北京市昌平區(qū)2023-2024學年八年級下學期期末數(shù)學試題（解析版）

2024北京昌平初二（下）期末數(shù)學本試卷共8頁，三道大題，28個小題，滿分100分．考試時間120分鐘．考生務必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，請交回答題卡．一、選擇題（共16分，每題2分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1.在《2023北京市數(shù)字經(jīng)濟標桿企業(yè)評價報告》中，昌平區(qū)共有7家重點企業(yè)成功獲評北京市數(shù)字經(jīng)濟標桿企業(yè)．以下是四家標桿企業(yè)的商標，其中商標圖形是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．解：A．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．2.點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本題考查了點的坐標，根據(jù)分別對應為第一、二、三、四象限，進行判斷，即可作答．解：∵，∴點所在的象限是第二象限，故選：B．3.若是方程的一個解，則m的值為（）A.2 B. C.0 D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解，將方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解滿足方程是解答的關(guān)鍵．解：把代入可得出：，解得：，故選：B．4.下列判斷錯誤的是（）A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.有一個角是直角的菱形是正方形C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形【答案】C【解析】【分析】本題考查了菱形，矩形，正方形，平行四邊形的判定，根據(jù)菱形，矩形，正方形，平行四邊形的判定定理逐項判斷即可．解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，不符合題意；B、有一個角是直角的菱形是正方形，正確，不符合題意；C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形，可能是等腰梯形，說法錯誤符合題意；D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確，不符合題意；故選：C．5.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則直線的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線經(jīng)過一、二、四象限，可得，即可求解．解：∵直線經(jīng)過一、二、四象限，∴，∴直線的圖象經(jīng)過一、三、四象限，∴選項A中圖象符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“的圖象在一、二、四象限”是解題的關(guān)鍵．由直線經(jīng)過的象限結(jié)合四個選項中的圖象，即可得出結(jié)論．6.某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，六月份綠化投入49萬元，五月份和六月份綠化投入的月平均增長率相同．設五月份和六月份綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，四月份綠化投入25萬元，設五月份和六月份綠化投入的月平均增長率為x，則五月份的綠化投入為萬元，六月份的綠化投入為萬元，據(jù)此即可獲得答案．解：設五月份和六月份綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可得．故選：C．7.北京市昌平區(qū)2024年4月每日最高氣溫統(tǒng)計圖如下：根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，則下列說法正確的是（）A.若將每日最高氣溫由高到低排序，4月4日排在第30位B.4月份最高氣溫出現(xiàn)在4月19日C.4月24日到4月25日氣溫上升幅度最大D.若記4月上旬（1日至10日）的最高氣溫的方差為，中旬（11日至20日）的最高氣溫的方差為，則【答案】D【解析】【分析】本題考查是折線統(tǒng)計圖和方差．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．根據(jù)折線統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù)及方差意義作答即可．解：A、由圖可知，4月4日的最高氣溫在4月不是最低的．故本結(jié)論錯誤，不符合題意；B、4月份最高氣溫出現(xiàn)在4月18日，故本結(jié)論錯誤，不符合題意；C、由圖可知，所以4月5日到4月6日氣溫上升幅度約為，4月24日到4月25日氣溫上升幅度約為，所以4月24日到4月25日氣溫上升幅度不是最大．故本結(jié)論錯誤，不符合題意；D、由圖可知，4月上旬日至10日）的最高氣溫在至徘徊，中旬日至20日）的最高氣溫在至徘徊，所以上旬氣溫波動最大，中旬氣溫波動最小，所以．故本結(jié)論正確，符合題意；故選：D．8.如圖1，在平面直角坐標系中的四個點，恒過定點的直線，與四邊形交于點M，N（點M和N可以重合）．