蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說(shuō)明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【考點(diǎn)剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小題）1．（真題?邗江區(qū)期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定2．（真題?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm3．（真題?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．4．（真題?惠山區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、65．（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫個(gè)直角三角形．6．（2022春?泗陽(yáng)縣期中）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中線，則△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大cm．7．（2022春?高港區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面積．二．勾股數(shù)（共3小題）8．（真題?溧陽(yáng)市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，419．（真題?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；10．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n為正整數(shù)，且m＞n．（1）觀察表格，當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說(shuō)明你的理由．（2）探究a，b，c與m、n之間的關(guān)系并用含m、n的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例．三．勾股定理的應(yīng)用（共6小題）11．（真題?沛縣期末）如圖，將長(zhǎng)為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動(dòng)2m，則梯子底端B向左滑動(dòng)m．12．（真題?句容市期末）有5cm，13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長(zhǎng)度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm13．（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此綠地ABCD的面積．14．（真題?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的長(zhǎng)度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的長(zhǎng)度．15．（2022春?東湖區(qū)期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā)．其中，貨船沿著北偏西54°方向以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行．1小時(shí)后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．16．（真題?新吳區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升6cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，132．（2022春?啟東市校級(jí)月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，13．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長(zhǎng)為（）A．1m B．2m C．3m D．4m4．（真題?溧陽(yáng)市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米5．（真題?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.556．（真題?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺二．填空題（共9小題）7．（真題?儀征市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是．8．（真題?無(wú)錫期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則它的最長(zhǎng)邊上的中線為．9．（真題?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時(shí)而繩索用盡．則木柱長(zhǎng)為尺．10．（真題?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的高度是尺．（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺．）11．（真題?泗縣期末）在一棵樹(shù)的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)10米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高米．12．（真題?溧陽(yáng)市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的中線AD＝3，則AC＝．13．（真題?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長(zhǎng)為3和4，當(dāng)?shù)谌龡l邊長(zhǎng)為時(shí)，此三角形為直角三角形．14．（真題?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．15．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為米．三．解答題（共9小題）16．（真題?大豐區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度．17．（真題?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經(jīng)測(cè)得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離．（2）求這張紙片的面積．18．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．19．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．20．（真題?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長(zhǎng)．21．（2022春?長(zhǎng)沙期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段BD上一點(diǎn)，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的長(zhǎng)；（2）求證：∠ACE＝90°．22．（真題?儀征市期末）小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地ABCD（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒(méi)有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度．小東經(jīng)測(cè)量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明說(shuō)根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)．你同意小明的說(shuō)法嗎？若同意，請(qǐng)求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)；若不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（真題?阜寧縣期末）阜寧市民廣場(chǎng)要對(duì)如圖所示的一塊空地進(jìn)行草坪綠化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，綠化草坪價(jià)格150元/米2．求這塊地草坪綠化的價(jià)錢．24．（真題?高郵市期末）圖1是超市購(gòu)物車，圖2為超市購(gòu)物車側(cè)面示意圖，測(cè)得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）兩輪中心AB之間的距離為dm；（2）若OF的長(zhǎng)度為dm，支點(diǎn)F到底部DO的距離為5dm，試求∠FOD的度數(shù)．第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說(shuō)明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【考點(diǎn)剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小題）1．（真題?邗江區(qū)期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定【分析】由勾股逆定理即可得到答案．【解答】解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股逆定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．2．（真題?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、12+22≠32，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵22+32≠42，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵12+（）2＝（）2，∴此組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．3．（真題?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC2，BC2以及AB2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出結(jié)論即可．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：由題可得，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．4．（真題?惠山區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、82+152＝172，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、42+52≠62，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．5．（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫3個(gè)直角三角形．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再找到其中的直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，一共可以畫9個(gè)三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以畫3個(gè)直角三角形．