一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2.2

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（2）第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析2024/7/18.2一元線性回歸模型及其應用1.經驗回歸方程：其中：復習引入

1.經驗回歸方程：其中：復習引入（1）作出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關關系；

（4）寫出經驗回歸方程并對實際問題作出估計.2.求經驗回歸方程

的基本步驟3.殘差的定義復習引入父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高觀測值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.9771.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023殘差表：殘差=觀測值－預測值4.殘差分析1.殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.

為了使數(shù)據(jù)更加直觀，用父親身高作為橫坐標，殘差作為縱坐標，可以畫出殘差圖，如圖下所示.殘差圖：012345-1-2-3-4-5160165170175180185殘差/cm父親身高/cm??????????????殘差圖：作圖時縱坐標為殘差,橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．觀察殘差的散點圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊.說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為σ2的隨機變量的觀測值.通過觀察殘差圖可以直觀判斷樣本數(shù)據(jù)是否滿足一元線性回歸模型的假設，

好的回歸方程對應的殘差散點圖應是均勻地分布在橫軸兩側的帶狀區(qū)域內.且?guī)顓^(qū)域越窄，說明模型擬合效果越好．越窄越好復習引入4.殘差分析1.殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.012345-1-2-3-4-5160165170175180185殘差/cm父親身高/cm??????????????越窄越好復習引入4.殘差分析2.殘差的作用：判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果；發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，對模型進行改進，使我們能根據(jù)改進模型作出更符合實際的預測與決策.若存在某幾個樣本點的殘差絕對值較大，則為可以數(shù)據(jù)，需予以糾正或剔除，再重新建立回歸模型.

一般地，建立經驗回歸方程后，通常需要對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進行分析.借助殘差分析還可以對模型進行改進，使我們能根據(jù)改進模型作出更符合實際的預測與決策.可見,只有圖(4)滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假設.探究新知

殘差與觀測時間有線性關系，應將時間變量納入模型殘差與觀測時間有非線性關系，應在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間的變大而變大殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內5.殘差的運用練習1.已知兩個線性相關變量與的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x3456y2.534m

B殘差的概念回歸直線過樣本點中心5.殘差的運用探究新知練習2.2020年初，新型冠狀病毒引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機構采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某醫(yī)療機構開始使用中西醫(yī)結合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：第x周12345治愈人數(shù)y(單位：十人)38101415

B5.殘差的運用探究新知例1

經驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高，由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)(如下表)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關于胸徑的經驗回歸方程.編號123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7

分析：求一元線性回歸方程的步驟：（1）以成對樣本數(shù)據(jù)描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關（2）判斷兩個變量之間的線性相關關系

（4）殘差分析：殘差表、殘差圖對回歸模型的擬合效果進行評估。探究新知以胸徑為橫坐標,樹高為縱坐標作散點圖：

散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關，并且是正相關，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關系.用d表示胸徑,h表示樹高,根據(jù)據(jù)最小二乘法,計算可得經驗回歸方程為相應的經驗回歸直線如圖所示.解:（1）畫散點圖（2）求經驗回歸方程探究新知編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2（3）計算殘差：根據(jù)經驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預測值(精確到0.1)以及相應的殘差，如表所示.探究新知以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，作殘差圖，如圖(2)所示.4.作殘差圖：觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內.可見經驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關系，我們可以根據(jù)經驗回歸方程由胸徑預測樹高.00.51.0-0.5-1.0152025303540殘差/m胸徑/cm??????????????45(2)探究新知

建立樹的胸徑和樹高的關系是有實際意義的．實際上，在采伐設計、資源評估、森林規(guī)劃調查等林業(yè)工作中常需測算森林蓄積量