江西省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析_第1頁(yè)
江西省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析_第2頁(yè)
江西省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析_第3頁(yè)
江西省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析_第4頁(yè)
江西省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析_第5頁(yè)
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Page232024年“三新”協(xié)同教研共同體高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷留意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào),考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第五章計(jì)數(shù)原理中的排列組合(不考二項(xiàng)式定理).一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A.150° B.120° C.60° D.30°【答案】A【解析】【分析】將直線方程由一般式轉(zhuǎn)化為斜截式,從而可得直線斜率,由斜率即可得直線的傾斜角.【詳解】將直線的方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程得,所以直線的斜率為,故傾斜角為150°.故選:A.2.已知,,,若P,A,B,C四點(diǎn)共面,則()A.3 B. C.7 D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量四點(diǎn)共面性質(zhì)求解即可.【詳解】由P,A,B,C四點(diǎn)共面,可得,,共面,設(shè),則,解得.故選:C.3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C:的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由,利用拋物線的定義求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo),進(jìn)而求得縱坐標(biāo),然后由求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:,故由,解得,所以,所以的面積為.故選:D4.已知正方體的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到直線的距離與到直線CD的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡為()A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】點(diǎn)P到直線的距離即為AP.在平面ABCD內(nèi),點(diǎn)P到直線CD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等,滿意拋物線的定義,所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,故選:A.5.手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)力、反應(yīng)實(shí)力、創(chuàng)建力.某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座美麗的房子模型,它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正方體的組合體.其直觀圖如圖所示,,,P,Q,M,N分別是棱AB,,,的中點(diǎn),則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】如圖,以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由,,得,,,,所以,,所以,即異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.故選:B6.某學(xué)校派出五名老師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教,其中有一對(duì)老師夫婦參加支教活動(dòng).依據(jù)相關(guān)要求,每位老師只能去一所學(xué)校參加支教,并且每所學(xué)校至少有一名老師參加支教,同時(shí)要求老師夫婦必需去同一所學(xué)校支教,則不同的支配方案有()A.18種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】C【解析】【分析】分兩步進(jìn)行分析:先將五名老師按要求分成三組,再將分好的三組全排列,分別求出每一步的種數(shù),由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】分兩類,第一類,只有老師夫婦兩人去同一所學(xué)校有種,其次類,老師夫婦兩人另加一位老師去同一所學(xué)校有種,所以總共有36種.故選:C.7.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn),E,F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面記為,則截面的面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間幾何體的表面積與體積,首先依據(jù)作出圖像,延長(zhǎng)EF分別交DA,DC于M,N兩點(diǎn),連接,分別交,于H,做五邊形.然后依據(jù)正方體性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算最終得截面面積.【詳解】如圖,延長(zhǎng)直線EF,分別交DA,DC于M,N兩點(diǎn),連接,分別交,于H,G兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn),E,F(xiàn)的截面即為五邊形.因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),所以,,故.又因?yàn)榈娜呴L(zhǎng)分別為,,,所以,則截面的面積為.故選:D8.曲率半徑可用來(lái)描述曲線在某點(diǎn)處的彎曲變更程度,曲率半徑越大,則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小,已知橢圓:上隨意一點(diǎn)處的曲率半徑公式為.若橢圓上隨意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為,最小值為1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件,將化為,構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出的范圍,再令,得出關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性,即可得出的最值,結(jié)合已知列式聯(lián)立即可解出,即可得出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,即,所以,令,構(gòu)造函數(shù),,,在定義域上單調(diào)遞減,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),即時(shí),取得最大值,即取得最大值,最大值為,令,則關(guān)于的函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增,則當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值,最大值為,因?yàn)闄E圓上隨意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為,所以,當(dāng)時(shí),取得最小值,即取得最小值,最小值為,則當(dāng)取得最小值時(shí),取得最小值,最小值為,因?yàn)闄E圓上隨意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最小值為1,所以,聯(lián)立,解得,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列排列組合數(shù)中,正確的是()A. B.C.(m,,) D.