高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (53)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（53）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，共70.（）分）

1.在四面體ABCD中,/BCD與44CD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，二面角4-CD-8的大小為60°,

則四面體ABC。外接球的表面積為（）

A527rB208"2047r口527r

*3999

2.在四棱錐P—HBCD中，底面48co為正方形，PD1底面ABC。，PD=AB=2,M為PC的中

點(diǎn)，N為A8的中點(diǎn)，平面。MN截四棱錐為兩部分，則含頂點(diǎn)P的部分與另一部分的體積比為

（）

A.3：2B.7.5C.8-5D.4：3

3.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4BIGDI中，點(diǎn)反尸是棱BC、CG的中點(diǎn)，P是底面A8C。上（含

邊界）一動(dòng)點(diǎn)，滿足&P_LEF,則線段&P長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.[1,^]B.停,|]C.[1,V3]D.[V2,V3]

4.己知棱長(zhǎng)都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個(gè)球，某學(xué)生畫(huà)出四個(gè)過(guò)球心的平

面截球與正三棱錐所得的圖形，如圖所示，則（）.

A.以上四個(gè)圖形都是正確的

B.只有（2）（4）是正確的

C.只有（4）是錯(cuò)誤的

D.只有（1）（2）是正確的

5.我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖也在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出

了下面的體積計(jì)算的原理（祖睢i原理）：“塞勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”是幾何體的高，“累”

是截面面積.意思是，若兩等高的幾何體在同高處截面面積總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等

.現(xiàn)有一旋轉(zhuǎn)體。，它是由拋物線y=x2（x2o）,直線y=4及y軸圍成的封閉圖形（如圖I所示）

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，利用祖曬原理，以長(zhǎng)方體的一半為參照體（如圖2所示）則旋轉(zhuǎn)體

。的體積是（）

A.—B.6兀C.87rD.16TT

6.已知三棱錐。-ABC的體積為其且ABIBC，AB=8AD+BC=2應(yīng)，則三棱錐。-ABC

3

的表面積為（）

A.2+2V2B.2+2V3C.2+2V6D.2+2V2+V6

7.己知三棱柱ABC-4B1C1的側(cè)棱與底面垂直，力4=2,AB=AC=",BC=2,則三棱柱

48。一48也1外接球的表面積為（）

A.47rB.6nC.87rD.12兀

8.在△ABC中，AB=BC=4,NABC90，P為△ABC所在平面a外一點(diǎn)，且PA=PB=PC=6,

則二面角P-AB-C的余弦值為（）

A."B.任C.；D.立

7424

9.已知/￡（卜23#67+）棱柱有/（￡）個(gè)對(duì)角面，則（卜+1）棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)/（卜+1）為（）

A./（fc）+fc-1B.f（k）+k+lC.f（k）+kD./（fc）+fc-2

10.在正方體4BCD-AiBiGDi中，P,Q分別為4/,B】C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足4P=B&,則下列4

個(gè)命題中：

①存在P,0的某一位置，使AB〃PQ；②國(guó)BPQ的面積為定值；

③當(dāng)24>0時(shí)，直線PBi與直線AQ一定異面；

④無(wú)論P(yáng),。運(yùn)動(dòng)到何位置，均有BC1PQ.其中所有正確命題的序號(hào)是

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

11.在正方體中力BCD中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上的一點(diǎn)，則滿足BP和4C'所成角為45。的

點(diǎn)P有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

12.已知三角形PAO所在平面與矩形ABC。所在平面互相垂直,P4=PD=AB=4,^APD=90°,

若點(diǎn)P、A、B、C、。都在同一球面上，則此球的表面積等于（）

A.24兀B.487rC.36兀D.967r

13.在正方體4BC0-4B1GD1中，與交于點(diǎn)M在平面當(dāng)?shù)目芍校珿N的垂直平分線交4Q

于點(diǎn)尸，若GF=3,則正方體ABCD-A/iGDi的外接球的表面積為

A.127rB.247rC.36兀D.48兀

14.一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面的夾角為3則圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）

A.87TB..4（2+V2）2TT

C.4（2-夜）2兀D.32（2J）27r

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

15.在下列命題中，其中假命題的是（）

A.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

B,直平行六面體是長(zhǎng)方體

C.若/垂直于a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則/La

D.若己知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線

三、填空題（本大題共14小題，共70.0分）

16.四面體ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角

形.若AB=2,則球。的表面積為.

