典題1】根據(jù)所給條件求直線方程(1)直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)，傾斜角α的正弦值為35(2)直線過(guò)點(diǎn)A(1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8；(3)直線過(guò)點(diǎn)A(2,4)，B(?2,8).【典題2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,2)，B(?2,0)，C(1,0)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為，直線FH的一般式方程為．鞏固練習(xí)1(★)【多選題】下列說(shuō)法中，正確的有()A．過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0B．直線y=3x?2在y軸上的截距為?2 C．直線x?3y+1=0的傾斜角為D．過(guò)點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90°的直線方程為2(★)【多選題】下列有關(guān)直線l：x+my?1=0(m∈R)的說(shuō)法中不正確的是()A．直線l的斜率為?m B．直線l的斜率為?1C．直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1) D．直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)3(★)已知直線mx+3y?12=0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為.4(★★)若直線過(guò)點(diǎn)(1,1)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線有條.5(★★)已知等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(4,0)，且第三個(gè)頂點(diǎn)在第四象限，則BC邊所在的直線方程是.【題型三】直線方程的綜合運(yùn)用【典題1】設(shè)直線l：3+2λx+4+λ(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)M，并求出定點(diǎn)M坐標(biāo)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(3)設(shè)直線l與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A,B，求當(dāng)|MA||MB|(點(diǎn)M為(1)中的定點(diǎn))取得最小值時(shí)直線l【典題2】如圖，將一塊等腰直角三角板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點(diǎn)P(12,14)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中部分(△POB(1)求直線MN的斜率的取值范圍；(2)若P點(diǎn)滿足MP=13PN，這樣的直線(3)如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積取得最大值和最小值？并求出最值．鞏固練習(xí)1(★★)已知直線l的方程為：(2+m)x+(1?2m)y+(4?3m)=0．(1)求證：不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；(2)過(guò)點(diǎn)M引直線l1，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求l2(★★★)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)．(1)若直線l在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程；(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)．當(dāng)PA2+PB3(★★★)如圖，射線OA,OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30°，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l分別交OA，OB于點(diǎn)(1)當(dāng)線段AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求l的方程；(2)當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線y=x2上時(shí)，求4(★★★)已知直線l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．5(★★★)在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x?y=0(x≥0)，過(guò)點(diǎn)P(3,1)作直線分別交射線OA，x軸正半軸于點(diǎn)A、B．(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程；(2)求PA?PB的最小值．直線的傾斜角與斜率、直線的方程知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定α=0(2)范圍α∈[0°,180°).2直線的斜率(1)定義直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，記作k=tanα(α≠90當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，α=0°當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，α=90(2)傾斜角α與斜率k之間的關(guān)系k=tanα，α∈[0如左圖，當(dāng)α∈[0°,右圖中斜率為k1,k2的直線對(duì)應(yīng)的傾斜角為α1如左圖，當(dāng)α∈(90°,右圖中斜率為k3,k其中π2<α(簡(jiǎn)而言之，斜率大小看傾斜角，直線越陡斜率絕對(duì)值|k|越大)(3)斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(使用斜率公式的時(shí)候要注意x1(4)求斜率的方法(1)已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式k==y(2)已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)根據(jù)k=tanα(α≠90(5)利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法已知A(x若x1=x2=知識(shí)點(diǎn)2直線的方程1直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng)?