統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講基本初等函數(shù)函數(shù)與方程理

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)——對比學(xué)習(xí)，類比應(yīng)用1．指數(shù)與對數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式(1)am·an＝________；(2)(am)n＝________；(3)loga(MN)＝________；(4)logaMN(5)logaMn＝________；(6)alog(7)logaN＝________．注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種狀況，當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為________，當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為________．例1(1)[2024·陜西師范高校附屬中學(xué)模擬]已知a＝log23，b＝log34，c＝eq\f(3,2)，則()A．c<b<aB．b<c<aC．c<a<bD．a(chǎn)<c<b(2)[2024·江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考]草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)整免疫功能，增加機(jī)體免疫力．草莓味甘、性涼，有潤肺生津、健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的寵愛．依據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為4個(gè)等級(jí)，其等級(jí)x(x＝1，2，3，4)與其對應(yīng)等級(jí)的市場銷售單價(jià)y(單位：元/千克)近似滿意函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝eax＋b.若花同樣的錢買到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)為24元/千克，則3級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)最接近(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,4)≈1.59)()A．30.24元/千克B．33.84元/千克C．38.16元/千克D．42.64元/千克(3)[2024·陜西省渭南市高三檢測]已知函數(shù)f(x)滿意：①定義域?yàn)镽，②f(x＋1)為偶函數(shù)，③f(x＋2)為奇函數(shù)，④對隨意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，則f(－eq\f(7,3))，f(eq\f(2,3))，f(eq\f(11,3))的大小關(guān)系是()A．f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(2,3))<f(eq\f(11,3))B．f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(11,3))<f(eq\f(2,3))C．f(eq\f(11,3))<f(－eq\f(7,3))<f(eq\f(2,3))D．f(eq\f(11,3))<f(eq\f(2,3))<f(－eq\f(7,3))歸納總結(jié)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要留意分a>1和0<a<1兩種狀況探討：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)；(2)由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，其性質(zhì)的探討往往通過換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；(3)對于冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)要留意α>0和α<0兩種狀況的不同．對點(diǎn)訓(xùn)練1.[2024·內(nèi)蒙古赤峰市八校高三聯(lián)考]納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則(1614)和納皮爾算籌(1617)，而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)表，可以利用對數(shù)表查詢出隨意對數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．3.048分鐘B．4.048分鐘C．5.048分鐘D．6.048分鐘2．[2024·陜西省咸陽市高三下學(xué)期五模]已知a＝log2eq\f(1,3)，b＝2eq\s\up6(\f(1,3))，c＝(eq\f(1,3))2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<c<aD．c<b<a3．[2024·北京卷]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，則對隨意實(shí)數(shù)x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)——“零點(diǎn)”“實(shí)根”相互轉(zhuǎn)化1．函數(shù)的零點(diǎn)及其方程根的關(guān)系對于函數(shù)f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．零點(diǎn)存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿起伏的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．角度1確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或其存在范圍例2(1)[2024·陜西省咸陽市高三檢測]函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1（x≤0）,x－2＋lnx（x>0）))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．(2)[2024·河南省高三上學(xué)期考試]已知函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋a在區(qū)間(2，3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．歸納總結(jié)1．推斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法(1)解方程：當(dāng)函數(shù)對應(yīng)的方程易求解時(shí)，可通過解方程推斷方程是否有根落在給定區(qū)間上；(2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行推斷；(3)畫出函數(shù)圖象，通過視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來推斷．2．推斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)干脆求零點(diǎn)：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)利用零點(diǎn)存在性定理：利用該定理還必需結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能干脆求解或畫出圖形時(shí)，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫出圖象的函數(shù)交點(diǎn)問題．角度2依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值或范圍例3函數(shù)f(x)＝2x－3x－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)aA．(7，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪D．(－1，7)歸納總結(jié)利用函數(shù)零點(diǎn)的狀況求參數(shù)的范圍的3種方法對點(diǎn)訓(xùn)練1.[2024·安徽安慶一中高三期末]函數(shù)f(x)＝x＋log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．13，12B．12．[2024·黑龍江哈師大附中三模]已知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿意x3－ax－1＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(－∞，－33C．(－∞，2]D．(－∞，33考點(diǎn)三函數(shù)模型的應(yīng)用——提取信息，合理建模應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序讀題文字語言?建模數(shù)學(xué)語言?