17.已知直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，該三棱柱的外接球的表面積為等，則該三棱柱的

高為?

18.在三棱錐4-BCD中，底面BC￡＞是直角三角形且BCUCD,斜邊8。上的高為1,三棱錐A-BCD

的外接球的直徑是A8,若該外接球的表面積為16兀，則三棱錐A-BC。體積的最大值為

19.已知平行四邊形A8CD中，4B=夜，AD=1,乙4=45。，沿8。將△力BC折起到△BZZ4'位置，

使AC=V3,則空間四邊形4BCD的外接球表面積為.

20.三棱錐P-4BC中，PA.PB、PC兩兩互相垂直，且P4=PB=PC=2,則此三棱錐外接球的

半徑長(zhǎng)為.

21.已知一正四棱柱（底面為正方形的直四棱柱）內(nèi)接于底面半徑為1,高為2的圓錐，當(dāng)正四棱柱體

積最大時(shí)，該正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為.

22.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中闡述：“斜解立方，得兩遒堵.斜解遒堵，其為陽(yáng)馬,

一為鱉膈.陽(yáng)馬居二，鱉席居一，不易之率也.合兩鱉席三而一，驗(yàn)之以蒸，其形露矣.”若

稱為“陽(yáng)馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則對(duì)該幾何

體描述：

①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；

②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為2遍；

③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形；

④外接球的表面積為247r.

其中正確的為_(kāi)_____________

23.直三棱柱48。一48道1中，/.ABC=90°,AB=1,BC=，,AAr=2,其外接球的體積為

24.在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱尸4,PB,PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為2,則三棱錐P-ABC外接球的半

徑是,球心到側(cè)面PAB的距離是.

25.設(shè)P,A,B,C為球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，月=2m,PB=3m,PC=4m,

則球。的表面積為m2.

26.已知正方體力BCD-48傳1。1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸是線段41cl上的動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P-4BCD的外

接球的半徑R的取值范圍為.

27.正方體ABCD-AiBiGD］的棱長(zhǎng)為1,例N是正方體內(nèi)切球的直徑，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，

則兩?聞的最大值為.

28.現(xiàn)將一個(gè)體積為瞥的球體,通過(guò)切削的方法得出一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為.

29.已知正四面體48C。的四個(gè)頂點(diǎn)都在球心為。的球面上，點(diǎn)P為棱8c的中點(diǎn)，BC=6位，過(guò)

點(diǎn)P作球。的截面，則截面面積的最小值為.

四、多空題（本大題共1小題，共4.0分）

30.已知四棱柱4BCD-的底面ABCD是正方形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2,^ArAB=

AArAD=60°,則對(duì)角線4cl的長(zhǎng)為已面直線BBi與4cl所成角的余弦值為

【答案與解析】

1.答案：B

解析:

本題考查了三棱錐的外接球，考查了球的表面積公式，屬于中檔題.

根據(jù)題意求出球的半徑，然后由球的表面積公式求解即可.

解：取8的中點(diǎn)，連接AE、BE,作AM1BE與點(diǎn)

設(shè)三角形5C。的中心為。1，球的球心為。，連接A。、0。1、0D,

則由已知可得4B=AE=BE=2g,0透=誓

ME=AM=3,。避=囁

001=飛R2-0口

又4。2=M。/+(AM_00J2可得

_/?----------\2

R2

解得R2=不

球的表面積為4兀/?2=軌x￡=

2.答案：B

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，屬于較難題.

依題意先作出截面DMQN,再求出四棱錐P-4BCD的體積，不含頂點(diǎn)P的部分的體積BQN-DMC等

于三棱錐”-DCF的體積減去三棱錐Q-BNF的體積，再分別求出這兩個(gè)三棱錐的體積，即可得到

不含頂點(diǎn)P的部分的體積，含頂點(diǎn)P的部分，即可得答案.