根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，線段的長度l可以看做k的函數(shù)，繪制函數(shù)l的圖象如圖2．下列說法正確的是（）A.l是k一次函數(shù) B.函數(shù)l有最大值為3C.當時，函數(shù)l隨k的增大而增大 D.函數(shù)l的圖象與橫軸的一個交點是【答案】D【解析】【分析】本題考查了函數(shù)圖像讀取信息，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，根據(jù)函數(shù)圖像可以之間判斷函數(shù)的增減性，是不是一次函數(shù)，最大值是否存在，然后再結(jié)合圖1，判斷函數(shù)的最值為直線時，當時，即時，函數(shù)與x軸有兩個交點，可以求出即可作出判斷．解：A、由圖2可知，l不是k的一次函數(shù)，不符合題意；B、由圖2可知，當時，l有最大值，當時，即直線，l有最大值為2，故本選項錯誤，不符合題意；C、由圖2可知，當時，函數(shù)l隨k的增大而減小，故本選項錯誤，不符合題意；D、當時，即時，過，兩點或過，兩點，當，過兩點時，，函數(shù)l的圖象與橫軸的一個交點是，正確，故選項D符合題意，故選：D．二、填空題（共16分，每題2分）9.函數(shù)中自變量x的取值范圍是__．【答案】x≠3【解析】根據(jù)題意得x﹣3≠0，解得x≠3．故答案為x≠3．10.已知點和是一次函數(shù)圖象上的兩點，且，則_______．（填“”或“”）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)一次函數(shù)增減性判斷函數(shù)值的大小，根據(jù)可得出y隨x的增大而增大，又，可得出．解：∵∴y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：．11.任意一個五邊形的內(nèi)角和為__________．【答案】##度【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（，且為整數(shù)），計算即可得出答案．解：任意一個五邊形的內(nèi)角和為，故答案為：．12.用配方法解方程時，可將方程變?yōu)榈男问?，則m的值為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了配方法，把常數(shù)項移到右邊，再兩邊加上16即可變形成完全平方的形式，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．解：，故，故答案為：4．13.如圖，在平面直角坐標系中，直線：與直線：交于點P，則方程組的解是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了兩直線交點坐標為二元一次方程組的解，由圖可知兩直線的交點，即可得出方程組的解．解：直線：與直線：交于點P，，方程組的解為：，故答案為：．14.如圖，在中，，點D、E、F分別為的中點，若，則的長為______．【答案】5【解析】【分析】由題意知，是的中位線，是斜邊的中線，則，，計算求解即可．解：由題意知，是的中位線，是斜邊的中線，∴，，故答案為：5．【點睛】本題考查了中位線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．15.如圖，已知四邊形是矩形，，點E在上，．若平分，則的長為______．【答案】10【解析】【分析】本題考查了矩形性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，根據(jù)矩形性質(zhì)得到，，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等結(jié)合角平分線定義得出，從而得到，設，，則在中，利用勾股定理即可求出結(jié)果．解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，設，，，在中，，即，解得：，．故答案為：10．16.如圖1所示，的正方形網(wǎng)格中，陰影部分已被覆蓋．現(xiàn)需用圖2中的四塊矩形放置到圖1中，實現(xiàn)剩余空白部分的完全覆蓋，如圖3．張順同學在實踐之后發(fā)現(xiàn)了三條結(jié)論：（1）覆蓋的方案有多種；（2）在各種方案中，有一個矩形的位置是固定的，這個矩形是______________（填寫序號）；（3）有一個矩形在每種方案中的位置都不一樣，這個矩形是_____________（填寫序號）．請完善以上結(jié)論．【答案】①.①②.④【解析】【分析】本題主要考查了組合排列問題，正確理解題意是解題關(guān)鍵．．解：根據(jù)題意，可有以下幾種方案：方案1方案2方案3所以，（1）覆蓋的方案有多種；（2）在各種方案中，有一個矩形的位置是固定的，這個矩形是①；（3）有一個矩形在每種方案中的位置都不一樣，這個矩形是④．故答案為：（2）①；（3）④．三、解答題（本題共12道小題，第17~22題，每小題5分，第23~26題，每小題6分，第27~28題，每小題7分，共68分）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解：，，，，．18.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點．（1）畫出該一次函數(shù)的圖象，并求這個一次函數(shù)的表達式；（2）若y軸上存在點P，使得的面積是3，求點P的坐標．