(m,,)【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式與性質(zhì)逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】A選項(xiàng),,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),,故B正確;C選項(xiàng),由于,故C正確;D選項(xiàng),左邊,右邊,即左邊=右邊,所以(m,,),故D正確.故選:BCD.10.已知圓C:,直線l:(),下列說(shuō)法正確的是()A.無(wú)論a取何值,直線l與圓C相交B.直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4C.若,則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為D.直線l的方程能表示過(guò)點(diǎn)的全部直線的方程【答案】AC【解析】【分析】由直線l恒過(guò)的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系推斷A;借助圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng)推斷B;求出原點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)推斷C;舉例說(shuō)明即可推斷D.【詳解】對(duì)于A,直線l變形為,由,解得,即直線l恒過(guò)定點(diǎn),明顯該定點(diǎn)在圓C內(nèi),因此直線l與圓C相交,A正確;對(duì)于B,定點(diǎn)與圓心的距離為,由圓的性質(zhì)知,當(dāng)時(shí),直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短為,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),直線l為,設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,則,解得,即,則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓方程為,C正確;對(duì)于D,直線過(guò)點(diǎn),該直線不能被直線的方程表示,D錯(cuò)誤.故選:AC11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中,M,N兩點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),且,Q在線段上運(yùn)動(dòng),則下列結(jié)論正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.在平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得平面BMNC.E點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),且直線DE與直線成30°角,則線段EM長(zhǎng)度的最小值為D.與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)線面關(guān)系,結(jié)合三棱錐等體積轉(zhuǎn)化求解三棱錐的體積即可推斷A;依據(jù)面面平行,線線平行關(guān)系,確定平面,從而可得與平面平行,即可推斷B;依據(jù)線面關(guān)系,線線關(guān)系即可得的運(yùn)動(dòng)軌跡,從而可得EM長(zhǎng)度的最小值,即可推斷C;利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化確定點(diǎn)到平面的距離h,從而可得點(diǎn)Q到平面的距離,即可求與平面所成角的正弦值的取值范圍可推斷D.【詳解】對(duì)于A,連接交于點(diǎn)O,則,連接,,所以為的高,且,所以.又平面,所以,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,連接,平面BMN與平面為同一個(gè)平面,在正方體中,有,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面,即平面所以當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),總有平面,從而有平面BMN,所以B正確;對(duì)于C,因?yàn)橹本€DE與直線成30°角,,所以直線DE與直線成30°角,又因?yàn)镋點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),且該正方體的棱長(zhǎng)為2,所以E在正方形(包括邊界)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心,以為半徑的段圓弧,而M點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),所以線段EM長(zhǎng)度的最小值為,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以正的面積.連接交于O點(diǎn),明顯點(diǎn)O是線段的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離h,在三棱錐中,由,得,即,解得,可知點(diǎn)Q到平面的距離為.在中,點(diǎn)與斜邊上的點(diǎn)Q的距離,所以直線與平面所成角的正弦值,所以D正確.故選:BD.12.已知拋物線()上隨意一點(diǎn)處的切線方程可以表示為.直線,,分別與該拋物線相切于點(diǎn),,,,相交于點(diǎn)D,與,分別相交于點(diǎn)P,Q,則下列說(shuō)法正確的是()A.點(diǎn)D落在一條定直線上B.若直線AB過(guò)該拋物線的焦點(diǎn),則C.D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)已知得出直線的方程,依據(jù)已知聯(lián)立方程組求解得出的坐標(biāo),即可推斷A項(xiàng);設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程,得出,進(jìn)而求解化簡(jiǎn),即可推斷B;依據(jù)拋物線的定義得出,代入即可推斷C;依據(jù)都在上,化簡(jiǎn)即可得出.進(jìn)而即可得出,進(jìn)而得出D項(xiàng).【詳解】由題知:,:,:,聯(lián)立方程組,解得兩直線的交點(diǎn)為.同理,.對(duì)于A,點(diǎn)不在一條定直線上運(yùn)動(dòng),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn),設(shè)直線斜率為,直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程,有,可得.又是兩個(gè)交點(diǎn),所以是方程的兩個(gè)解,則,所以,故,B正確;對(duì)于C,因?yàn)?,,所以,C正確;對(duì)于D,因都在上,所以,,所以,.同理都在上,所以有,,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.圓:與圓:的位置關(guān)系是_________.【答案】相交【解析】【詳解】圓:化為標(biāo)準(zhǔn)方程:,則其圓心,半徑,圓:化為標(biāo)準(zhǔn)方程:,則其圓心,半徑,則兩圓心距離,故兩圓相交,故答案為:相交.14.已知空間向量,,的模長(zhǎng)分別為2,2,3,且兩兩夾角均為,點(diǎn)G為的重心,則_________.【答案】##【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算結(jié)合向量在幾何中的應(yīng)用可得答案.【詳解】因?yàn)镚為的重心,所以,所以,所以,,所以.故答案為:15.2024年10月11日,習(xí)近平總書(shū)記在江西省上饒市考察,他來(lái)到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推動(dòng)鄉(xiāng)村振興等狀況.其中婺源“曬秋”綻開(kāi)的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景.當(dāng)?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣,更要考慮曬出獨(dú)一無(wú)二的“中國(guó)最美的符號(hào)”.當(dāng)?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個(gè)小區(qū)域中,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品,且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同,則不同的晾曬方案種數(shù)為_(kāi)________.