解：設(shè)PB中點(diǎn)E,延長(zhǎng)。N、CB交于F,連M尸交PC于。,

則平面截四棱錐得到的截面為DMQN,

如圖:

由BF=BC,ME=|BC,

易得EQ=：BQ,所以Q為PB的三等分點(diǎn)，

四棱錐P-ABCD的體積V=|x2x2x2=|,

不含頂點(diǎn)P的部分的體積BQN-OMC等于三棱錐M-DCF的體積減去三棱錐Q-BNF的體積,

三棱錐M-OCF的體積VM-DCF=|x|x2x4xl=|,

三棱錐Q-8N尸的體積％的F=|x|x2xlx|=|,

所以不含頂點(diǎn)P的部分的體積為:|=m

則含頂點(diǎn)尸的部分為；與=學(xué)

則含頂點(diǎn)尸的部分與另一部分的體積比為甘：費(fèi)=7:5,

故選正

3.答案：。

解析:

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化

能力，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置，屬中檔

題.連接BG，ArD,可得EF//BC],ArD1BClt則1EF,再由

已知正方體可得。CJ_EF,得EF1平面&DC,貝必1C1EF,得到當(dāng)P

在線段C。上運(yùn)動(dòng)EI寸，有&P1EF,進(jìn)一步得到當(dāng)產(chǎn)與。重合時(shí)，ArP

有最小值為魚(yú)，當(dāng)尸與c重合時(shí)，4P有最大值為VT

解：如圖，連接BG，ArD,可得EF//BG，ArD1BCr,

ArD±EF,

又DC1.EF,可得EF_L平面&DC,則41cl.EF,

???當(dāng)P在線段CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有&PJLEF,

當(dāng)戶與。重合時(shí)，4止有最小值為魚(yú)，當(dāng)P與C重合時(shí)，&P有最大值為我.

二線段&P長(zhǎng)度的取值范圍是［低,遍］.

故選：D.

4.答案：C

解析：解：(1)當(dāng)平行于三棱錐一底面，過(guò)球心的截面如(1)圖所示；

(2)過(guò)三棱錐的一條棱和圓心所得截面如(2)圖所示；

(3)過(guò)三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)(不過(guò)棱)和球心所得截面如(3)圖所示；

(4)棱長(zhǎng)都相等的正三棱錐和球心不可能在同一個(gè)面上，所以(4)是錯(cuò)誤的.

故選：C.

正三棱錐的棱長(zhǎng)都相等，三棱錐的四個(gè)面到球心的距離應(yīng)相等，所以圓心不可能在三棱錐的面上

本題考查了三棱錐的截面圖，綜合了球的截面圖，增加了難度，考查學(xué)生的空間想象力.從點(diǎn)線面

入手，想一下有沒(méi)有可能.

5.答案：C

解析：

本題考查了數(shù)學(xué)文化，讀懂題干含義是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

由題意，4x=n-22,求出％=兀，再求出長(zhǎng)方體的一半的體積即可.

解：由題意，4x=7T-22,X=TI,

二旋轉(zhuǎn)體D的體積是lx4x4x7T=8兀，

故選C.

6.答案：A

解析:

本題考查簡(jiǎn)單多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體

積，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意，AB±BC，過(guò)點(diǎn)。向平面作垂線則DA>DA',所以%..c=^ABC-DA'^2■

BC-DA'=—.可得BC-CA=2,^BC-DA>2,

3

又由BC+AD>2y/BC-AD=2或，而AD+BC=2或，得BC=AO取等號(hào)，且4D_L平面ABC,由

所給數(shù)據(jù)可得計(jì)算三棱錐。-ABC的表面積.

解：由題意，.，1?3C，過(guò)點(diǎn)。向平面作垂線D4',則ZMZDA,

所以匕)-4BC=9s4ABe?=：x[xa?BC?DA'=曰'

可得BC?DA'=2,得BC-DA>2,

又由BC+AD>27BC-AD=2VL而4。+BC=2V2，

得BC=AD=VI取等號(hào)，且4。>L平面ABC,

所以，AC=BD=2,

二棱錐D—ABC的表面積S=SAABC+S4A8D+S^ACD+SABCD

=|xV2xV2+ixV2xV2+1x2xV2+ix2xV2=2+2V2.