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是正確作出圖形，不要漏掉任何一種情況．6．（2022春?泗陽(yáng)縣期中）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中線，則△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大2cm．【分析】根據(jù)中線的定義可得BD＝CD，然后求出△ABD的周長(zhǎng)與△ACD的周長(zhǎng)的差為AB﹣AC，從而得解．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長(zhǎng)﹣△ACD的周長(zhǎng)＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC，∵AB＝8cm，AC＝6cm，∴△ABD的周長(zhǎng)﹣△ACD的周長(zhǎng)＝8﹣6＝2（cm）．故△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中線，求出兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的差等于AB﹣AC是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?高港區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面積．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；（2）過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理和三角形面積公式即可求得△ABD的面積．【解答】（1）證明：連接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝BC＝5，∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，∵CD＝7，AD＝1，∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC＝90°；（2）解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)BE＝x，則CE＝5﹣x，DE，則AB?BCAD?CDAB?BEBC?DE，即5×51×75x5，解得x1，x2（不合題意舍去），則△ABD的面積為52．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．二．勾股數(shù)（共3小題）8．（真題?溧陽(yáng)市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：A．52+122＝132，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B．82+122≠152，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；C．82+152＝172，三邊是整數(shù)，同時(shí)能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；D．92+402＝412，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．9．（真題?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、60、61；【分析】分析所給四組的勾股數(shù)：第一個(gè)數(shù)n是連續(xù)的奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大1，由此可得答案．【解答】解：第一組：3，4，5＝4+1；第二組：5，12，13＝12+1；???，最后一組為：11，60，61．故答案為：11，60，61．【點(diǎn)評(píng)】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、計(jì)算即可．10．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n為正整數(shù)，且m＞n．（1）觀察表格，當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說(shuō)明你的理由．（2）探究a，b，c與m、n之間的關(guān)系并用含m、n的代數(shù)式表示：a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．（3）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例．【分析】（1）計(jì)算出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；（3）分別計(jì)算出a2、b2、c2，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能為直角三角形三邊的長(zhǎng)；（2）觀察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；故答案為：m2+n2，2mn，m2﹣n2；（3）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．三．勾股定理的應(yīng)用（共6小題）11．（真題?沛縣期末）如圖，將長(zhǎng)為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動(dòng)2m，則梯子底端B向左滑動(dòng)2m．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意兩次運(yùn)用勾股定理即可解答．【解答】解：如圖所示：由題意可得，AC＝6m，AB＝10m，則BC8（m），A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，故B′C6（m），則梯子底端B向左滑動(dòng)：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．12．（真題?句容市期末）有5cm，13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長(zhǎng)度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵52+132，132﹣52＝122，∴木條長(zhǎng)度適合的是12cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此綠地ABCD的面積．【分析】連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積＝直角△BCD的面積+直角△ABD的面積．【解答】解：連接BD．如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝15cm，CD＝20cm，∴BD25（cm）；在△ABD中，∵BD＝25cm，AB＝24cm，DA＝7cm，∴242+72＝252，即AB2+AD2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCDAB?ADBC?CD24×715×20＝84+150＝234（cm2）；即綠地ABCD的面積為234cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，正確分割四邊形ABCD的面積是解題關(guān)鍵．14．（真題?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的長(zhǎng)度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的長(zhǎng)度．【分析】設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通過(guò)解方程即可求得答案．【解答】解：設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，由題意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得x＝2.5故滑道AC的長(zhǎng)度為2.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，難度不大．15．（2022春?東湖區(qū)期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā)．其中，貨船沿著北偏西54°方向以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行．1小時(shí)后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．【分析】根據(jù)方向角得出∠BAC的度數(shù)，再利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得：∠BAC＝54°+36°＝90°，AB＝15海里，AC＝36海里，則BC39（海里），答：B、C兩點(diǎn)之間的距離為39海里．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出AB，AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．16．（真題?新吳區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升6cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長(zhǎng)，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離．【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝8cm，CD＝6cm；根據(jù)勾股定理，得：AD10（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；故橡皮筋被拉長(zhǎng)了4cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：A．根據(jù)勾股定理的逆定理，12+32＝10≠42，那么以1、3和4為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意．B．根據(jù)勾股定理的逆定理，，那么以、和2為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意．C．根據(jù)勾股定理的逆定理，，那么以、和為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意．D．根據(jù)勾股定理的逆定理，52+122＝169＝132，那么以5、12和13為邊長(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春?啟東市校級(jí)月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義求解即可．【解答】解：A．∵32+42＝52，且3，4，5是正整數(shù)，∴3，4，5是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B．∵52+122＝132，且5，12，13是正整數(shù)，∴5，12，13是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；C．∵72+242＝252，且7，24，25是正整數(shù)，∴7，24，25是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；D．∵0.62+0.82＝12，但0.6，0.8，1不是整數(shù)，∴0.6，0.8，1不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：0.6，0.8，1滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…3．