2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第三章3.1　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(學(xué)生版+解析)

§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．知識梳理1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作____________或________．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝____________________.(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的________，相應(yīng)的切線方程為________________________________．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝____________________；[f(x)g(x)]′＝____________________；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝____________.5．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝________________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．常用結(jié)論1．區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條．(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．()(2)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)(cos2x)′＝－2sin2x.()教材改編題1．若函數(shù)f(x)＝3x＋sin2x，則()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2xD．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1處的切線方程為________．3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝________.題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1(1)下列求導(dǎo)正確的是()A．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)D．(2x＋cosx)′＝2xln2＋sinx聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，則f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)．(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解．(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，則f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，則f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝eq\f(x,ex)，則f′(x)＝eq\f(1－x,ex)D．若f(x)＝xlnx，則f′(x)＝lnx＋1(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2(1)(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)＝2e2lnx＋x2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為()A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·新高考全國Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________________，________________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2求參數(shù)的值(范圍)例3(1)(2022·重慶模擬)已知a為非零實(shí)數(shù)，直線y＝x＋1與曲線y＝aln(x＋1)相切，則a＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”．跟蹤訓(xùn)練2(1)曲線f(x)＝eq\f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))處的切線方程為()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2(2)(2023·瀘州模擬)已知曲線y＝eq\f(acosx,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))處的切線方程為y＝eq\f(2,π2)x＋b，則a的值是()A.eq\f(4,π)B．－2C．－eq\f(4,π)D．2題型三兩曲線的公切線例4(1)若直線l：y＝kx＋b(k>1)為曲線f(x)＝ex－1與曲線g(x)＝elnx的公切線，則l的縱截距b等于()A．0B．1C．eD．－e聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·晉中模擬)若兩曲線y＝lnx－1與y＝ax2存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,2e] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e－3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝h(x)在公共點(diǎn)處的切線相同，則m等于()A．－3B．1C．3D．5(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，則f(x)與g(x)的公切線有()A．0條B．1條C．2條D．3條§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．知識梳理1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．常用結(jié)論1．區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條．(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(×)(2)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．(×)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(4)(cos2x)′＝－2sin2x.(√)教材改編題1．若函數(shù)f(x)＝3x＋sin2x，則()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2xD．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x＋sin2x，所以f′(x)＝3xln3＋2cos2x.2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1處的切線方程為________．答案y＝(e－1)x＋2解析由題意得，f′(x)＝ex－eq\f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又∵f(1)＝e＋1，∴切點(diǎn)為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝________.答案－eq\f(1,e)解析由題意得f′(x)＝1＋lnx＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,e).題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1(1)下列求導(dǎo)正確的是()A．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)D．(2x＋cosx)′＝2xln2＋sinx答案B解析對于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A錯誤；對于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正確；對于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2sinx′x2－2sinxx2′,x4)＝eq\f(2xcosx－4sinx,x3)，故C錯誤；對于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D錯誤．(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，則f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因?yàn)閒(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思維升華(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)．(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解．(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，則f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，則f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝eq\f(x,ex)，則f′(x)＝eq\f(1－x,ex)D．若f(x)＝xlnx，則f′(x)＝lnx＋1答案B解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正確；f(x)＝e－2x＋1，則f′(x)＝－2e－2x＋1，故B錯誤；f(x)＝eq\f(x,ex)，f′(x)＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex)，故C正確；f(x)＝xlnx，f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，故D正確．