高考數學二輪復習 四 第2講 橢圓、拋物線、雙曲線學案-人教版高三全冊數學學案

第2講橢圓、拋物線、雙曲線

1.圓錐曲線的方程與幾何性質是高考的重點；

2直線與圓錐曲線的位置關系是命題的熱點，尤其是有關弦長計算及存在性問題;

3.數學運算(數的運算、代數式運算)也是這里的考查要求之一.

1.圓錐曲線的定義

⑴橢圓：|痂|+|磔|=2a(2a>出用)；

(2)雙曲線：||姐］一|覘||=2a(2aV|A瑪|)；

(3)拋物線：|好1=d(d為〃點到準線的距離).

2.圓錐曲線的標準方程

X2V2V2X2

(1)橢圓：F+R=1(a>6>0)(焦點在X軸上)或二十7=1(a>6>0)(焦點在p軸上)；

d,uaD

X2V2V2X2

(2)雙曲線：——72=1(5>0,6>0)(焦點在x軸上)或「一7=1(乃>0,6>0)(焦點在p軸上);

abab

(3)拋物線：y=2px,y=~2px,x=2py,￡=—24p(夕>0).

3.圓錐曲線的重要性質

(1)橢圓、雙曲線中&b,c之間的關系

①在橢圓中：a=0+c2；離心率為e=￡=\

a\1a

②在雙曲線中：c=a+/j；離心率為￡=、=\^1+金.

⑵雙曲線的漸近線方程與焦點坐標

221

①雙曲線當一卷=1(a>0,6>0)的漸近線方程為尸土一X；焦點坐標右(一C,0),F2(C,0).

<3DQ,

22

②雙曲線與一千=1(a>0,6>0)的漸近線方程為尸士3，焦點坐標月(0,—C),￡(0,C).

abb

⑶拋物線的焦點坐標與準線方程

①拋物線/=2px(p>0)的焦點,，0),準線方程才=—5

②拋物線*=2〃(90)的焦點""，準線方程尸一色

4.弦長問題

（1）直線與圓錐曲線相交的弦長

設而不求，利用根與系數的關系，進行整體代入.即當斜率為k,直線與圓錐曲線交于AU,%），B&,及）

時，|AB\+六|荀一也|=也+可（xi+r）?！?XIX2.

（2）過拋物線焦點的弦長

2

拋物線/=2px（p>0）過焦點尸的弦47,若/（荀，yi）,B（X2,鹿），則荀乏=j八月=一萬，弦長|力引=荀+也

+p.