故選A.

7.答案：C

解析：

本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、球的表面積、勾股定理及其逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

如圖所示，由4B2+AC2=BC2,則力B14C,所以該三棱柱底面是等腰直角三角形，將三棱柱補(bǔ)形

成長(zhǎng)方體，進(jìn)而得出結(jié)論.

解：由題意知該三棱柱為直三棱柱，

又因?yàn)?B=AC=戊,BC=2,

^\AB2+AC2=BC2,則4B14C,

所以該三棱柱底面是等腰直角三角形，將三棱柱補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，

則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是其外接球的直徑，所以外接球半徑R=||(V2)2+(V2)2+22=V2.

則三棱柱ABC-4181cl外接球的表面積S=4rrR28n,

故選c.

8.答案：D

解析：

本題考查二面角的求解及三垂線定理及其逆定理，同時(shí)考查棱錐的性質(zhì)，由已知結(jié)合三垂線定理,

作出二面角的平面角即可求解.

解：因?yàn)镻4=PB=PC=6,

所以尸在平面ABC上的射影為△ABC的外心，

又48=BC=4,4ABC=90°,

所以△ABC的外心為AC的中點(diǎn)。，

如下圖，

取AB的中點(diǎn)力，連接0。，PD,

因?yàn)?。，。分別為所在邊的中點(diǎn)，所以0D〃BC,

又N4BC=90。，所以。DJ.AB,

又P。J■平面ABC,

所以由三垂線定理及其逆定理知PDLAB,

所以NPD。為二面角P-AB-C的平面角,

由已知可得OD=\BC=2,P0=J62-(2V2)2=2\[7,PD=yJPO2+OD2=4位，

所以cos/PDO

PD4

即二面角P->48-C的余弦值為

4

故選。.

9.答案：A

解析：

本小題主要考查歸納推理、棱柱的幾何特征、數(shù)列的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)

化思想.屬于基礎(chǔ)題.

因?yàn)檫^(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對(duì)角面，過(guò)每一側(cè)棱與它不相鄰的--條側(cè)棱都能作對(duì)角面，可作(k-

3)個(gè)對(duì)角面，％條側(cè)棱可作3)個(gè)對(duì)角面，由于這些對(duì)角面是相互之間重復(fù)計(jì)算了，所以共有

k(k-3)+2個(gè)對(duì)角面，從而得出f(k+1)與/(￡)的關(guān)系.

解：因?yàn)檫^(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對(duì)角面，過(guò)每一側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能作對(duì)角面，

可作(k-3)個(gè)對(duì)角面，上條側(cè)棱可作k(k-3)個(gè)對(duì)角面，

由于這些對(duì)角面是相互之間重復(fù)計(jì)算了，

所以共有-3)+2個(gè)對(duì)角面，

所以可得f(k+1)-f(k)=(k+l)(/c+1-3)2-fc(/c-3)4-2=/c-1,

故/(k+1)=f(k)+/c-l.

故選A.

10.答案：B

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象

能力，是中檔題.

在A中，當(dāng)P,。分別是線段ZD】和&C的中點(diǎn)時(shí)，AB//PQ-,在B中，P在A處時(shí)，ABPQ的面積

為條P在Di處時(shí)，ABP。的面積為當(dāng)；在C中，假設(shè)直線PH】與AQ是共面直線，則AP與BiQ共面,

矛盾；在。中，由BC1平面PP'Q'Q得無(wú)論P(yáng),。運(yùn)動(dòng)到任何位置，均有BCJ.PQ.

解：在①中，當(dāng)P,。分別是線段4么和當(dāng)C的中點(diǎn)時(shí)，AB//PQ,故①正確：

在②中，P在A處時(shí)，的面積為土

尸在5處時(shí)，△BPQ的面積為ABCOi的面積，為日，

故ABPQ面積不是定值，故②錯(cuò)誤；

在③中，當(dāng)PA>0時(shí)，假設(shè)直線PBi與AQ是共面直線，

則AP與BiQ共面，矛盾，所以直線PB］與A。是異面直線，故③正確；

在④中，3c垂直于PQ在平面ABCQ內(nèi)的射影P'Q',如圖，

又因?yàn)锽CJ.QQ',BC1P'Q',QQ'nP'Q'=Q',QQ'u平面PP，Q，Q、P，Q，u平面PP，Q，Q,

所以8C1平面PP'Q'Q,

又PQu平面PP，Q，Q,

所以無(wú)論產(chǎn)，。運(yùn)動(dòng)到任何位置，均有BC1PQ,故④正確.