(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.答案eq\f(π2,36)＋eq\f(2π,3)解析∵f′(x)＝2x＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))cosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(4π,3)，∴f(x)＝x2＋eq\f(4π,3)sinx，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π2,36)＋eq\f(2π,3).題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2(1)(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)＝2e2lnx＋x2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為()A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0答案B解析因?yàn)閒(x)＝2e2lnx＋x2，所以f′(x)＝eq\f(2e2,x)＋2x，所以f(e)＝2e2lne＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全國Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為__________，____________.答案y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x解析先求當(dāng)x>0時，曲線y＝lnx過原點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則由y′＝eq\f(1,x)，得切線斜率為eq\f(1,x0)，又切線的斜率為eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切線斜率為eq\f(1,e)，切線方程為y＝eq\f(1,e)x.同理可求得當(dāng)x<0時的切線方程為y＝－eq\f(1,e)x.綜上可知，兩條切線方程為y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.命題點(diǎn)2求參數(shù)的值(范圍)例3(1)(2022·重慶模擬)已知a為非零實(shí)數(shù)，直線y＝x＋1與曲線y＝aln(x＋1)相切，則a＝________.答案e解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，aln(t＋1))，對函數(shù)y＝aln(x＋1)求導(dǎo)得y′＝eq\f(a,x＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,t＋1)＝1，,alnt＋1＝t＋1，))解得t＝e－1，a＝e.(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因?yàn)閥＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.設(shè)切點(diǎn)為A(x0，(x0＋a))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得，切線斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化簡，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因?yàn)榍€y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以關(guān)于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思維升華(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”．跟蹤訓(xùn)練2(1)曲線f(x)＝eq\f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))處的切線方程為()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2答案A解析由題知f′(x)＝eq\f(2x＋1ex－x2＋x－2ex,ex2)＝eq\f(－x2＋x＋3,ex)，所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲線f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.(2)(2023·瀘州模擬)已知曲線y＝eq\f(acosx,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))處的切線方程為y＝eq\f(2,π2)x＋b，則a的值是()A.eq\f(4,π)B．－2C．－eq\f(4,π)D．2答案D解析令y＝f(x)＝eq\f(acosx,x)，則f′(x)＝eq\f(－axsinx＋cosx,x2)，曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))處的切線的斜率為f′(π)＝eq\f(a,π2)＝eq\f(2,π2)，解得a＝2.題型三兩曲線的公切線例4(1)若直線l：y＝kx＋b(k>1)為曲線f(x)＝ex－1與曲線g(x)＝elnx的公切線，則l的縱截距b等于()A．0B．1C．eD．－e答案D解析設(shè)l與f(x)的切點(diǎn)為(x1，y1)，則由f′(x)＝ex－1，得l：y＝同理，設(shè)l與g(x)的切點(diǎn)為(x2，y2)，則由g′(x)＝eq\f(e,x)，得l：y＝eq\f(e,x2)x＋e(lnx2－1)．故解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝e))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,x2＝1.))則l：y＝x或y＝ex－e.因?yàn)閗>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.(2)(2023·晉中模擬)若兩曲線y＝lnx－1與y＝ax2存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,2e] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e－3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)答案B解析設(shè)公切線與曲線y＝lnx－1和y＝ax2的切點(diǎn)分別為(x1，lnx1－1)，(x2，axeq\o\al(2,2))，其中x1>0，對于y＝lnx－1有y′＝eq\f(1,x)，則y＝lnx－1的切線方程為y－(lnx1－1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，即y＝eq\f(x,x1)＋lnx1－2，對于y＝ax2有y′＝2ax，則y＝ax2的切線方程為y－axeq\o\al(2,2)＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－axeq\o\al(2,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝2ax2，,lnx1－2＝－ax\o\al(2,2)，))則－eq\f(1,4ax\o\al(2,1))＝lnx1－2，即eq\f(1,4a)＝2xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,1)lnx1(x1>0)，令g(x)＝2x2－x2lnx，則g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝，當(dāng)x∈(0，)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g()＝eq\f(1,2)e3，故0<eq\f(1,4a)≤eq\f(1,2)e3，即a≥eq\f(1,2)e－3.思維升華公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝h(x)在公共點(diǎn)處的切線相同，則m等于()A．－3B．1C．3D．5答案D解析依題意，設(shè)曲線y＝f(x)與y＝h(x)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同．∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，∴f′(x)＝2x，h′(x)＝eq\f(6,x)－4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx0＝hx0，,f′x0＝h′x0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－m＝6lnx0－4x0，,2x0＝\f(6,x0)－4，))∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，則f(x)與g(x)的公切線有()A．0條B．1條C．2條D．3條答案C解析根據(jù)題意，設(shè)直線l與f(x)＝ex－1相切于點(diǎn)(m，em－1)，與g(x)相切于點(diǎn)(n，lnn＋1)(n>0)，對于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，則k1＝em，則直線l的方程為y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，對于g(x)＝lnx＋1，g′(x)＝eq\f(1,x)，則k2＝eq\f(1,n)，則直線l的方程為y－(lnn＋1)＝eq\f(1,n)(x－n)，即y＝eq\f(1,n)x＋lnn，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(em＝\f(1,n)，,1－mem＝lnn＋1，))可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，則切線方程為y＝ex－1或y＝x，故f(x)與g(x)的公切線有兩條．課時精練1．