■

熱點一圓錐曲線的幾何性質

【例1】（2018?哈三中）如果雙曲線的兩個焦點分別為1（-3,0）、2。。），一條漸近線方程為=*，那

么經過雙曲線焦點且垂直于軸的弦的長度為（）

A.4V3B.2A/3C.2D.1

解析因為雙曲線的兩個焦點分別］（—帥,2（3,。，一條漸近線方程為=<2,

（2+2=g__

j_=p，解得=

22

雙曲線的方程為二----=1,

3o

22

~~~=1=分，

{=3

所以經過雙曲線焦點且垂直于軸的弦的長度為2x2心=443.

答案A

探究提高1.分析圓錐曲線中a,b,c,e各量之間的關系是求解圓錐曲線性質問題的關鍵.

2.確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程（組）或不等式（組），再

根據a,b,c的關系消掉6得到a,。的關系式.建立關于a,b,c的方程（組）或不等式（組），要充分利用橢

圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

ha

3.求雙曲線漸近線方程關鍵在于求一或7的值，也可將雙曲線等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.

ab

22

【訓練1】（1）（2017?全國III卷）已知橢圓G=x+，V=1&〉》0）的左、右頂點分別為4,4,且以線段44為

ab

直徑的圓與直線版一ay+2a6=0相切，則C的離心率為（）

A亞R亞,亞n1

A.3B-3C,3D.3

xy

（2）（2016?北京卷）雙曲線^—（=19>0,6>0）的漸近線為正方形以固的邊M%所在的直線，點8為該

ab

雙曲線的焦點，若正方形》8c的邊長為2,則@=.

解析（1）以線段44為直徑的圓是？+/=/，直線版一ay+2a6=0與圓相切,

2ab

所以圓心（0,0）到直線的距離占,=a.整理為一=3次即

yja+l)a

（2）取8為雙曲線右焦點，如圖所示.

:四邊形加%為正方形且邊長為2,；.c=|陽=2低又/加5=寧,

Z?兀1

=tan-=1,BPa=b.又a9+/?9=c9=8,a=2.

a4

答案(1)A(2)2

熱點二直線與圓錐曲線

22

【例2】（（2018?江南十校）已知橢圓：^+^=1（>>0,為其短軸的一個端點，1，2分別為

其左右兩個焦點，已知三角形12的面積為調，且cos/12=J.

（1）求橢圓的方程；

（2）若動直線：=+（力0,27§與橢圓交于（］,D，（2，2），為線段的中點，

且：+鄉(xiāng)=3,求||?||的最大值.

22222

解（1）由cos/12=2-t—=j=>—=j=>=3,=2,

cosZ12=1=>sinZ12=言，

結合?2=：2.券=方今2=3,=>2=2,

,，乙6

22

故橢圓的方程為三+亍=1；

另解：依題意：12="2==V2,

cosN/19=2ocosz2--^---1-------2---11=-1—7=-2,

1N2323

解得：2=3,2=2,

22

故橢圓的方程為亍+亍=1；

⑵聯(lián)立LTo今(32+2)2+6+32_6=0.

1/IO—0

=>=24(32+2—2)>0=>32+2>2,

且1+2-3?+2'12-3?+2'

依題意，1+,=3=>([+2)“一212=3

(-6)26(2-2)

=5--------------------=

(32+2)232+2

化簡得：32+2=22(V32K2)；

設(0，0)，由2?o2:今2(，—I)=-3(1-~

(2$+33=61-2-3o

又o=o+'

解得：(-^―A)今|2_92+4_32_1

―42-22：

24(32+2—2)2(22+1)

2

仔=(1+)|121-(1+)—(32+2)2--2

?1125

=1h9l|2=(3--.)(2+—)<-

當且僅當3-七=2+與即=±北時，||的最大值為|.

探究提高1.判斷直線與圓錐曲線的交點個數時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的

一元二次方程的判別式來確定；

2.弦長計算公式:直線四與圓錐曲線有兩個交點/(荀,％)IE,㈤，則弦長|/引7(z+xz)=4X1X2,

其中"為弦4?所在直線的斜率.

3.對于弦的中點問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數的關系時，要注意使用條

件A〉0,在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交.

【訓練2】(2017?北京卷)已知拋物線C：/=2px過點戶(1,1),過點0,3作直線，與拋物線C交于不同的

兩點弘N,過點〃作x軸的垂線分別與直線利，加交于點4B,其中。為原點.

(1)求拋物線。的方程，并求其焦點坐標和準線方程;

⑵求證：/為線段陽的中點.