【答案】（1）圖像見解析，（2）或【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的幾何綜合，求解一次函數(shù)解析式，畫函數(shù)圖象，準確求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）在圖中描出點，連接即可得出函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式即可；（2）設，根據(jù)的面積是3，得到，求出m的值即可得出結(jié)果．【小問1】解：如圖，在圖中描出點，連接即可得出函數(shù)圖象，設一次函數(shù)解析式為：，，解得：，一次函數(shù)解析式為：；【小問2】設，，，或，或．19.如圖，平行四邊形中，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，且，連接．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．先證明四邊形是平行四邊形，從而得到，從而即可得出結(jié)論．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵點E，F(xiàn)分別在邊上，，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．20.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：對于任意實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；（2）若這個一元二次方程的一根大于2，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了根的判別式及解一元二次方程，正確運用判別式是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)一元二次方程判別式為，即可解答；（2）解方程，求得，，根據(jù)題意得到，解不等式即可．【小問1】證明：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴對于任意實數(shù)m，該方程總有實數(shù)根；【小問2】解：設方程的兩個實數(shù)根為，，，∴，，∵這個一元二次方程的一根大于2，∴，解得：，∴m的取值范圍．21.學校組織趣味運動會，某游戲項目需用長為的繩子圈定的矩形區(qū)域，求這個矩形的長和寬．【答案】矩形長為，矩形的寬為．【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設矩形的長為，則矩形的寬為：，依題意可得方程∶，解一元二次方程即可求解．解：設矩形的長為，則矩形的寬為：，依題意可得方程∶整理得：，解得：，，∴當時，，當時，，故矩形的長為，矩形的寬為．22.數(shù)學課上，發(fā)現(xiàn)結(jié)論“三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”后，張明同學又提出一個新的問題：過三角形一邊中點，且平行于另一邊的直線，是否會過第三邊的中點呢？為研究此問題，同學們進行了作圖，并將問題進行如下轉(zhuǎn)述．已知：在中，點D是中點，過點D作，交于點E．求證：．以下是兩位同學給出的輔助線做法，請你選擇其中一種做法，補全圖形，完成證明．張明同學：作輔助線：延長到點F，使得，連接．李宏同學：作輔助線：過點E作，交于點F．

【答案】見【解析】【分析】本題主要考查了平時四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．張明同學：延長到點F，使得，連接．先證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出，，進一步證明四邊形是平時四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出．李宏同學：過點E作，交于點F．先證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，進一步證明，再證明，由全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．張明同學：證明：延長到點F，使得，連接．∵點D是中點，∴，在和中，∴，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平時四邊形，∴，∴．李宏同學：證明：過點E作，交于點F．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點D是中點，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．23.為增強學生的消防安全意識，某校舉行了一次全校學生參加的消防安全知識競賽．從中隨機抽取n名學生的競賽成績進行分析，按成績（滿分100分，所有競賽成績均不低于60分）分成四個等級（D：；C：；B：；A：），并根據(jù)分析結(jié)果繪制頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________；（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）若把等級定為“優(yōu)秀”等級，請你估計該校參加競賽的1000名學生中達到“優(yōu)秀”等級的學生人數(shù)．【答案】（1）200，36（2）見解析（3）160人【解析】【分析】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本評估總體，能從頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．