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長(zhǎng)為（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB（m），∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理，根據(jù)已知條件求出AB和AB′是解題的關(guān)鍵．4．（真題?溧陽(yáng)市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由題意可知消防車的云梯長(zhǎng)、地面、建筑物高構(gòu)成一直角三角形，斜邊為消防車的云梯長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理就可求出高度．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝7米，由勾股定理可得，AC24（米）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（真題?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．6．（真題?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長(zhǎng)為14尺，則B'C＝7尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程即可．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長(zhǎng)AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E＝14尺，所以B'C＝7尺在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2∴72+（x﹣1）2＝x2，解得x＝25，∴這根蘆葦長(zhǎng)25尺，∴水的深度是25﹣1＝24（尺），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．二．填空題（共9小題）7．（真題?儀征市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是6．【分析】先作輔助線DE⊥AB，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到DE＝DC，再根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算出△ABD的面積．【解答】解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵CD＝2，∴DE＝2，∵AB＝6，∴S△ABD6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，求出DE的長(zhǎng)．8．（真題?無(wú)錫期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則它的最長(zhǎng)邊上的中線為5．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到這個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴這個(gè)三角形是直角三角形，∴最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為10＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．（真題?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時(shí)而繩索用盡．則木柱長(zhǎng)為尺．【分析】設(shè)木柱長(zhǎng)為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)木柱長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意得：AB2+BC2＝AC2，則x2+82＝（x+3）2，解得：x，答：木柱長(zhǎng)為尺．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（真題?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的高度是4.55尺．（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺．）【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解答】解：1丈＝10尺，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：折斷處離地面的高度為4.55尺．故答案為：4.55．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．11．（真題?泗縣期末）在一棵樹(shù)的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)10米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高7.5米．【分析】首先設(shè)樹(shù)的高度為x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出樹(shù)的高度．【解答】解：設(shè)樹(shù)的高度為x米．∵兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)x，用x表示有關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．12．（真題?溧陽(yáng)市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的中線AD＝3，則AC＝5．【分析】根據(jù)中線定義可得BD＝4，再根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ADB＝90°，然后根據(jù)勾股定理可得AC．【解答】解：∵AD為中線，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∵32+42＝52，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AC5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．13．（真題?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長(zhǎng)為3和4，當(dāng)?shù)谌龡l邊長(zhǎng)為或5時(shí)，此三角形為直角三角形．【分析】由題意，需分類討論，再根據(jù)勾股定理的逆定理解決此題．【解答】解：設(shè)第三條邊長(zhǎng)為x，此三角形為直角三角形，那么可能出現(xiàn)以下兩種情況：①邊長(zhǎng)為4的邊為斜邊，此時(shí)x＜4，則32+x2＝42，得x；②邊長(zhǎng)為4的邊為直角邊，此時(shí)邊長(zhǎng)為x的邊為斜邊，則32+42＝x2，得x＝5．綜上，x或5．故答案為：或5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理以及分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．14．（真題?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝45°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理和逆定理證明∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為1.6米．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），則BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖所示：則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米米，由勾股定理得：AE0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故答案為：1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共9小題）16．（真題?大豐區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度．【分析】設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因?yàn)橹睆綖?0cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．【解答】解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直徑為20cm，∴杯子半徑為10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍長(zhǎng)26cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形以及各邊的長(zhǎng)．17．（真題?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經(jīng)測(cè)得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離．（2）求這張紙片的面積．【分析】（1）由勾股定理可直接求得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理逆定理證得∠ACD＝90°，由于四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）連接AC，如圖．在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，∴AC15．即A、C兩點(diǎn)之間的距離為15cm；（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACDAB?BCAC?CD9×1215×8＝54+60＝114（cm2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，熟記定理是解題的關(guān)鍵．18．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．【分析】從實(shí)際問(wèn)題中找出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到該河流的寬度．【解答】解：由題意知，AB⊥BC，AC＝75m．BC＝45m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB60（米）．答：該河流的寬度AB為60米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確畫出示意圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）由BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形；（2）由此可求出AC的長(zhǎng)，周長(zhǎng)即可求出．【解答】解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BC2＝BD2+CD2．∴△BDC為直角三角形；（2）設(shè)AB＝xcm，∵等腰△ABC，∴AB＝AC＝x，∵AB2＝AD2+BD2，即x2＝（x﹣8）2+62，∴x，∴△ABC的周長(zhǎng)＝2AB+BCcm）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用解答．20．（真題?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長(zhǎng)．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義以及直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵DE⊥A