湘教版數(shù)學七年級下冊2. 2 乘法公式教案

2.2乘法公式

2.2.1平方差公式

【教學目標】

1?使學生理解和掌握平方差公式.

2-會利用公式進行計算，能夠掌握平方差公式的一些應用.

【教學重難點】

重點：弄清平方差公式的來源及其結構特點，能用自己的語言說明公式及其特點.

難點：準確理解和掌握公式的結構特征.

【教學過程】

【情景導入，初步認識】

回顧整式乘法中多項式與多項式相乘

1?多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加.符號表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba.

2?兩項式乘以兩項式，結果可能是兩項嗎？請你舉例說明.

教學說明

平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式乘以多

項式法則，設計這一環(huán)節(jié)的目的是在復習上節(jié)課知識的基礎上，為本節(jié)課的學習做好知識準

【思考探究，獲取新知】

1?計算下列各式：

(2),3+2)3—2)；

=,a1—a+a—I2=d-2。+2〃-22

=,〃2-1=,6/2—4

(3),(a+3)(a—3)；(4),(a+4)(a—4)；

22=,〃2—4〃+4。一42

=fa—3a+3a—3

=,n2-9=,足一16

2?觀察以上算式及其運算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能計算(。+刀3—刀嗎？

歸納總結

平方差公式：m+b)3—6)=屏一/，兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.

教學說明

在上一環(huán)節(jié)的基礎上，引入形式特殊的多項式乘以多項式，使學生在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，體會規(guī)律的一般性，提出自己的猜想，并嘗試用數(shù)學語言進行描述.

3?應用平方差公式時應注意些什么呢？

(1)注意平方差公式的適用范圍；

(2)字母人b可以是數(shù)，也可以是整式；

(3)注意計算過程中的符號和括號.

4?如圖，將邊長為a的大正方形減去一個邊長為b的小正方形，并將剩

余的部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，在將這兩個長方形拼成如圖2，你能用這兩個

圖形來解釋平方差公式嗎？

圖1

①請表示圖1中陰影部分的面積.

②小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖2)，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表

示出它的面積嗎？

③比較①，②的結果，你能驗證平方差公式嗎？

④敘述平方差公式的數(shù)學表達式及文字表達式;

⑤試比較公式的兩種表達式在應用上的差異.

歸納結論

(a+〃)(a—份=*一分

教學說明

經過對兩個圖形的面積的計算使學生明白可以通過幾何圖形對平方差公式進行驗證.進

一步加深對平方差公式的理解.

【運用新知，深化理解】

1?見教材P43例1、例2、例3.

2?填空題.

(x+6)(6—x)='

(―x+2)(—x—2)='

(-26z2-5/?)()=442—25笈

1

答案:36—N；x2—4：—2a2-\-5b.

3?下列式中能用平方差公式計算的有(D)

11

①(x—2y)(x+，y)

②(3a—hc){—he—3a)

③(3-x+y)(3+x+y)

@(100+1)(100-1)

A?1個B.2個C.3個D.4個

4?下列式中，運算正確的是(C)

①(22〃)2=4。2

②(一哀+1)(1+我)=1一雙2

③(〃2—1尸(1—m)3=(m—I)56

④2a義4"義8=20+2〃+3

A?①②B.②③C.②④D.③④

5?乘法等式中的字母心〃表示（D）

A?只能是數(shù)

B?只能是單項式

C?只能是多項式

D■單項式、多項式都可以

6?計算：

(1)(2?！?b)(2a+3b)；

解：原式=(2a)2-(36)2=4a2-?2

(2)(—p2+q)(—p2—g)；

解：原式=(一獷)2—(q)2=p4一爐

(3)(4〃-7份(44+7匕)；

解：原式=(4。)2—(7加2=16〃-49左

(4)(3?+2/?)(3?-2^)

1111

解：原式=(§4)2—(協(xié))2=訪2_揚

(5)-[(5+2x)(5-2x)]

解：原式=-[(5+2x)(5-2x)]

=-[52-(2x)2]=-25+4N

(6)403X397.

解：原式=(400+3)(400-3)

=40()2—32=159991

7?計算(。+1)(。-1)02+1)(44+

解:原式=(a2-i)(a2+])(d+D38+i)

=(a4-l)(a4+l)(?8+l)

=38—1)(48+])

=6716—1

教學說明

在深刻理解公式的基礎上，借助例題訓練學生正確應用公式計算，體會公式在簡化運算

中的作用，并通過鞏固練習，進一步強化技能.

【師生互動，課堂小結】

1?平方差公式：(。+加(。一①=。2—匕2公式的結構特點：左邊是兩個二項式的乘積，即

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.

2?應用平方差公式的注意事項：

(1)注意平方差公式的適用范圍；

(2)字母°、。可以是數(shù)，也可以是整式；

(3)注意計算過程中的符號和括號.

【課后作業(yè)】

1?布置作業(yè)：教材第50頁“習題2.2”中第1題.

2?完成同步練習冊中本課時的練習.

2.2.2完全平方公式

第1課時完全平方公式

【教學目標】

理解公式的本質，從不同的層次上理解完全平方公式，并會運用公式進行簡單的計算，

了解完全平方公式的幾何背景.

過程與方法

經歷探索完全平方公式的過程，并從推導過程中，培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、

猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達能力，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識.

情感態(tài)度價值觀

在學習中使學生體會學習數(shù)學的樂趣，培養(yǎng)學習數(shù)學的信心，感受數(shù)學的內在美.

【教學重難點】

重點：1.弄清完全平方公式的來源及其結構特點，用自己的語言說明公式及其特點

2?會用完全平方公式進行運算.

難點：會用完全平方公式進行運算.

【教學過程】

【情景導入，初步認識】

同學們，前面我們學習了多項式乘多項式法則和合并同類項法則你會計算下列各題嗎？

(x+3)2—，(x—3)2—，

這些式子的左邊和右邊有什么規(guī)律？再做幾個試一試：(2,〃+3")2=>(2m—3n)2=.

教學說明

讓學生運用多項式乘以多項式的法則進行計算，為本節(jié)課學習完全平方公式做準備.

【思考探究，獲取新知】

1?計算下列式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(D(“+l)2；

=3+1)3+1)

=。2+“+”+12

=a2+2Xa+12

=a2+2a+l2

(2)(a+2)2；

=(a+2)(a+2)

—6Z2+26t+2a+22

=*+2X24+22

=a2+4a+22

規(guī)律：(a+b)2—a2-\-lab+b2.

2?觀察上面的計算結果，回答下列問題：

(1)原式的特點？兩數(shù)和的平方.

(2)結果的項數(shù)特點？等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍.

(3)三項系數(shù)的特點？(特別是符號的特點).

(4)三項與原多項式中兩個單項式的關系.

3?再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn).

4?你能用自己的語言敘述這一公式嗎？

歸納結論

兩數(shù)和的平方，等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍.BP：(a+b)2=c^+2ab+b2.

5?用一個邊長為的正方形按下圖分割成4塊，你能用這個圖形來解釋完全平方公

式嗎？

6.議一議：(。一份2=?你是怎樣做的？

7■你能自己設計一個圖形解釋這一公式嗎？并用自己的語言敘述這一公式.

歸納結論

兩數(shù)差的平方,等于它們平方的和，減去它們乘積的兩倍.即：(4一與2=。2—2時+按.

上面的兩個公式稱為完全平方公式.

8?分析完全平方公式的結構特點，并用語言來描述完全平方公式.

結構特點：左邊是二項式(兩數(shù)和(差))的平方；右邊是兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘

積的兩倍.

語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的兩倍.

教學說明

讓學生觀察、思考、總結，歸納，使之掌握基本的數(shù)學活動經驗，讓學生用文字語言表

示公式，提高學生運用數(shù)學語言的能力.

【運用新知，深化理解】

1?見教材P45例4.

2?填空題：

(x+3y)2=；(>=942—+16/；

=)2—y+4；(-x—y)=x2+2xy+y2.

1

答案：x2+6xy+9j2;3a~4b;24a/?;(y—2)2;(—x—y).

3?下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算(C)

A?(a+b)(a+c)B.(x+y)(—y+x)

C,(ab—3x)(—3x+ah)D.(，“一”)(，"+")

4?計算：

1

反-2y尸；

11

解：原式=(云)2—2(云)(2y)+(2y)2

1

=*2-2xy+4y2.

(2xy+5x)2；

解：原式=(2r)，)2+2(2xy)(5^)+(5^)2

41

=4x2y1+5x1y+25x2.

(4x+0.5)2；

解：原式=(4X)2+2X4XX0.5+(0.5)2

=16x2+4x+0.25.

(2x2—3y2)2.

解：原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2

=4/-12x2y2+9y9

5?利用完全平方公式計算：

(1)(—1—2x)2；

解：原式=(-1)2-2X(—1)X(2X)+(2X)2

=1+4x+4N.

(2)(-2r+l)2.

解：原式=(-2%產+2(-2x)Xl+M

=4/—4x+1.

教學說明

讓學生熟悉公式的特征，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納概括的能力；讓學生思考、得出

結論，可以使學生有效避免出現(xiàn)易錯的符號問題.

【師生互動，課堂小結】

通過本節(jié)課的學習，你在知識上有哪些收獲，哪些能力得到了提高？

引導學生自主總結，組織學生互相交流各自的收獲與體會，成功與失敗.明確以下幾點：

I-完全平方公式是兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式的統(tǒng)稱.

2?公式中的4、力可以是任意數(shù)或代數(shù)式.

3-公式的條件是：兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方.

【課后作業(yè)】

I?布置作業(yè)：教材第50頁“習題2.2”.中第2、3題.

2?完成同步練習冊中本課時的練習.

第2課時應用完全平方公式進行計算

【教學目標】

1?熟記完全平方公式，能說出公式的結構特征，進一步發(fā)展學生的符號感.

2?能夠運用完全平方公式進行簡便運算，體會符號運算對解決問題的作用.

【教學重難點】

重點：運用完全平方公式進行一些數(shù)的簡便運算.

難點：靈活運用完全平方公式進行整式的簡便運算.

【教學過程】

【情景導入，初步認識】

復習已學過的完全平方公式.

1?完全平方公式：

(a-\-h)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2—2ab+b2.

2-公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減.

3,想一想：

(1)兩個公式中的字母都能表示什么？

數(shù)或代數(shù)式

(2)根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計算多個數(shù)的和或差的平方嗎？

(3)完全平方公式在計算化簡中有些什么作用？

教學說明

本堂課的學習方向首先仍是對于完全平方公式的進一步鞏固應用，因而復習是很有必要

的，這為后面的學習奠定了一定的基礎，同時經過本環(huán)節(jié)中的第三個問題的思考，也使學生

明確了本節(jié)課學習的初步目標，起到了承上啟下的作用.

【思考探究，獲取新知】

1?運用完全平方公式計算：

(l)(-x+1)2；

解：(―x+l)2=(—x)2+2(—x)-l+l2=x2—2x+l.

(2)(-2x-3)2.

解：=[-(2x+3)]2

=(2x+3)2

=4x2+12x+9.

2?計算：

(l)(a+b)2—(a—b)2；

解:(a-kb)2—(a—b)2

=a2+2ab+b2—(a2-2ab+b2')

=a2+2?/7+/?2—a2+2a/7—fe2

=4ab.(2)(tz+Z>+1)2；

解：(a+，+l)2

=[(a+6)+I]2

=(a+b)2+2(a+b)+l

=6J2+2a/>+Z>2+24/+2Z>+1.

3?計算：

(l)1042；

解：1042=(100+4)2=1002+2義100X4+42=10000+800+16=10816.

(2)1982；

解：198?=(200—2)2=20()2-2X200X2+22=40000-800+4=39204.

教學說明

能夠運用完全平方公式進行一些有關數(shù)的簡便運算，進一步體會完全平方公式在實際當

中的應用，并通過練習加以鞏固.需要注意的是，本題的目的是進一步鞏固完全平方公式，

體會符號運算對解決問題的作用，不要在簡便運算上做過多練習.

【運用新知，深化理解】

I?若(尤一5)2=/+履+25，則無=(D)

A-5B.-5C.10D.-10

2?如果N+4x+N恰好是另一個整式的平方，那么常數(shù)k的值為(D)

A-4B.2C.-2D.±2

3?用完全平方差公式計算.

(1)9.8X10.2；

解：原式=(10—02)(10+0.2)

=102-0.22=100-0.04

=99.96.

(2)89.82；

解:原式=(90—0.2)2

=902-2X0.2X90+0.22

=8064.04.