解⑴把P(1,1)代入/=2以，得所以拋物線。的方程為/=x，

焦點坐標為\，0),準線方程為x=一

(2)證明當直線腑斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線M也就是

直線1)斜率存在且不為零.

由題意，設直線/的方程為尸履+；(20),/與拋物線C的交點為〃(荀，㈤，N(xz,

y=kx-\-~,

由12消去y得4?o笈0+(4?—4)x+l=0.

〔y2=X，

考慮A=(4A-4)2-4X4A2=16(l-2A),

由題可知有兩交點，所以判別式大于零，所以衣；.

1-k1

則xi+x2—

因為點尸的坐標為(1,1),所以直線8的方程為9=筋點/的坐標為(不，不).

直線放的方程為尸?，點8的坐標為

,ckxx-\--\x2+\kx2~\-~\XX-2XXX2

i乃Xic八自十外矛i-2xi怒、乙）'乙）

%+-------2x\=-----------------------=-----------------------------------------

X2X2X2

（2A—2）矛1至+；（至+荀）（2A—2）X++；J

------------------------=--------------------=0

所以為+2=2不.故/為線段加的中點.

22

1.（2018?全國I卷）已知橢圓：二+丁=1的一個焦點為（2,0）,貝|的離心率為（）

22一

2.（2018?全國HI卷）已知雙曲線：---=1（>0,>。的離心率為調，則點（4,0）到的漸

近線的距離為（）

3V2

A.V2B.2cr-VD.2V2

3.(2018?全國n卷）已知P2是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若112，且N21=

60°,則的離心率為（）

|V3cV3-1

A.B.2-V3C-丁D.V3-1

4.（2018?全國I卷）設拋物線C：F=2x,點A（2,0）,B（-2,0）,過點A的直線/與C交于M,N兩點.

（1）當/與x軸垂直時，求直線5M的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

1.(2019?吉安聯(lián)考設拋物線2=8的焦點為，過點(4,0)的直線與拋物線相交于，兩點，與拋物

線的準線相交于，||=4,則與的面積之比，一=()

△

A.-B.-C.-D.-

4565

2.(2017?全國I卷)已知分是雙曲線G/一的右焦點，尸是。上一點，且件與x軸垂直，點/的坐標

是(1,3),則△/勿的面積為()

1123

A.-B.~C.~D.~

22

222

3.(2018?哈六中)若是雙曲線1：二一不=1(>0,>。和圓2:+=+2的一個交點，

且，/21=2/12,其中1，2是雙曲線1的兩個焦點，則雙曲線1的離心率為()

A.V3-1B.3C.2D.V3+1

22/7

4.(2017?佛山調研)已知橢圓E,2+5=l(a>6>0)的離心率為乎，右焦點為尸(1,0).

ab2

(1)求橢圓后的標準方程；

⑵設點。為坐標原點，過點尸作直線，與橢圓￡交于〃，“兩點，若OMLON,求直線/的方程.

2c

1.（2019?河南聯(lián)考）己知橢圓：丁+2=1,設過點（2,0）的直線與橢圓交于不同的,兩點，且

Z為鈍角（其中為坐標原點），則直線斜率的取值范圍是（）

2.（2017?石家莊三模）已知橢圓G與雙曲線G有相同的左右焦點國,戶為橢圓G與雙曲線G在第一象限

內的一個公共點，設橢圓G與雙曲線C的離心率分別為a，出且且=今若/月陽=?,則雙曲線G的漸近

e233

線方程為O

A.x±y=0B.x±-^-y=0C.x土D.x±2y=0

vy

3.（2017?濰坊三模）已知拋物線/=2px（p>0）上的一點以1,方）（方>0）到焦點的距離為5,雙曲線f—3=1（辦0）

a9

的左頂點為4若雙曲線的一條漸近線與直線W平行.則實數a的值為.

22

4.（2018?全國HI卷）已知斜率為的直線與橢圓：丁+丁=1交于,兩點.線段的中點為

（1，）（>0.

（1）證明：<一?

（2）設為的右焦點，為上一點，且'+■+>=0.證明：2|=|'|+|'|.

參考答案

1.【解題思路】首先根據題中所給的條件橢圓的一個焦點為（2,0）,從而求得=2,再根據題中所給的方

程中系數，可以得到2=4,利用橢圓中對應，，的關系，求得=小，最后利用橢圓離心率的公式求

得結果.

【答案】根據題意，可知=2,因為2=%

所以2=2+2=8,即=2方，

所以橢圓的離心率為=盍=孝，故選Q

2.【解題思路】由離心率計算出一，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可.

【答案】???€=—=J/+㈠2=0,；.—=/,

所以雙曲線的漸近線方程為x±y=。，

