2024屆黑龍江省龍西北高中名校聯(lián)盟高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍西北高中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗∵集合，，∴,的真子集的個(gè)數(shù)為：個(gè)．故選：A2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（）A. B.1 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以，，所以，.故選：B.3.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以1和3為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有：，所以，，且，則，等價(jià)于，即，故不等式的解集為.故選：C.4.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知向量，，且，則，即，若，則，這與矛盾，所以，，故，因此，.故選：A.5.如圖，在正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，則，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，故，在中，因?yàn)?，故，即異面直線與所成角的大小為；故選：C．6.設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數(shù).所以.構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，也即.故選：A7.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）A.90 B.135 C.270 D.360〖答案〗B〖解析〗在6個(gè)盒子中任選2個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有種，剩下的4個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不同，假設(shè)這4個(gè)盒子的編號(hào)為3,4,5,6，則3號(hào)小球可以放進(jìn)4,5,6號(hào)盒子，有3種選法，剩下的3個(gè)小球放進(jìn)剩下的3個(gè)盒子，有3種選法，所以不同的放法種數(shù)為種選法.故選：B.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以上恒成立，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.從而有，故選：C.二、多選題9.下列命題中，真命題的是（）A.，是的充分不必要條件B.若，，則C.函數(shù)的最小值為6D.命題“，”的否定是“，”〖答案〗AD〖解析〗A：當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，滿足，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故A正確；B：令，令，得，故B錯(cuò)誤；C：，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，顯然不符合題意，故C錯(cuò)誤；D：命題“”否定為“”，故D正確.故選：AD.10.已知曲線C的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B.當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為C.當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為〖答案〗ABD〖解析〗在曲線C的方程中，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，曲線C是原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線C方程為，曲線C是雙曲線，其漸近線方程為，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，曲線C：是雙曲線，C不正確；對(duì)于D，假定存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，則有，且，顯然無解，所以不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，D正確.故選：ABD.11.下列命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)（其中且）的圖象過定點(diǎn)C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)椋?，，的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圖象過定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，令，由知：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上是增函數(shù)，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.12.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A，∵，則，則，又，所以，令，可得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A錯(cuò)；對(duì)C，∵為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于對(duì)稱，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，C對(duì)；對(duì)B，，則是周期的函數(shù)，，B對(duì)；對(duì)D，，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題13.設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗要使為奇函數(shù)，∵,∴需，∴，由,得,．故〖答案〗為：1.14.等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)函數(shù).因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩根，所以.因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，，如果對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由，可得，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意的，都有成立，，，故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)，，且方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________，方程解的個(gè)數(shù)為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故；方程中，設(shè)，即，即函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)?，函?shù)與有個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)根、、，其中、、，再結(jié)合圖象可知，方程有個(gè)不同的根，方程有個(gè)根，方程有個(gè)根，綜上所述，方程有個(gè)不同的解.故〖答案〗為：；.四、解答題17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若外接圓的半徑為，求面積的最大值.解：（1）由得，，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）由外接圓的半徑為，則得，由余弦定理得，，即，所以，解得.所以，故面積的最大值為.18.已知二次函數(shù)滿足且．（1）求的〖解析〗式；（2）若方程，時(shí)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且不是重根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．解：（1）設(shè)，則由，．，即，，即，的〖解析〗式為．（2）令，則，，由在上有唯一零點(diǎn)且不是重根，只需，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，方程在上有唯一解；時(shí)，方程在上有唯一解，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞減．故只需，即，解得，19已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，而，所以函?shù)f（x）在處的切線方程為：，即，（2）因?yàn)?，所以，所以，令，解得或，又因?yàn)椋曰颍J極大值↘極小值↗函數(shù)的極大值為;函數(shù)的極小值為.20.隨著全國(guó)新能源汽車推廣力度的加大，尤其是在全國(guó)實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的大背景下，新能源汽車消費(fèi)迎來了前所未有的新機(jī)遇．為了更好了解大眾對(duì)新能源汽車的接受程度，某城市汽車行業(yè)協(xié)會(huì)依據(jù)年齡采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方式抽取了200名市民，并對(duì)他們選擇新能源汽車，還是選擇傳統(tǒng)汽車進(jìn)行意向調(diào)查，得到了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：選擇新能源汽車選擇傳統(tǒng)汽車合計(jì)40歲以下6540歲以上（包含40歲）60100合計(jì)200（1）完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān)；（2）以樣本的頻率作為總體的概率，若從全市40歲以上（包含40歲）購(gòu)買汽車的人中有放回地隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的是“選擇新能源汽車”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題可知：選擇新能源汽車選擇傳統(tǒng)汽車合計(jì)40歲以下653510040歲以上（包含40歲）4060100合計(jì)10595200所以，所以至少有的把握認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān).（2）由題可知，從全市40歲以上（包含40歲）購(gòu)買汽車的人中有放回地隨機(jī)抽取，抽取的是“選擇新能源汽車”的人的概率為，所以，所以的可能取值為：0，1，2，3，且；；；；所以的分布列為：01230.2160.4320.2880.064數(shù)學(xué)期望.21.從甲?乙?丙等5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，①直接寫出的值；②求與的關(guān)系式，并求.