求解數(shù)學(xué)應(yīng)用例4[2024·河南省駐馬店市高考三模]水霧噴頭布置的基本原則是：疼惜對象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)依據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、疼惜面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q(單位：L/min)計(jì)算公式為q＝Keq\r(10P)和疼惜對象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為N＝eq\f(S·W,q)計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力(單位：MPa)，K為水霧噴頭的流量系數(shù)(其值由噴頭制造商供應(yīng))，S為疼惜對象的疼惜面積，W為疼惜對象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度(單位：L/min·m2).水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧干脆噴射和完全覆蓋疼惜對象，如不能滿意要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，疼惜對象的疼惜面積S為14m2，疼惜對象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為20L/min·m2時(shí)，疼惜對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3.5)≈1.87)()A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)歸納總結(jié)解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)細(xì)致讀題，縝密審題，精確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要找尋它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解．對點(diǎn)訓(xùn)練[2024·全國甲卷]青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力狀況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿意L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程考點(diǎn)一1．（1）am＋n（2）amn（3）logaM＋logaN（4）logaM－logaN（5）nlogaM（6）N（7）eq\f(logbN,logba)2．增函數(shù)減函數(shù)[例1]解析：（1）因?yàn)?2>23，則3>2eq\s\up6(\f(3,2))，故log23>log22eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(3,2)，所以a>c；因?yàn)?2<33，則4<3eq\s\up6(\f(3,2))，故log34<log33eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(3,2)，所以b<c；則有b<c<a.故選B.（2）由題可知eq\f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq\r(3,2)，由ea＋b＝24，則e3a＋b＝e2a·ea＋b＝24e2a＝24·eq\r(3,4)≈38.16.（3）∵f（x＋1）在R上為偶函數(shù)，∴f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x）關(guān)于x＝1對稱．∵f（x＋2）在R上為奇函數(shù)，∴f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，∴f（x）關(guān)于（2，0）對稱，且f（2）＝0，∵f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x）＝f（－x＋2）（將上式中的x換成x－1）①又∵f（x＋2）＋f（－x＋2）＝0，∴f（－x＋2）＝－f（x＋2）②∴由①②得：f（x）＝－f（x＋2）③∴由③得：f（x＋2）＝－f（x＋4）④（將③中的x換成x＋2）∴由③④得：f（x）＝f（x＋4），∴f（x）的一個(gè)周期為T＝4，且f（0）＝0，f（x）關(guān)于（0，0）對稱，又∵對隨意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有（x1－x2）（f（x1）－f（x2））>0，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．∴f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的草圖為：∴f（－eq\f(7,3)）＝f（－eq\f(7,3)＋4）＝f（eq\f(5,3)）＝f（2－eq\f(5,3)）＝f（eq\f(1,3)），f（eq\f(11,3)）＝f（eq\f(11,3)－4）＝f（－eq\f(1,3)），∴如圖所示：f（－eq\f(1,3)）<f（eq\f(1,3)）<f（eq\f(2,3)），即f（eq\f(11,3)）<f（－eq\f(7,3)）<f（eq\f(2,3)），故選C.答案：（1）B（2）C（3）C對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：依題意，T1＝70，T0＝－10，T＝10，代入公式得：t＝4[log3（T1－T0）－log3（T－T0）]＝4（log380－log320）＝4log3eq\f(80,20)＝4log34＝eq\f(4lg4,lg3)＝eq\f(8lg2,lg3)≈eq\f(8×0.301,0.477)≈5.048（分鐘），故選C.答案：C2．解析：因?yàn)閍＝log2eq\f(1,3)<0，b＝2eq\s\up6(\f(1,3))>1，0<c＝（eq\f(1,3)）2<1，所以a<c<b，故選B.答案：B3．解析：由f（x）＝eq\f(1,1＋2x)，得f（－x）＝eq\f(1,1＋2－x)＝eq\f(1,1＋\f(1,2x))＝eq\f(1,\f(2x＋1,2x))＝eq\f(2x,1＋2x)，所以f（－x）＋f（x）＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1.故選C.答案：C考點(diǎn)二[例2]解析：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，x2－1＝0，解得：x＝－1，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝x－2＋lnx單調(diào)遞增，并且f（1）＝1－2＋ln1＝－1<0，f（2）＝2－2＋ln2>0，f（1）f（2）<0，所以在區(qū)間（1，2）內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．（2）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在（2，3）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（2）·f（3）<0，即a·（a＋1）<0，解得－1<a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－1，0）.答案：（1）2（2）（－1，0）[例3]解析：∵y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（x）＝2x－eq\f(3,x)－a在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∵y＝f（x）的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）內(nèi)，∴只需f（1）·f（3）<0即可，即（－1－a）·（7－a）<0，解得－1<a<7.故選D.答案：D對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：f（x）＝x＋log2x為（0，＋∞）上的遞增函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)＋log2eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－log23<eq\f(1,3)－log22＝－eq\f(2,3)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋log2eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2,3)＋log2eq\f(2,3)＝eq\f(5,3)－log23＝eq\f(1,3)（5－3log23）＝eq\f(1,3)（log232－log227）>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(3,4)＋log2eq\f(3,4)＝－eq\f(5,4)＋log23＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋4log23))＝eq\f(1,4)（－log232＋log281）>0，則函數(shù)f（x）＝x＋log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，故選B.答案：B2．解析：x＝0明顯不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0，因此只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿意x3－ax－1＝0等價(jià)于方程a＝x2－eq\f(1,x)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令f（x）＝x2－eq\f(1,x)，∴f′（x）＝2x＋eq\f(1,x2)，令f′（x0）＝2x0＋eq\f(1,x02)＝0?x0＝eq\f(1,－\r(3,2))，故可知：當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\