(2023·廣州模擬)曲線y＝x3＋1在點(diǎn)(－1，a)處的切線方程為()A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3答案A解析因?yàn)閒′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又當(dāng)x＝－1時，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在點(diǎn)(－1，a)處的切線方程為y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2．記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若f(x)＝exsin2x，則f′(0)等于()A．2B．1C．0D．－1答案A解析因?yàn)閒(x)＝exsin2x，則f′(x)＝ex(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2.3．(2022·廣西三市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程為y＝eq\f(1,2)x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析由題意得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.4．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(diǎn)(0，－e)，且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的斜率為()A．－2B．2C．－eD．e答案B解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，tlnt)，∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，直線l的斜率為f′(t)＝lnt＋1，∴直線l的方程為y－tlnt＝(lnt＋1)(x－t)，將點(diǎn)(0，－e)的坐標(biāo)代入直線l的方程得－e－tlnt＝－t(lnt＋1)，解得t＝e，∴直線l的斜率為f′(e)＝2.5．已知函數(shù)f(x)＝alnx，g(x)＝bex，若直線y＝kx(k>0)與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，則a＋eq\f(1,b)的最小值為()A．2B．2eC．e2D.eq\r(e)答案B解析設(shè)直線y＝kx與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象相切的切點(diǎn)分別為A(m，km)，B(n，kn)．由f′(x)＝eq\f(a,x)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(km＝alnm，,\f(a,m)＝k，))解得m＝e，a＝ek.又由g′(x)＝bex，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kn＝ben，,ben＝k，))解得n＝1，b＝eq\f(k,e)，所以a＋eq\f(1,b)＝ek＋eq\f(e,k)≥2eq\r(e2)＝2e，當(dāng)且僅當(dāng)a＝e，b＝eq\f(1,e)時等號成立．6．已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為()A.eq\f(27,8)B．－2C．2D．－eq\f(27,8)答案A解析由f(x)＝x3－ax＋a，得f′(x)＝3x2－a，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)－ax0＋a)，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－a，∴過切點(diǎn)的切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq\o\al(2,0)－a)(x－x0)，∵切線過點(diǎn)A(1,0)，∴－xeq\o\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq\o\al(2,0)－a)(1－x0)，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).∴f′(0)＝－a，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(27,4)－a，由兩切線的傾斜角互補(bǔ)，得－a＝a－eq\f(27,4)，∴a＝eq\f(27,8).7．寫出一個同時具有性質(zhì)：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0的函數(shù)f(x)＝________.答案lnx(答案不唯一)解析若函數(shù)f(x)＝lnx，則f(x1x2)＝ln(x1x2)＝lnx1＋lnx2＝f(x1)＋f(x2)，滿足①；f(x)＝lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)>0，滿足②，故f(x)＝lnx符合題意．8．已知函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，則f′(3)＝________.答案12解析由題意得，f′(x)＝x(x－1)(x－2)(x－4)·(x－5)＋(x－3)[x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)]′，所以f′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12.9．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在點(diǎn)(e2，f(e2))處的切線方程．解(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，∴f′(e)＝－eq\f(1,e)，f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，∴f(e)＝－eq\f(2e,e)＋lne＝－1.(2)∵f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，f′(x)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,x)，∴f(e2)＝－eq\f(2e2,e)＋lne2＝2－2e，f′(e2)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,e2)，∴f(x)在點(diǎn)(e2，f(e2))處的切線方程為y－(2－2e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,e)＋\f(1,e2)))(x－e2)，即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.10．(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線也是曲線y＝g(x)的切線．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范圍．解(1)當(dāng)x1＝－1時，f(－1)＝0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切線斜率k＝f′(－1)＝2，所以切線方程為y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.將y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切線與曲線y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線斜率k＝f′(x1)＝3xeq\o\al(2,1)－1，又f(x1)＝xeq\o\al(3,1)－x1，所以切線方程為y－(xeq\o\al(3,1)－x1)＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).將y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)代入y＝x2＋a，得x2－(3xeq\o\al(2,1)－1)x＋a＋2xeq\o\al(3,1)＝0.由切線與曲線y＝g(x)也相切，得Δ＝(3xeq\o\al(2,1)－1)2－4(a＋2xeq\o\al(3,1))＝0，整理，得4a＝9xeq\o\al(4,1)－8xeq\o\al(3,1)－6xeq\o\al(2,1)＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.則h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,3)，0,1，當(dāng)x變化時，h′(x)，h(x)的變化如表所示，x(－∞，－eq\f(1,3))－eq\f(1,3)(－eq\f(1,3)，0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)↘極小值↗極大值↘極小值↗由表知，當(dāng)x＝－eq\f(1,3)時，h(x)取得極小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(20,27)，當(dāng)x＝1時，h(x)取得極小值h(1)＝－4，易知當(dāng)x→－∞時，h(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時，h(x)→＋∞，所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．11．已知曲線y＝ex在點(diǎn)(x1，)處的切線與曲線y＝lnx在點(diǎn)(x2，lnx2)處的切線相同，則(x1＋1)(x2－1)等于()A．－1B．－2C．1D．2答案B解析已知曲線y＝ex在點(diǎn)(x1，)處的切線方程為y－＝(x－x1)，即y＝曲線y＝lnx在點(diǎn)(x2，lnx2)處的切線方程為y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)x－1＋lnx2，由題意得解得x2＝，＝－1＋＝－1－x1，則＝eq\f(x1＋1,x1－1)，又x2＝，所以x2＝eq\f(x1－1,x1＋1)，所以x2－1＝eq\f(x1－1,x1＋1)－1＝eq\f(－2,x1＋1)，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.12．我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為eq\f(0,0)型分式，比如：當(dāng)x→0時，eq\f(ex－1,x)的極限即為eq\f(0,0)型．兩個無窮小之比的極限可