解：（1）可能取值為，；；所以隨機(jī)變量的分布列為123（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為，則有記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，所以即，所以，且所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以即次傳球后球在甲手中的概率是.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，．求證：．（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：將代入方程，化簡(jiǎn)得：，即有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，所以，，易知，所以，要證，只要證，即證，等價(jià)于證，而，所以等價(jià)于證明，即，令，則，于是等價(jià)于證明成立，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即成立，所以，，結(jié)論得證．黑龍江省龍西北高中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗∵集合，，∴,的真子集的個(gè)數(shù)為：個(gè)．故選：A2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（）A. B.1 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以，，所以，.故選：B.3.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以1和3為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有：，所以，，且，則，等價(jià)于，即，故不等式的解集為.故選：C.4.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知向量，，且，則，即，若，則，這與矛盾，所以，，故，因此，.故選：A.5.如圖，在正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，則，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，故，在中，因?yàn)?，故，即異面直線與所成角的大小為；故選：C．6.設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數(shù).所以.構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，也即.故選：A7.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）A.90 B.135 C.270 D.360〖答案〗B〖解析〗在6個(gè)盒子中任選2個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有種，剩下的4個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不同，假設(shè)這4個(gè)盒子的編號(hào)為3,4,5,6，則3號(hào)小球可以放進(jìn)4,5,6號(hào)盒子，有3種選法，剩下的3個(gè)小球放進(jìn)剩下的3個(gè)盒子，有3種選法，所以不同的放法種數(shù)為種選法.故選：B.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以上恒成立，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.從而有，故選：C.二、多選題9.下列命題中，真命題的是（）A.，是的充分不必要條件B.若，，則C.函數(shù)的最小值為6D.命題“，”的否定是“，”〖答案〗AD〖解析〗A：當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，滿足，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故A正確；B：令，令，得，故B錯(cuò)誤；C：，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，顯然不符合題意，故C錯(cuò)誤；D：命題“”否定為“”，故D正確.故選：AD.10.已知曲線C的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B.當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為C.當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為〖答案〗ABD〖解析〗在曲線C的方程中，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，曲線C是原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線C方程為，曲線C是雙曲線，其漸近線方程為，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，曲線C：是雙曲線，C不正確；對(duì)于D，假定存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，則有，且，顯然無解，所以不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，D正確.故選：ABD.11.下列命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)（其中且）的圖象過定點(diǎn)C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)椋?，，的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圖象過定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，令，由知：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上是增函數(shù)，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.12.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A，∵，則，則，又，所以，令，可得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A錯(cuò)；對(duì)C，∵為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于對(duì)稱，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，C對(duì)；對(duì)B，，則是周期的函數(shù)，，B對(duì)；對(duì)D，，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題13.設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗要使為奇函數(shù)，∵,∴需，∴，由,得,．故〖答案〗為：1.14.等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)函數(shù).因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩根，所以.因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，，如果對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由，可得，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意的，都有成立，，，故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)，，且方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________，方程解的個(gè)數(shù)為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故；方程中，設(shè)，即，即函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)椋瘮?shù)與有個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)根、、，其中、、，再結(jié)合圖象可知，方程有個(gè)不同的根，方程有個(gè)根，方程有個(gè)根，綜上所述，方程有個(gè)不同的解.故〖答案〗為：；.四、解答題17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若外接圓的半徑為，求面積的最大值.解：（1）由得，，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）由外接圓的半徑為，則得，由余弦定理得，，即，所以，解得.所以，故面積的最大值為.18.已知二次函數(shù)滿足且．（1）求的〖解析〗式；（2）若方程，時(shí)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且不是重根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．解：（1）設(shè)，則由，．，即，，即，的〖解析〗式為．（2）令，則，，由在上有唯一零點(diǎn)且不是重根，只需，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，方程在上有唯一解；時(shí)，方程在上有唯一解，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞減．故只需，即，解得，19已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，而，所以函?shù)f（x）在處的切線方程為：，即，（2）因?yàn)?，所以，所以，令，解得或，又因?yàn)?，所以或，↗極大值↘極小值↗函數(shù)的極大值為;函數(shù)的極小值為.20.隨著全國(guó)新能源汽車推廣力度的加大，尤其是在全國(guó)實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的大背景下，新能源汽車消費(fèi)迎來了前所未有的新機(jī)遇．為了更好了解大眾對(duì)新能源汽車的接受程度，某城市汽車行業(yè)協(xié)會(huì)依據(jù)年齡采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方式抽取了200名市民，并對(duì)他們選擇新能源汽車，還是選擇傳統(tǒng)汽車進(jìn)行意向調(diào)查，得到了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：選擇新能源汽車選擇傳統(tǒng)汽車合計(jì)40歲以下6540歲以上（包含40歲）60100合計(jì)200（1）完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān)；（2）以樣本的頻率作為總體的概率，若從全市40歲以上（包含40歲）購(gòu)買汽車的人中有放回地隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的是“選擇新能源汽車”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：