故選8.

11.答案：C

解析：

【試題解析】

本題考查立體幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用類似于函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理的方式，通過(guò)確

定角度的變化規(guī)律，找到變化過(guò)程中的臨界點(diǎn)，通過(guò)一上一下兩點(diǎn)的角度變化特點(diǎn)得到是否存在滿

足要求的點(diǎn)，屬于較難題.

將各個(gè)頂點(diǎn)分別與B的連線與直線4C'所成的角大于45。和小于45。兩類；從而可知當(dāng)點(diǎn)尸在

B'CICC',AC'上運(yùn)動(dòng)時(shí)都經(jīng)歷了從小于45。到大于45。的變化，從而得到結(jié)果.

解：將正方體各個(gè)頂點(diǎn)（除過(guò)B點(diǎn)）先分類，

第一類：頂點(diǎn)與8點(diǎn)的連線與直線AC，所成角大于45。，

第二類：頂點(diǎn)與B點(diǎn)的連線與直線4C'所成角小于45。，

顯然54、BB，、BC與4C'所成角的正切值為迎，

故大于45。，因此A、C、B'屬于第一類頂點(diǎn)用①標(biāo)注（如圖），

BD、BA'與AC'所成的角為90。，大于45。，

。、4'屬于第一類頂點(diǎn)，用①標(biāo)注（如圖），

BD'與4C'所成角大于45。，所以D'用①標(biāo)注（如圖），

BC'與AC'所成角的正切為立，小于45。，

2

所以C'用②標(biāo)注（如圖），

當(dāng)P在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)锽A、與AC'所成的角均小于45。，故不存在，

當(dāng)尸在B'C'上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP與兩端所成角一個(gè)大于45。，一個(gè)小于45。，故必然存在等于45。的點(diǎn),

以此類推，只有P在B'C'、CD'.CC'上分運(yùn)動(dòng)時(shí)，才會(huì)有45。角出現(xiàn).

綜上可知：滿足條件的點(diǎn)P有且只有3個(gè).

故選C.

12.答案：B

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷外接球的球心位置，得出外接球的半徑，從而得出球的表面積.

解：如圖，取AD的中點(diǎn)矩形ABCD的中心。，連接OP,OM,PM,

P

■■■PA=PD=4,AAPD=90°,

AD=4V2.PM=2V2，PMLAD,

又平面24。J■平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,

■:PMu平面PAD,

???PM1平面ABCD,

OMu平面ABCD,

故PM±OM,

又OM==2,

OP=7PM2+OM2=2后又。4=OB=OC=OD=<OM2+MD2=26，

.1.。為四棱錐P-4BCD的外接球球心，

???外接球的表面積S=4兀X(2百>=487r.

故選8.

13.答案:D

解析：

本題考查正方體外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件求出正方體的棱長(zhǎng)，得到其體對(duì)角線即為球的半徑.

解：設(shè)正方體48。。一月$傳1。1的棱長(zhǎng)為a,則&N=苧a,

因?yàn)镚N的垂直平分線交BiG于點(diǎn)F,

所以|NF|=G用.因?yàn)镚F=3,所以|當(dāng)?|=a-3.

則J(a—3)2+(1aj=3，

解得a=0(舍去)或a=4.

設(shè)正方體力BCD-AiBiQDi的外接球的半徑為R,

則2R=742+42+42=4百，解得R=2次.

故正方體48co-&為6。1的外接球的表面積為S=4TTR2=4兀X(2百1=487r.

故選。.

14.答案：C

解析：

本題考查該圓錐內(nèi)切球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，是中檔題.

由已知求得圓錐的底面半徑與高，再由等面積法求出該圓錐內(nèi)切球的半徑，再由球的表面積公式得

答案.

