2024屆廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，故選：D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．3.函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋?，即，解得，所以，而，故，滿足題設(shè).故選：C4.已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，，則（）A.15 B.31 C.63 D.7〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列公比，由，，得，即，解得，所以，所以，故選：A．5.圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過(guò)中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.6.某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為（）A.210 B.105 C.315 D.630〖答案〗C〖解析〗由題意，12人任意分成3個(gè)組，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有：（種），故選：C．7.圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖面積，，，圓錐的體積.故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，，則，得在上單調(diào)遞減，又，則，即.作差：，則，綜上所述，.故選：A.二、多選題9.下列命題中，正確的命題是（）A.數(shù)據(jù)4，5，6，7，8的第80百分位數(shù)為7B.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)C.對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，則A與B相互獨(dú)立D.某學(xué)習(xí)小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為13；女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為10，則該10人成績(jī)的方差為10.5〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由于，則4，5，6，7，8的第50百分位數(shù)為：，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若方程為時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，若，則有，可得，則A與B相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，10人的成績(jī)平均：，則10人的方差，故D錯(cuò)；故選：BC．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上方，過(guò)A、B分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則（）A.若的縱坐標(biāo)為，則B.C.準(zhǔn)線方程為D.以為直徑的圓與直線相切于F〖答案〗CD〖解析〗由拋物線，可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，所以C正確；對(duì)于A中，由的縱坐標(biāo)為，可得橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)直線的方程為，且，，則，，聯(lián)立方程，整理得，則，，因?yàn)?，，可得，所以與不互垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，，可得，則，所以的中點(diǎn)到直線的距離，又因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相切于，所以D正確.故選：CD．11.已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形，其中平面，，且．若該四面體的體積為，則（）A.平面 B.平面平面C.的最小值為3 D.四面體外接球的表面積的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示，將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，所以A正確；因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，，平面，則即為二面角的平面角，因?yàn)闉殇J角，即二面角為銳二面角，所以B不正確；設(shè)，，可得，得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以C正確．設(shè)四面體外接球的半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即四面體外接球的表面積的最小值為，所以D正確．故選：ACD．12.函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，，解得：，A正確；對(duì)于B，，，，又，，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD三、填空題13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗90〖解析〗的通項(xiàng)，令，則；令，則，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：90．14.已知，，則________．〖答案〗22〖解析〗，，故〖答案〗為：22．15.函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，在上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗，，O是的中點(diǎn)，所以，故由得，因?yàn)椋?，所以，在中，，在中，，∴，即，則，離心率為．故〖答案〗為：四、解答題17.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．解：（1）根據(jù)題意可得；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以；（2），18.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求的值；（2）若，，是線段上的一點(diǎn)，求的最小值．解：（1）由得：，整理可得：，或（舍），，.（2）由余弦定理得：，，且角B為鈍角，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，解得：，的最小值為.19.四邊形為菱形，平面，，，．（1）設(shè)中點(diǎn)為，證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：四邊形為菱形，且，中點(diǎn)為，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又，，平面，所以平面；?）解：設(shè)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，所以，底面．以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得；，，平面的一個(gè)法向量為，則，令得；所以，所以平面與平面的夾角的大小為．20.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．（1）請(qǐng)完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績(jī)優(yōu)秀與體育鍛煉有沒(méi)有關(guān)系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100零假設(shè)：成績(jī)是否優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉無(wú)關(guān)，可得．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān)聯(lián).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機(jī)變量分布列為X0123P21.已知雙曲線C：一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由雙曲線得漸近線方程為，設(shè)，則，∴雙曲線C方程為；（2）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點(diǎn)滿足

22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，；設(shè)，則，令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以；令，可得，故單調(diào)遞增時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，符合條件；若，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合條件．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，故選：D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．3.函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，∴，即，解得，所以，而，故，滿足題設(shè).故選：C4.已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，，則（）A.15 B.31 C.63 D.7〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列公比，由，，得，即，解得，所以，所以，故選：A．5.圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過(guò)中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.6.某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為（）A.210 B.105 C.315 D.630〖答案〗C〖解析〗由題意，12人任意分成3個(gè)組，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有：（種），故選：C．7.圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖面積，，，圓錐的體積.故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，，則，得在上單調(diào)遞減，又，則，即.作差：，則，綜上所述，.故選：A.二、多選題9.下列命題中，正確的命題是（）A.數(shù)據(jù)4，5，6，7，8的第80百分位數(shù)為7B.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)C.對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，則A與B相互獨(dú)立D.某學(xué)習(xí)小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為13；女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為10，則該10人成績(jī)的方差為10.5〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由于，則4，5，6，7，8的第50百分位數(shù)為：，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若方程為時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，若，則有，可得，則A與B相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，10人的成績(jī)平均：，則10人的方差，故D錯(cuò)；故選：BC．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上方，過(guò)A、B分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則（）A.若的縱坐標(biāo)為，則B.C.準(zhǔn)線方程為D.以為直徑的圓與直線相切于F〖答案〗CD〖解析〗由拋物線，可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，所以C正確；對(duì)于A中，由的縱坐標(biāo)為，可得橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)直線的方程為，且，，則，，聯(lián)立方程，整理得，則，，因?yàn)?，，可得，所以與不互垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，，可得，則，所以的中點(diǎn)到直線的距離，又因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相切于，所以D正確.故選：CD．11.已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形，其中平面，，且．若該四面體的體積為，則（）A.平面 B.平面平面C.的最小值為3 D.四面體外接球的表面積的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示，將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，所以A正確；因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，，平面，則即為二面角的平面角，因?yàn)闉殇J角，即二面角為銳二面角，所以B不正確；設(shè)，，可得，得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以C正確．設(shè)四面體外接球的半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即四面體外接球的表面積的最小值為，所以D正確．故選：ACD．12.函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，，解得：，A正確；對(duì)于B，，，，又，，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD三、填空題13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗90〖解析〗的通項(xiàng)，令，則；令，則，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：90．14.已知，，則________．〖答案〗22〖解析〗，，故〖答案〗為：22．15.函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，在上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗，，O是的中點(diǎn)，所以，故由得，因?yàn)?，，所以，在中，，在中，，∴，即，則，離心率為．故〖答案〗為：四、解答題17.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．解：（1）根據(jù)題意可得；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以；（2），18.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求的值；（2）若，，是線段上的一點(diǎn)，求的最小值．解：（1）由得：，整理可得：，或（舍），，.（2）由余弦定理得：，，且角B為鈍角，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，解得：，的最小值為.19.四邊形為菱形，平面，，，．（1）設(shè)中點(diǎn)為，證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：四邊形為菱形，且，中點(diǎn)為，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又，，平面，所以平面；?）解：設(shè)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，所以，底面．以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得；，，平面的一個(gè)法向量為，則，令得；所以，所以平面與平面的夾角的大小為．20.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．（1）請(qǐng)完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績(jī)優(yōu)秀與體育鍛煉有沒(méi)有關(guān)系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查