(x1k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk為斜率b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)?經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1,y不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式xa是直線在x軸上的非零截距

b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A,B,C為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何

位置的直線2易錯(cuò)點(diǎn)(1)利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.(2)截距與距離的區(qū)別：截距的值有正、負(fù)、零.距離的值是非負(fù)數(shù).(3)用截距式方程表示直線時(shí)，要注意方程的條件限制為兩個(gè)截距均不能為零.【題型一】直線的傾斜角與斜率的關(guān)系【典題1】已知直線過(guò)A(3,m+1),B(4,2m+1)兩點(diǎn)且傾斜角為56π，則m的值為【解析】因直線AB的傾斜角為56π，則其斜率k=tan5又由A(3,m+1)，B(4,2m+1)，則AB的斜率k=(2m+1)?(m+1)則有m=?3【點(diǎn)撥】求斜率有兩種方法:k=tanα與斜率公式k=y【典題2】直線x+ycosθ?5=0的傾斜角α的取值范圍是.【解析】(直線一般式ax+by+c=0(b≠0)化為斜截式可知斜率k=?ab若cosθ=0，則直線方程為x=5，即傾斜角α=π若cosθ≠0，則直線方程為y=?1cosθx+∵cosθ∈?1,0∪0,1，∴?即tanα≤?1或tanα≥1，解得α∈[π4,綜上可得α∈[π【典題3】設(shè)點(diǎn)A(2,?3)，B(?3,?2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍為.【解析】如圖所示，設(shè)直線l與線段AB交于點(diǎn)C，當(dāng)PC⊥x軸時(shí)直線l與線段AB交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，斜率k滿足k≥k當(dāng)點(diǎn)C在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，k≤k即k≥1+21+3=34或k≤即直線的斜率的取值范圍是[3【點(diǎn)撥】①注意理解直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系與斜率大小的比較方法，結(jié)合圖象思考；②注意到直線l與x軸垂直的臨界處.鞏固練習(xí)1(★)下列敘述正確的是()A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率 B．直線傾斜角α的取值范圍是0°C．若一條直線的傾斜角為α(α≠90°)D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或【答案】BCD【解析】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角，但不一定有斜率，故A錯(cuò)誤．由于直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180若一條直線的傾斜角為α(α≠90°)，則此直線的斜率為tanα與x軸垂直的直線的傾斜角是90°，與y軸垂直的直線的傾斜角是0°，故故選：BCD．2(★)若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2)，B(?m,2m?1)且傾斜角為45°，則m的值為.【答案】34 【解析】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2)，B(－m,2m－1)的直線的斜率為k=2m?1?2?m?m又直線的傾斜角為45°，∴2m?1?2?m?m=tan45°=1，即m=3(★★)已知在直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC中A與原點(diǎn)重合，若AB的斜率為32，則BC的斜率可能為【答案】?3【解析】設(shè)AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，則β=α+π3或β=2π當(dāng)β=α+π3時(shí)，當(dāng)β=2π3+α4(★★)已知θ∈R，則直線xsinθ?3y+1=0的傾斜角的取值范圍是【答案】[0,π【解析】如圖所示，由A(3,2)，可得斜率kPA=1?2因?yàn)橹本€l與線段AB相交，所以直線l的傾斜角的取值范圍是[0,π65(★★)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(3,t2)，(?2≤t≤【答案】[0,【解析】∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(3，t∴k∵?2≤t≤則t2設(shè)直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，則tanθ∈[－1，1]，得θ∈[0，6(★★★)已知兩點(diǎn)A(?3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是.【答案】[－1,1]【解析】∵點(diǎn)A(－3,4),B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kPB或∵PA的斜率為4?0?3?1=－1，PB的斜率為∴直線l的斜率k≥1或k≤－1，故選：D7(★★★)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，已知A(2,4),B(5,?2)，則y+1x+1的取值范圍是【答案】[?16，【解析】如圖：y+1x+1表示線段上的點(diǎn)與C(－1,－1)連線的斜率，∴kAC則y+1x+1的取值范圍是[?16，53【題型二】求直線方程【典題1】根據(jù)所給條件求直線方程(1)直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)，傾斜角α的正弦值為35(2)直線過(guò)點(diǎn)A(1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8；(3)直線過(guò)點(diǎn)A(2,4)，B(?2,8).【解析】(1)∵sinα=35，則直線方程為y?2=±3即3x?4y+5=0或3x+4y?11=0.(2)(x、y軸上的截距都涉及到，優(yōu)先考慮截距式)依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為0，可設(shè)直線方程為xm代入點(diǎn)A(1,3)，可得1m+38?m=1所以所求直線方程為x2+y即所求直線方程為3x+y?6=0或(3)(已知直線過(guò)兩點(diǎn)，可先求出斜率再用點(diǎn)斜式)直線斜率k=4?8則所求直線方程為y?4=?(x?2)，整理得x+y?6=0【點(diǎn)撥】①求直線方程的時(shí)，要注意各種形式的限制條件；②往往可以多種方法求解，注意最優(yōu)解.【典題2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,2)，B(?2,0)，C(1,0)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為，直線FH的一般式方程為．【解析】(求點(diǎn)H坐標(biāo)相當(dāng)求點(diǎn)H到x、y軸距離，用幾何知識(shí)點(diǎn)求解；再求出點(diǎn)H便可求直線FH方程)分別過(guò)H、F作y軸的垂線，垂足分別為M、N，∵四邊形ACGH為正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，∵A(0,2)，C(1,0)，∴MH=OA=2，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，由此可得H坐標(biāo)為(2,3)，同理得到F(?2,4)，∴直線FH的斜率為k=4?3可得直線FH的方程為y?3=?14(x?2)【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可知點(diǎn)F、H是確定的，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)再求直線FH方程就不難了.本題利用平幾知識(shí)點(diǎn)求出點(diǎn)F、H的坐標(biāo).鞏固練習(xí)1(★)【多選題】下列說(shuō)法中，正確的有()A．過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0B．直線y=3x?2在y軸上的截距為?2 C．直線x?3y+1=0的傾斜角為D．過(guò)點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90°的直線方程為【答案】BD【解析】∵過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y－3=0，或者y=2x，故A錯(cuò)誤；∵直線y=3x－2在y軸上的截距為－2，故B正確；由于直線x?3y+1=0的斜率為33，故它的傾斜角為30∵過(guò)點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90°的直線方程為x－5=0，故D故選：BD．2(★)【多選題】下列有關(guān)直線l：x+my?1=0(m∈R)的說(shuō)法中不正確的是()A．直線l的斜率為?m B．直線l的斜率為?1C．直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1) D．直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)【答案】ABC【解析】當(dāng)m≠0時(shí)，直線l的方程可變?yōu)閥=?1m(x－1)，其斜率為?當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程變?yōu)閤=1，其斜率不存在，過(guò)點(diǎn)(1,0)，故AB不正確，D正確，將點(diǎn)(0,1)代入直線方程得m－1=0，故只有當(dāng)m=1時(shí)直線才會(huì)過(guò)點(diǎn)(0,1)，即C不正確，故選：ABC．3(★)已知直線mx+3y?12=0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】4【解析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=12∵直線mx+3y－12=0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，∴4+12m=74(★★)若直線過(guò)點(diǎn)(1,1)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線有條.【答案】3【解析】設(shè)直線l的截距式為xa∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，∴&1a+1b=1直線l的條數(shù)為3．5(★★)已知等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(4,0)，且第三個(gè)頂點(diǎn)在第四象限，則BC邊所在的直線方程是.【答案】y=3【解析】如圖所示：xC=2，yC=?2tan60∴BC邊所在的直線方程是y=?23?0【題型三】直線方程的綜合運(yùn)用【典題1】設(shè)直線l：3+2λx+(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)M，并求出定點(diǎn)M坐標(biāo)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(3)設(shè)直線l與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A,B，求當(dāng)|MA||MB|(點(diǎn)M為(1)中的定點(diǎn))取得最小值時(shí)直線l【解析】1由3x+4y?19=02x+y?6=0，解得x=1y=4，則定點(diǎn)M為(λ視為參數(shù)，過(guò)定點(diǎn)的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y?19+λ(2x+y?6)=0均成立"，故先把λ提取出來(lái)，滿足"0+λ?0=0"這一形式即可，故(2)(截距相等，有可能兩個(gè)截距均為0，故要分類討論)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，?19?6λ=0,則λ=?196,當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則3+2λ=4+λ，解得λ=1，所求直線為x+y?5=0．