解：作出圓錐截面圖如圖，太

???母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面的夾角為%/\

圓錐底面半徑與高均為或.

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則利用軸截面，/「\

AB

根據(jù)等面積可得；x2V2xV2=ix(2+2+2V2)r,

r=2—y/2,

二該圓錐內(nèi)切球的表面積為4兀x(2-V2)2=4(2-V2)2TT.

故選C.

15.答案：ABC

解析：

本題主要考查了簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題.

逐個(gè)判斷即可.

解：4直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故A錯(cuò)誤；

員若底面不是長(zhǎng)方形，則直平行六面體不是長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)誤；

C.若/垂直于a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則/不一定與a垂直，故C錯(cuò)誤；

。.若已知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線，否則四點(diǎn)共面，故。正確.

故選ABC.

16.答案：167r

解析：

本題考查四面體ABCQ的外接球的表面積，關(guān)鍵是利用四面體及球的結(jié)構(gòu)特征得出球的半徑.

解：如圖，由題意球心。在平面BCZ)內(nèi)的投影為等邊三角形BCD的中心E,

G為AB中點(diǎn)，連接。瓜。4、OB、OG、BE,

0A=OB=R,則。GLAB,

又AB工平面BCD,OE，平面BCD,

則BG1BE,OE1BE,

所以四邊形G8E。為矩形，

則。E=BG=^AB=1,BE=I加一GJ_后

所以在直角三角形OEB中，R=0B=J12+(V3)2=2-

則球。的表面積為ITTR2167r.

故答案為167r.

17.答案：3

解析:

本題主要考查了直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，外接球表面積求法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

根據(jù)直三棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得，外接球的球心。在三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)上，根據(jù)三棱柱

的外接球的表面積為管，得到半徑上然后結(jié)合勾股定理即可求解.

解：由題意，三棱柱外接球的球心0在其上下底面中心連線的中點(diǎn)上,

其結(jié)構(gòu)圖如下：

易知B01=-BD=-x2x—=—)

13323

又三棱柱的外接球的表面積s4TTR2=,即R2=工,

在RtdBOOi中，由勾股定理得BO?=B。/+。。/,

即R2=梟=5+。0]2,解得00]=a

???該三棱柱的高為01。2=2001=2x|=3,

故答案為3.

4

案

容-

8.3

解析：

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查多面體外接球體積的求法，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.由題意畫(huà)出圖形，設(shè)=把棱錐體積用含有x的代數(shù)式表示，然后

利用二次函數(shù)求最值.

解：如圖，

由外接球的表面積為16兀，可得外接球的半徑為2,則48=4.

設(shè)AD=x,則80=V16-%2,

又8。邊上的高CH=1,

.?.當(dāng)CH1平面時(shí)，棱錐4-BCD體積最大，

此時(shí)V=-x-x-V16—x2=-V—x4+16x2.

326

???當(dāng)/=8時(shí)，V有最大值為，

故答案為

19.答案：：加

解析：

本題主要考查三棱錐的外接球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

關(guān)鍵是分析出這個(gè)三棱錐A-BCD在有個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體中的位置.

解：在三角形ABD中，BO=y/AB2+AD2-2AB-BD-cos450=1,

所以三角形48。是以/4DB為直角的等腰直角三角形，

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BC。，所以三角形8CQ是以NDBC為直角的等腰直角三角形,

結(jié)合AC=6，可得可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，

故答案為37r.

20.答案：V3

解析：

本題考查了球與多面體的組合體，由己知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等且互相垂直，則它的外接球與

以該棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的正方體的外接球相同，即可求出外接球半徑.

解：依題意，三棱錐P-4BC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩相等且互相垂直，

所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，

因?yàn)檎襟w的對(duì)角線的長(zhǎng)+22+22=2>/3,

所以球的直徑是26，球的半徑為小,

則此三棱錐外接球的半徑為舊.

故答案為百.

21.答案：出

3

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積和利用基本不等

式求最值.

利用正四棱柱與圓錐的結(jié)構(gòu)特征，作軸截圖，解三角形得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為。與高〃的數(shù)量關(guān)系,

再利用柱體的體積公式，結(jié)合利用基本不等式求最值計(jì)算得結(jié)論.