(用數(shù)字作答)【答案】48【解析】【分析】分2、4顏色相同和2、4顏色不相同兩種狀況進(jìn)行探討,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】分兩類:第一類,2、4顏色相同有種;其次類,2、4顏色不相同有種.共種,故答案為:48.16.已知直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于點(diǎn),(不重合)線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn),則雙曲線的離心率為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系和直線過(guò)的點(diǎn)依據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得出線段的垂直平分線的方程,即可聯(lián)立兩直線得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),,分別代入雙曲線方程后作差整理得出,再依據(jù)線段中點(diǎn)與端點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系與兩點(diǎn)的斜率公式得出,,,即可得出,在依據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入即可得出答案.【詳解】直線與線段的垂直平分線垂直,則線段的垂直平分線的斜率為,線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)線段的垂直平分線為:,即,聯(lián)立,解得:即的中點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),,則,兩式作差可得,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,的斜率為1,,,,則,所以雙曲線C的離心率.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù).(1)偶數(shù)不能相鄰,則不同的六位數(shù)有多少個(gè)?(結(jié)果用數(shù)字表示)(2)若數(shù)字1和2之間恰有一個(gè)奇數(shù),沒(méi)有偶數(shù),則不同的六位數(shù)有多少個(gè)?(結(jié)果用數(shù)字表示)【答案】(1)144(2)96【解析】【分析】(1)利用插空法可解;(2)首先將1、2全排列,再將3、5選一個(gè)數(shù)插入中間位置,組成一個(gè)大元素,再與其他3個(gè)數(shù)字全排列即可【小問(wèn)1詳解】首先將奇數(shù)全排列,再利用插空法,可得:當(dāng)偶數(shù)不能相鄰時(shí),不同的六位數(shù)有個(gè).【小問(wèn)2詳解】首先將1、2全排列,再將3、5選一個(gè)數(shù)插入中間位置,組成一個(gè)大元素,所以數(shù)字1和2之間恰有一個(gè)奇數(shù),沒(méi)有偶數(shù)不同的六位數(shù)有個(gè).18.已知圓C的圓心在直線上,且與直線相切于點(diǎn).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)依據(jù)已知求出過(guò)點(diǎn),且與直線垂直的直線的方程.與直線聯(lián)立即可得出圓心,依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出半徑;(2)當(dāng)斜率存在,依據(jù)點(diǎn)斜式方程得出直線方程.進(jìn)而由點(diǎn)到直線的距離公式得出,依據(jù)垂徑定理得出方程,求解得出的值,代入方程即可得出答案;當(dāng)斜率不存在時(shí),得出直線方程,驗(yàn)證即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn),且與直線垂直直線的方程為,又該直線過(guò)點(diǎn),所以,所以,即直線方程為,依據(jù)圓的性質(zhì)可知,該直線經(jīng)過(guò)圓心.由,解得,所以圓心,半徑.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】①若斜率存在,則設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的斜率為k,則直線l的方程為,即,所以圓心到直線l的距離.又,,由垂徑定理可得,即,整理得,解得,此時(shí)直線l的方程為;②若斜率不存在,則直線l的方程為,弦心距為2,半徑,弦長(zhǎng)為,符合題意.綜上,直線l的方程為或.19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,,E為線段PD的中點(diǎn),已知,,.(1)證明:平面ACE.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)由線面平行的判定定理證明即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖1,連接BD交AC于點(diǎn)H,連接HE.圖1因?yàn)锳B∥DC,,所以四邊形ABCD是平行四邊形,所以H是AC的中點(diǎn),又E為線段PD的中點(diǎn),所以HE∥BD.又平面ACE,平面ACE,所以PB∥平面ACE.【小問(wèn)2詳解】解:因?yàn)锳B⊥平面PAD,所以作Ax⊥AP,建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.圖2由已知,,,得,,,,,,.設(shè)平面PCD的法向量為,即,不妨?。?,所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.20.已知雙曲線C:(,)的漸近線方程為,實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l與雙曲線C相切,且與雙曲線C的兩條漸近線相交于P,Q兩點(diǎn),求△POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積.【答案】20.21.【解析】【分析】(1)依據(jù)漸近線和實(shí)軸長(zhǎng),求出可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)探討直線的斜率是否存在,且當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與雙曲線方程聯(lián)立,依據(jù)雙曲線與直線相切,找到參數(shù)之間的關(guān)系,再利用弦長(zhǎng)公式求得,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高,最終求得面積.【小問(wèn)1詳解】(1)由題意得,解得,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)直線l與雙曲C的右支相切,此時(shí),,.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),直線l的方程可設(shè)為,設(shè),,聯(lián)立方程組,得.因?yàn)橹本€l與雙曲線C相切,所以,所以.聯(lián)立方程組,解得,同理聯(lián)立方程組,解得,點(diǎn)O到直線l的距離,所以綜上所述,的面積為.21.如圖,在四棱臺(tái)中,底面ABCD是菱形,,,平面ABCD.(1)證明:.(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角的余弦值為?若存在,求線段CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)BC上存在點(diǎn)E使得二面角的余弦值為,【解析】【分析】(1)利用題設(shè)條件證明線面垂直即得結(jié)論;(2)通過(guò)建系,表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量,利用空間兩向量夾角的余弦公式求得參數(shù),即得線段長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明:如圖,連接AC,,因?yàn)闉槔馀_(tái),所以四點(diǎn)共面,又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,又因?yàn)榍?,平面,所以BD⊥平面.因?yàn)槠矫妫裕?wèn)2詳解】取BC中點(diǎn)Q,連接

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