綜上，直線方程為4x?y=0或x+y?5=0．(3)設(shè)A(a,0)，B(0,b)(a>0,b>0)，方法1則直線l的方程可設(shè)為xa又直線l過(guò)點(diǎn)M(1,4),則1aMAMB(利用數(shù)量積AM把“兩線段乘積“變成”向量坐標(biāo)“處理簡(jiǎn)單多了)=1?a,4=a+4b1a=4b當(dāng)且僅當(dāng)4ba=4ab且1此時(shí)直線方程為x+y?5=0．方法2設(shè)直線l的傾斜角為α，由已知可知α∈(π如圖，MB=4sin?(通過(guò)圖象觀察引入變量α表示MAMB則MAMB∵α∈(π2,π)顯然sin2α=?1，即α=3π4時(shí)，MAMB此時(shí)直線方程為x+y?5=0．【點(diǎn)撥】處理線段問(wèn)題還可以用兩點(diǎn)距離公式，而本題中MAMB【典題2】如圖，將一塊等腰直角三角板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點(diǎn)P(12,14)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中部分(△POB(1)求直線MN的斜率的取值范圍；(2)若P點(diǎn)滿足MP=13PN，這樣的直線(3)如何確定直線MN的斜率，才能使鋸成的△AMN的面積取得最大值和最小值？并求出最值．【解析】(1)(根據(jù)觀察圖象易得kPA≤kMN≤kPB??1依題意，得MN的方程為y?14=k(x?因?yàn)锳B⊥OB，|AB|=|OB|=1，所以直線OA的方程為y=x，直線AB的方程為x=1，聯(lián)立y?14=k(x?聯(lián)立y?14=k(x?所以0≤2k?14(k?1)≤1所以k的取值范圍為[?1(得到M、N的坐標(biāo)，便于求解第二、三問(wèn))(2)若MP=13PN，可得所以直線MN的方程為y?1整理得x+2y?1=0．(3)在△AMN中，由(1)知，S△AMN設(shè)t=1?k∈[1則f(t)=4t+1因?yàn)閒(t)在[12，3所以當(dāng)t=32時(shí)，即當(dāng)1－k=32，即k=?1當(dāng)t=12時(shí)，即當(dāng)1?k=12，即k=1所以k=?12時(shí)S△max=1【點(diǎn)撥】①本題完成第一、二問(wèn)，有更簡(jiǎn)便的方法，但若考慮到第三問(wèn)，采取了求點(diǎn)M、N坐標(biāo)的方法，故有時(shí)做題要統(tǒng)籌到完成的整道題目，在應(yīng)試中采取綜合時(shí)間、得分多方面的最優(yōu)解.②當(dāng)然本題第三問(wèn)也有可能還有其他的解法，比如幾何法，如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線CD與線段AB、OA、y軸分別交于D、G、C，由于點(diǎn)xP=12=12所以?DPF??EPC，故S?DPF>S?GPH，即當(dāng)直線CD越靠近故k=?12時(shí)S△max=1③處理最值問(wèn)題常見(jiàn)的是幾何法(通過(guò)觀察圖象利用幾何特點(diǎn)與性質(zhì)求解)、代數(shù)法(引入變量，把所求量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題).鞏固練習(xí)1(★★)已知直線l的方程為：(2+m)x+(1?2m)y+(4?3m)=0．(1)求證：不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；(2)過(guò)點(diǎn)M引直線l1，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求l【答案】(1)M(?1,?2)(2)2x+y+4=0【解析】(1)證明：原方程整理得：(x－2y－3)m+2x+y+4=0．由x?2y?3=02x+y+4=0，可得x=?1∴不論m為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M(－1，－2)(2)解：設(shè)直線l1的方程為y=k(x+1)－2(k<0)令y=0,x=k?2∴S當(dāng)且僅當(dāng)?k=4?k則l1的方程為2x+y+4=0．2(★★★)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)．(1)若直線l在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程；(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)．當(dāng)PA2+PB【答案】(1)x?y?1=0或2x?3y=0(2)2【解析】(1)∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，直線l在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，若截距不為0，設(shè)l的方程為xa?ya=1，把點(diǎn)Pl的方程為x－y－1=0．若截距為0，則l的斜率為2?03?0=23，直線l的方程為綜上，直線l的方程為x－y－1=0或2x－3y=0．(2)由題意可得，直線的斜率k存在，且k＜0，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－3)，則A(3?2PA2當(dāng)且僅當(dāng)k=?23時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)，直線l的方程為y－2=?23(x－3)3(★★★)如圖，射線OA,OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30°，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l分別交OA，OB于點(diǎn)(1)當(dāng)線段AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求l的方程；(2)當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線y=x2上時(shí)，求【答案