解：過(guò)正四棱柱的對(duì)角面作圓錐P0的軸截面如下圖：

設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a（o<a<l），高為h,

則A。=0C=℃=ya,OOi=CCi=h.

因?yàn)?P01G-AP0F,

所以鬻^二卷，即&=工，解得h=2—&a，

P°1P02-h2

因此正四棱柱體積U=a2h=a2（2—V2a）

=4V2-a）

<4位隹h空T=至，

一[327

當(dāng)且僅當(dāng)3=近一a，即。=延時(shí)，等號(hào)成立.

23

因此正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2.

3

故答案為2.

3

22.答案：①②④

解析：

本題考查了由三視圖還原幾何體，屬于中檔題.

通過(guò)三視圖還原出幾何體，進(jìn)行求解判斷即可.

解：由題目中的三視圖可還原幾何體如下：

E

下底面為4寬2的矩形，EOL平面A8CD,ED=2,

??.①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，正確；

②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為EB=2后，正確；

③四個(gè)側(cè)面不存在全等的直角三角形，故錯(cuò)誤；

④外接球的球心為仍中點(diǎn)，半徑廠=聲，表面積為24兀，正確.

故正確的描述有①②④，

故答案為①②④.

23.答案：隨兀

3

解析:

本題考查空間想象能力，勾股定理，直角三角形與圓的關(guān)系，球體體積的求法，屬于中檔題.畫(huà)出

示意圖求出R,進(jìn)而求解.

解：由題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示,

VAB=1,BC=V3,AB1BC,

AC=yjAB2+BC2=2

1

r=-AC=1

2

=V2

外接球體積了=￡兀/?3=這

33

故答案為隨7r.

3

24.答案:V3,1

解析：

本題考查三棱錐外接球問(wèn)題，屬于中檔題.

由三線垂直聯(lián)想正方體，利用外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，容易得解，球心到側(cè)面PAB的距離相當(dāng)于

正方體的中心到側(cè)面的距離.

解：由PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,

可知該三棱錐為正方體的一角，其外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=2百，

R=V3,球心到側(cè)面PAB的距離相當(dāng)于正方體的中心到側(cè)面的距離，所以球心到

側(cè)面048的距離為2=1.

故答案為V5,l.

25.答案：297r

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，及球的內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出球。的半徑，是解

答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

由已知中P,A,B,C是球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，球的直徑等于以PA,PB,

PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，我們易求出球。的半徑，進(jìn)而求出球。的表面積.

解：因?yàn)锳,B,C是球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，

則球的直徑等于以PA,PB,PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，

且P4=2m,PB—3m,PC-4m,2R=V22+32+42-V29m，

則球。的表面積Sl^rR2，

故答案為297r.

26.答案：倬有

解析：

本題考查球與幾何體的關(guān)系，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.畫(huà)出圖形，設(shè)P-ABC。的外

222

接球的球心為G,說(shuō)明GP=GA=R，設(shè)0針=x,OrG=y,求出OG=l-y,推出R=x+y,

然后推出R與y的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的值域求出R的范圍即可.

解：如圖,

設(shè)P-ABCD的外接球的球心為G,

A,B,C,。在球面上，二球心在正方體上下底面中心連線01。上，點(diǎn)P也在

球上，

???GP=GA=R

???棱長(zhǎng)為1,?，.0A=乎，設(shè)。1P=%,OXG=y,

則OG=1-y,在Rt^GOiP中，有R2=%2+y2①,

在Rt△G04中，R2=(號(hào))2+(l-y)2…②，將①代入②，得x2=

3

Fl

_2y,

v0<x<—,

-2

1

E

3

0

,；?/?2=x2+y2=

-2y+y2=。-1）2+

1

E

9

0

3

]>

于是R的最小值為

3

B

.R的取值范圍是：生小

故答案為生小

27.答案：j

解析：

本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、正方體及其內(nèi)切球的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

由題意，作出圖形，連接尸0,可得麗?麗=（而+兩）?（而+而）=對(duì)2一[,當(dāng)?同?取得最

大嘴時(shí)，即可得出麗而取得最大值.

解：由題意，作出幾何圖形，連