（1）利用A等的百分比及頻數(shù)可求得n，利用C等的頻數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘即可求解；（2）利用先求出D等學生人數(shù)，再根據(jù)D等學生人數(shù)進行補全頻數(shù)分布直方圖即可；（3）利用樣本評估總體的方法即可求解．【小問1】解：，，故答案為：200，36；【小問2】D等的學生人數(shù)為：（人），補全條形圖如下：【小問3】（人），答：估計該校參加競賽的1000名學生中達到“優(yōu)秀”等級的學生人數(shù)為160人．24.如圖，在平面直角坐標系中，正方形網(wǎng)格的每個小正方形邊長都是1個單位長度，小正方形的頂點叫做格點，點A，B都是格點．請按下列要求在的網(wǎng)格中完成畫圖，并回答問題．（1）在圖1中，點P是線段中點，請作出點C關(guān)于點P的對稱點D；（2）以點A，B為頂點的矩形中，存在頂點在函數(shù)的圖象上：①請在圖2中作出一個符合要求的矩形；②所有滿足要求的矩形對角線長分別為________．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②5或【解析】【分析】題目主要考查利用網(wǎng)格作圖及矩形的性質(zhì)，網(wǎng)格與勾股定理，理解題意，利用網(wǎng)格作圖是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及網(wǎng)格即可作圖；（2）①先作出直線，然后利用矩形的性質(zhì)即可作圖；②根據(jù)①中圖及網(wǎng)格，求出矩形的對角線長即可．【小問1】解：如圖所示：點D即為所求；【小問2】①如圖所示：矩形或矩形即為所求；②由①得矩形對角線的長度為，矩形對角線的長度，∴滿足要求的矩形對角線長分別為5或，故答案為：5或．25.如圖，在平行四邊形中，平分交延長線于點E，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求菱形的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形，三角函數(shù)等知識．解題的關(guān)鍵是解直角三角形．（1）首先證明四邊形是平行四邊形，再證，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）過作，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)及及勾股定理和菱形的面積公式解答即可．【小問1】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；【小問2】如圖，過作，∴，∵四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴．∴四邊形的面積為．26.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點．（1）當該函數(shù)圖象過點時，求這個一次函數(shù)表達式；（2）當時，求k的取值范圍；（3）當時，對于x的每一個值，一次函數(shù)的值大于的值，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式的綜合問題，求一次函數(shù)關(guān)系式，對于（1），將坐標代入關(guān)系式可得答案；對于（2），將點A的坐標代入關(guān)系式，可得關(guān)于m，k的關(guān)系式，進而得出不等式，求出解集即可；對于（3），將代入，求出交點坐標，進而求出m的值，即可得出答案．【小問1】將點代入，得，解得．所以一次函數(shù)關(guān)系式為；【小問2】將點代入，得，即．∵，∴，當時，．即；當時，（舍）.所以k的取值范圍為；【小問3】．當時，．將代入，得，∴當時，一次函數(shù)的值大于的值，解得．27.如圖，在正方形中，點E和F分別在和上，且關(guān)于對稱，連接，，過點F作，點G在的右側(cè)，且，連接交于H，連接．（1）請依題意補全圖形，求證：；（2）猜想的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）圖形見解析，證明見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中要求畫出圖像，通過垂直平分線性質(zhì)，正方形性質(zhì)證明即可得出結(jié)論；（2）過點G作垂直于的延長線于點K，過點F作于點I，交于點N，連接，證明四邊形為正方形，四邊形為矩形，四邊形為正方形，得到，再利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，對頂角相等即可得出從而得到．【小問1】解：補全圖形如下：分別在和上，且關(guān)于對稱，垂直平分，為正方形，，，，，，，，在與中，，，；【小問2】解：如圖，過點G作垂直于的延長線于點K，過點F作于點I，交于點N，連接，則四邊形為矩形，垂直平分，四邊形為正方形，四邊形為矩形，，，，四邊形為正方形，，，，即，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，準確作出輔助線構(gòu)造矩形，正方形是解題關(guān)鍵．28.在平面直角坐標系中，對于兩個點P，Q和圖形W，給出如下定義：若射線與圖形W的一個交點為M，射線與圖形W的一個交點為N，且滿足四邊形為平行四邊形，則稱點Q是點P關(guān)于圖形W的“平心點”．如圖1中，點Q是點P關(guān)于圖中線段的“平心點”．已知點：．（1）點，F(xiàn)中，是點C關(guān)于直線“平心點”的有______