所以點（4,0）到漸近線的距離故選D.

3.【解題思路】設|zl=，則根據平面幾何知識可求|741/|,再結合橢圓定義可求離心率.

【答案】在12中，//2=9/N21=60°

設I=’則2=|1zl=2/1/=V5,

又由橢圓定義可知2=|/+|2\=（，5+口

則離心率=_=?-=_2-=^3-1,

故選D.

4.【解題思路】（1）首先根據/與x軸垂直，且過點4（2,0）,求得直線1的方程為x=l,代入拋物線方程求得

點M的坐標為（2,2）或（2,-2）,利用兩點式求得直線的方程；

（2）分直線1與x軸垂直、1與x軸不垂直兩種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將

角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結果.

【答案】（1）當1與x軸垂直時，1的方程為x=2,可得M的坐標為（2,2）或（2,-2）.

所以直線BM的方程為y=gx+l或.

（2）當1與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以=

當1與x軸不垂直時，設1的方程為丁=左（兀一2）（左00）,M（xi,yi）,N（xz,yz）,則xi〉O,x2>0.

=k(X—i\2

由<得ky~-2y—4k—0,可知%+%=—,X%=7,

y2=2x'k

直線BM,BN的斜率之和為

?一力上為_工2%+巧為+2(%+%)①

BM

~(X1+2)(X2+2)--U

將石=2+2,%=匹+2及yi+yz,yiy2的表達式代入①式分子，

kk

可得%2?+百%+2(?+為)=2"乃+4：('+'2)=z§±^=0,

/CK

所以原M+3V=0，可知3M，3N的傾斜角互補，所以/4BM=NABN.

綜上，ZABM^ZABN.

1.【解題思路】分別過A,8作準線1的垂線AP,外由|母1=4,可得點B的坐標，進而可得直線AB的方程,

與拋物線聯(lián)立可得點A坐標，禾U用，一=；~~；即可得解.

【答案】拋物線的準線方程為hx=-2,

分別過46作準線/的垂線仍BN,則|曲1=|即|=4,

點橫坐標為2,不妨設8(2,-4),則直線46的方程為：y=2x-8,

聯(lián)立方程組｛=f~8,得/-10^+16=0,

設A橫坐標為xo,則荀+2=10,故而xo—8.

A\AP\=選+2=10,

._A___=1_1=1_1=2=￡

--

AIII\~~0~~5-

故選D.

2.【解題思路】5/=曰尸司"（d為A到|尸司的距離）.

2

【答案】由/=d+62=4得c=2,所以6（2,0）,將x=2代入：=1,得/=±3,所以|陽=3.

13

又力的坐標是（1,3）,故△/勿的面積為]X3X（2—1）=]?故選D.

3.【解題思路】由之+2=2,可知圓z一定經過雙曲線的兩個焦點，可以求出/21=飛，

N21=2N12=可及I2I=，I[=,進而可以求出雙曲線的離心率.

【答案】因為2=2,所以圓z一定經過雙曲線的兩個焦點，

可知/21=守N21=2N12=守

==

則I/H=2，|2\，I;1,

故雙曲線的離心率為：=-=,'/—=V5+1.

I/ITzl73-

故答案為D.

4.【解題思路】⑴由離心率和焦點坐標聯(lián)立方程求出a,b,（2）OMVON<^OM-ON^,結合韋達定理處理.

'I/2

【答案】解（1）依題意可得《a2'解得a=/,6=1..?.橢圓￡的標準方程為

、才=9+1,

（2）設欣矛,1%）,N1X2,必），

①當W垂直于x軸時，直線，的方程為x=l,不符合題意；

C2

工+2=1

②當廨不垂直于x軸時，設直線/的方程為y=A（x—1）.聯(lián)立得方程組'一'

尸k（才一1）,

4^?2（優(yōu)_]）

消去y得（1+2/）V-4好x+2（2-1）=0,???矛1+乙=]+2骨,不?用=~~?

???M?K=4[xiX2—（荀+欠2）+1]=]+242.,/OMLON,...布?礙0.

長一2

，矛1?至十%?度=T不5鏟=0,k=±y[i.故直線，的方程為p=±也（X—1）.

2

1.【解題思路】設直線：=（一幻（4。，代入下+2=/,得。+2B2-82+82-2=。,

利用韋達定理表示/2+12<0,結合>。即可得到直線斜率的取值范圍.

2

【答案】設直線：=（—0（力。，代入方+2=/,得。+252_82+82—2=0,

因為直線與橢圓交于不同的，兩點,

所以=642—4(7+25(82-2)>0,解得—〈乎且豐0.

o2o2_o

設(b/)，(32)，貝U1+2=]+22,12=J+21

12=氣廠須2-0=7^4+4

因為/為鈍角，所以12+12=8；+j廠2<°，解得一當V<-H0.

/十Z/十ZuO

綜上所述：E（―4,。）U故選B.

81

2.【解題思路】共焦點相同,再客=§再可得橢圓與雙曲線的&6,c的關系,結合定義可得用川,爐知.