(3)472—94X27+272；

解：原式=472-2X47X27+27?

=(47—27戶

=202

=400.

(4)(“+b+c)2；

解：原式=[(a+8)+c]2

=(a+Z>)2+2(a+&)-c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

4?(1)已知a+b—35ah—2'求a2+b2.

角星：a2+h2=(a+b)2—2ah.

"."a+b=3>ab=2>

：.a2+b2=32~2X2=5.

(2)若已知a+b—\Q'a2-\-b2—4'ab的值呢？

解：Va+/>=10>

.?.3+6)2=102=100，

即“2+2燦+62=100，,2岫=100—0+兒).

又,.,。2+爐=4>/.2ab=100—4'ab=4S.

教學說明

使學生進一步熟悉乘法公式的運用，同時進一步體會完全平方公式中字母。力的含義是

很廣泛的，它可以是數(shù)，也可以是整式.

【師生互動，課堂小結】

1?完全平方公式的使用：

在做題過程中一定要注意符號問題和正確認識4、6表示的意義，它們可以是數(shù)、也可以

是單項式，還可以是多項式，所以要記得添括號.

2?解題技巧：

在解題之前應注意觀察思考，選擇不同的方法會有不同的效果，要學會優(yōu)化選擇.

【課后作業(yè)】

1?布置作業(yè)：教材第50頁“習題2.2”中第4題.

2?完成同步練習冊中本課時的練習.

2.2.3運用乘法公式進行計算

【教學目標】

1?熟練地運用乘法公式進行計算.

2?能正確地根據(jù)題目的要求選擇不同的乘法公式進行運算.

【教學重難點】

重點：正確選擇乘法公式進行運算.

難點：綜合運用平方差和完全平方公式進行多項式的計算.

【教學過程】

【情景導入，初步認識】

1?什么是平方差公式？

2?什么是完全平方公式？

3?在應用乘法公式時應注意些什么？

教學說明

通過對乘法公式的復習，為本節(jié)課的學習作準備.

【思考探究，獲取新知】

1伺學們我們在學習的過程中會碰到很多的“難題”，其實我們只要經過仔細的觀察、

認真的思考，我們會發(fā)現(xiàn)大部分的難題是由簡單的因素構成的，下面我們一起來處理兩個問

題.

(1)3+1)(++D3—1)；

=(〃+l)(a—1)(層+1)(乘法的交換律)

=(/—1)(次+J)

=(?2)2—1

—ai—i.

(2)(a+h+l)(a+fe—1).

=[(?+/?)+l][(a+Z?)-l]

=(a+b)2-1

—a2-V2ab+b2—1.

教學說明

老師和學生一起探討，發(fā)現(xiàn)學生學習過程存在的困難，可以引導學生討論解決.

2?運用乘法公式計算：

⑴K〃+3)(a—3汜

解：[3+3)(。-3)]2

=(“2—9)2

=(々2)2—2d?9+92

=〃-18〃2+81.

(2)(a-b+c)(a+b-c).

解：(a—b+c)(a+b—c)

=[a—(b-c)][a+(b-c)]

=〃-3-

=6f2—(Z?2—2/JC+C2)

=a2—按+2bc—c2.

3?運用乘法公式計算：(a+b+c)2.

解：(a+b+c)2

=[(a+b)+c]2

=(“+〃)2+2c(a+〃)+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+爐+c2+2ab+2ac+2bc.

教學說明

教師引導學生正確的選擇乘法運算公式.

歸納結論

遇到多項式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式，以到達簡化運

算的目的.

【運用新知，深化理解】

1"見教材P49例9.

2?下列運算中，正確的是(C)

A-(a+3)(a—3)—a2—3

B?(3匕+2)(36—2)=3左一4

C?(3m-2〃)(一2"—3，〃)=4"2—9，層

D-(x+2)(x-3)=x2-6

3?下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是(B)

11

A?(x+l)(l+x)B.(2。+匕)(6—2〃)

C,(~a+b)(a—h)D.(JC2—yXx+y2)

4?解方程：

5x+6(3x+2)(—2+3x)—54(x-3)(x+3)=2.

1

解：5犬+6(9/—4)-54(/—§)=2

5x+54x2-24-54x2+6