2023-2024學(xué)年安徽省安慶一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年安徽省安慶一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z+1)i=?1?i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,2)，b=(2,x)，則“(a+b)⊥(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖.若B′C′=2，A′B′=2，∠A′B′C′=30°，則△ABC的面積為(

)A.2

B.22

C.4

4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若acosC+ccosA=a，則△ABC的形狀一定(

)A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形5.設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線(xiàn)，則下列命題為真命題的是(

)A.若α⊥β，m?α，l⊥β，則m/?/l

B.若m?a，l?β，α/?/β，則m/?/l

C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l⊥β

D.若α∩β=l，m/?/l，m⊥γ，則α⊥γ6.已知正六棱錐S?ABCDEF底面邊長(zhǎng)為2，體積為43，則S?ABCDEF外接球的體積為(

)A.8π3 B.16π3 C.32π37.如圖，已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BE與PC所成角的余弦值為(

)A.63

B.?63

8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=4，P為CC1的中點(diǎn)，E在棱A.6 B.8 C.12 D.16二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于△ABC有如下命題，其中正確的是(

)A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，則△ABC為鈍角三角形

B.若B=π3，a=23，且△ABC有兩解，則b的取值范圍是(3,23)10.如圖，從一個(gè)正方體中挖掉一個(gè)四棱錐，然后從任意面剖開(kāi)此幾何體.下列可能是該幾何體的截面的為(

)A.

B.

C.

D.11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，A.C1P的最小值為6

B.PB+PC的最小值為23+6

C.三棱錐B1?ACP的體積為83

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面內(nèi)非零向量a在向量b上的投影向量為?12b，且|a|=3|b|13.如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面BA1

14.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BM/?/

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線(xiàn)PA，PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形PAC的頂角為90°，若△PAB的面積為215．

(1)求該圓錐的側(cè)面積；

16.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠A1CA=45°．

(1)求直三棱柱ABC?A1B1C1的體積；

(2)17.(本小題12分)

已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=(b+c,sinA)，n=(a+b,sinC?sinB)，且m/?/n．

(1)求角C；

(2)若b=4，△ABC的面積為418.(本小題12分)

如圖，在四棱錐Q?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面QAD是正三角形，側(cè)面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中點(diǎn)．

(1)求證：AM⊥平面QCD；

(2)求側(cè)面QBC與底面ABCD所成二面角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在點(diǎn)N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC，如果不存在，說(shuō)明理由．19.(本小題12分)

利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(duì)(z1,z2)(其中z1，z2∈C)視為一個(gè)向量，記作α=(z1,z2).類(lèi)比平面向量可以定義其運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)向量α=(z1,z2)，β=(z1′,z2′)的數(shù)量積定義為一個(gè)復(fù)數(shù)，記作a?β，滿(mǎn)足α?β=z1z1?′+z2z2?′，復(fù)向量α的模定義為|α|=α?α′．

(1)設(shè)α=(1?i,i)，β=(3,4)，i為虛數(shù)單位，求復(fù)向量α、β的模；

(2)參考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.?113.214.[215.解：(1)設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)、底面半徑分別為l(l>0)、r(r>0)，

由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°，

則l2+l2=(2r)2，

解得l=2r，

又cos∠APB=14，

所以sin∠APB=1?cos2∠APB=1?(14)2=154，

又因?yàn)椤鱌AB的面積為215，

所以S△PAB=12PA?PB?sin∠APB=12l2×154=215，

解得l=4(負(fù)值舍去)，

16.解：(1)因?yàn)樵谥比庵鵄BC?A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠A1CA=45°．

所以BC=10，S△ABC=12AB?AC=24，

所以直三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=S△ABC?AA1=144．

(2)證明：連接A1B∩AB1=E，連接DE，由矩形ABB1A1，得E是A1B的中點(diǎn)，而D是BC邊的中點(diǎn)，

則DE/?/A1C，又A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，

所以A1C/?/平面AB1D.

(3)當(dāng)小蟲(chóng)從點(diǎn)A1沿△A1B1C1爬到點(diǎn)D，把矩形ABB1A1與△A1B1C1置于同一平面內(nèi)，如圖，

連接A1D，過(guò)A1作A1F⊥BC于F，交B1C1于點(diǎn)O，

由BC/?/B1C1，得A1O⊥B1C1，A1O=A1B1?A1C1B1C1=8×682+62=245，AF=245+6=545，

OC1=A117.解：(1)由向量平行的坐標(biāo)公式可得(b+c)(sinC?sinB)?(a+b)sinA=0，

由正弦定理可得(b+c)(c?b)?(a+b)a=0，

即?ab=a2+b2?c2，故cosC=a2+b2?c22ab=?12，

因?yàn)镃∈(0,π)，故C=2π3．

(2)由三角形面積公式，418.(1)證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，

又側(cè)面QAD⊥底面ABCD，側(cè)面QAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面QAD，又AM?平面QAD，

所以CD⊥AM，

因?yàn)椤鱍AD是正三角形，M是QD的中點(diǎn)，則AM⊥QD，

又CD∩QD=D，CD，PD?平面QCD，

所以AM⊥平面QCD；

(2)解：取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，QE，QF，

則EF=CD，EF//CD，所以EF⊥AD，

在正△QAD中，QE⊥AD，

因?yàn)镋F∩QE=E，EF，QE?平面QEF，

則AD⊥平面QEF，

在正方形ABCD中，AD//BC，

故BC⊥平面QEF，

所以∠QFE是側(cè)面QBC與底面ABCD所成二面角的平面角，

由CD⊥平面QAD，EF//CD，

則EF⊥平面QEF，又PE?平面QAD，

所以EF⊥QE，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD=2a，則EF=2a，QE=3a，

所以QF=QE2+EF2=7a，

則cos∠QFE=EFQF=277，

故側(cè)面QBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為277．

(3)解：當(dāng)QNNC=12時(shí)，平面BDN⊥平面AMC．

由正方形ABCD可得AC⊥BD．

又CD⊥AD，平面