充要條件高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4.2充要條件

情

境

導

入主人邀請張三、李四、王五三個人吃飯,時間到了,只有張三、李四準時赴約,王五打電話說:“臨時有急事,不能去了.”主人聽了,隨口說了句:“該來的沒有來.”張三聽了臉色一沉,起來一聲不吭地走了.主人愣了片刻,又道了句:“不該走的又走了.”李四聽了大怒,拂袖而去.

問題

(1)張三為什么走了?(2)李四為什么走了?

知識點一

逆命題

將命題“若p,則q”中的條件p和結論q互換,就得到一個新的命題“若q,則p”,稱這個命題為原命題的逆命題.1.“若x＞2,則x2-3x+2＞0”的逆命題是()A.若x2-3x+2＜0,則x≥2,B.若x≤2,x2-3x+2≤0C.若x2-3x+2≤0,則x≥2,

D.若x2-3x+2＞0,則x＞2,2.命題“如果a+b=0，那么a、b互為相反數(shù)”的逆命題為____命題.（填“真”或“假”）真知識點二充要條件命題真假如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p

”均是真命題推出關系既有p?q,又有q?p，記作_p?q條件關系

p既是q的充分條件，也是q的必要條件結論p是

q的__________條件，簡稱為______條件充分必要充要對充要條件的兩點說明(1)p是q

的充要條件意味著“p成立，則q一定成立”；p不成立，則q一定

不成立.(2)p是q

的充要條件,q

也是p的充要條件

1.“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里?提示:(1)p是q的充要條件說明p是條件,q是結論.(2)p的充要條件是q,說明q是條件,p是結論.2.在△ABC中,AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:當B＝90°或C＝90時,△ABC為直角三角形,但不能推出AB2＋AC2＝BC2,故選A.題型一充要條件的判斷例1

判斷下列各題中,p是

q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).(1)p:｜x｜＝｜y｜,q:x3＝y(tǒng)3;解

(1)因為｜x｜＝｜y｜時,x＝±y,不一定有x3＝y(tǒng)3,而x3＝y(tǒng)3時一定有x＝y(tǒng),必有｜x｜＝｜y｜,所以p是q的必要不充分條件.(2)p:△ABC中,AB＞AC,q:△ABC中,∠C＞∠B;解

由三角形中大邊對大角,大角對大邊的性質(zhì)可知p是q的充要條件.(3)p:A?B,q:A∪B＝B;解

若A?B,則一定有A∪B＝B,反之,若A∪B＝B,則一定有A?B,故p是q的充要條件.(4)p:兩個三角形全等,q:兩個三角形面積相等.解

若兩三角形全等,則面積一定相等,若兩三角形面積相等(只需高和底邊的乘積相等即可),卻不一定有兩三角形全等,故p是q的充分不必要條件.題型二充要條件的證明例2

求證:△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(這里a,b,c是△ABC的三邊邊長)證明

必要性:因為△ABC是等邊三角形,所以a＝b＝c,所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2,所以必要性成立;充分性:由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc兩邊同時乘2得,2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc,即(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2＝0,所以a＝b＝c,所以△ABC是等邊三角形,所以充分性成立.綜上,△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.通性通法充要條件的證明策略(1)要證明p是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進行,即證明兩個命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真;(2)在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的.提醒

證明時一定要分清充分性與必要性的證明方向.

證明:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根的充要條件是ac＜0.所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根.所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數(shù)根.設方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根分別為x1,x2,必要性:因為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根,所以Δ＝b2-4ac＞0,所以ac＜0.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根的充要條件是ac＜0.題型三充分、必要及充要條件的應用例3已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0),若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).因為p是q的必要不充分條件,所以q是p的充分不必要條件,即{x｜1-m≤x≤1＋m}?{x｜-2≤x≤10},又m＞0,所以實數(shù)m的取值范圍為{m｜0＜m≤3}1.(變條件)若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”,其他條件不變,求實數(shù)m的取值范圍.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).因為p是q的充分不必要條件,設p代表的集合為A,q代表的集合為B,所以A?B.即實數(shù)m的取值范圍為{m｜m≥9}2.(變設問)本例中p,q不變,是否存在實數(shù)m使p是q的充要條件?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).若p是q的充要條件,方程組無解.故不存在實數(shù)m,使得p是q的充要條件.1.“x2＋(y-2)2＝0”是“x(y-2)＝0”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:由x2＋(y-2)2＝0,得x＝0且y＝2,x(y-2)＝0.反之,x(y-2)＝0,即x＝0或y＝2,x2＋(y-2)2＝0不一定成立.故選B.2.設A,B,C是三個集合,則“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件由A∩B＝A∩C,不一定有B＝C,反之,由B＝C,一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分條件.故選B.3.(多選)使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要條件是(

)A.x≥0B.x＜0或x＞2C.x∈{-1,3,5}D.x≤0或x＞2解析:

從集合的角度出發(fā),在選項中判斷哪個是題干的真子集,只有B,C滿足題意,選項A為題干成立的既不充分也不必要條件,D為題干成立的充要條件.由x∈B,可得x∈(A∪B);反之,因為A?B,A∪B＝B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要條件.5.實數(shù)a,b中至少有一個不為零的充要條件是(

)A.ab＝0B.ab＞0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2＞0由“a,b中至少有一個不為零”可知,a,