專題02求最值中的幾何模型-2024年中考數學答題技巧與模板構建（解析版）

專題02求最值中的幾何模型題型解讀｜模型構建｜通關試練模型01將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中主要考查轉化與化歸等的數學思想，該題型綜合考查學生的理解和數形結合能力具有一定的難度，也是學生感覺有難度的題型.在解決幾何最值問題主要依據是：①將軍飲馬作對稱點；②兩點之間，線段最短；=3\*GB3③垂線段最短，涉及的基本知識點還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識.模型02建橋選址模型建橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時若有特殊角，通常采用構造直角三角形利用勾股定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問題中的應用，涉及到的主要知識點有矩形的性質、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑.模型03胡不歸模型胡不歸PA+k·PB”型的最值問題：當k等于1時，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍飲馬”問題模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理.當k不等于1時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖象的不同來分類，一般分為兩類研究.即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中點P在直線上運動的類型通常為“胡不歸”問題.模型01將軍飲馬模型考｜向｜預｜測將軍飲馬模型問題該題型主要以選擇、填空形式出現，綜合性大題中的其中一問，難度系數較大，在各類考試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為數學模型，把兩條線段的和轉化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移第二步：同側做對稱點變異側，異側直接連線第三步：結合兩點之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等?？贾R點第四步：利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型（1）點A、B在直線m兩側兩點連線，線段最短例1．（2023·四川）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為．【答案】6【詳解】解：連接BE，與AD交于點M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．（2）點A、B在直線同側例2.（2022·安徽）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．模型02建橋選址模型考｜向｜預｜測建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱－－－最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質，要利用“兩點之間線段最短”等，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化．答｜題｜技｜巧第一步：觀察點或圖形的變化規(guī)律，根據圖形的變化規(guī)律求出已知關鍵點的坐標；第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點變的循環(huán)規(guī)律或點運動的循環(huán)規(guī)律，點的橫、縱坐標的變化規(guī)律等）第三步：周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現規(guī)律，根據最后的變化次數或者運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關鍵點的橫縱坐標相等；第四步：利用有理數的運算解題（1）兩個點都在直線外側：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.例1．（2022·湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．求PD+PQ+QE的最小值為．【答案】4．【詳解】如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，故的最小值為4．（2）一個點在內側，一個點在外側：輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.例2．（2023·山東）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點，則的周長的最小值為_________．【答案】【詳解】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關于直線m對稱，設直線m交AB于D，∴當P和D重合時，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是6＋4＝10．故答案為：10．（3）如圖3，兩個點都在內側：輔助線：過點A、B作關于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.例3．（2023.浙江）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點P、Q分別是OA、OB上動點，則MQ+PQ+NP的最小值是．【答案】4【詳解】解：如圖，作點N關于OA的對稱點N′，則NP＝N′P，作點M關于OB的對稱點M′，則MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，當N′M′在同一條直線上時取最小值，連接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°則∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射線ON'與射線ON關于OA對稱，由對稱的性質可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射線OM'與射線OM關于OB對稱，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，當N'、P、Q、M'四點共線時，MQ+PQ+NP最小，則∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直O(jiān)M'的延長線交于點E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半可知OE＝2，則EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，則N′M＝＝＝4．故答案為：4．模型03胡不歸模型考｜向｜預｜測胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握.在解決胡不歸問題主要依據是：點到線的距離垂線段最短.答｜題｜技｜巧第一步：構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型；第二步：借助三角函數，構造銳角α，將另一個系數也化為1；第三步：利用“垂線段最短”原理構造最短距離；第四步：數形結合解題例1．（2023·江蘇）如圖，中，，，，P為邊上一動點，則的最小值等于．【答案】【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，∵，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴，∴，∴，∴當點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE，∵，∴，故答案為：．1．（2023·江蘇揚州）如圖所示，軍官從軍營C出發(fā)先到河邊（河流用表示）飲馬，再去同側的D地開會，應該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎?下列給出了四個圖形，你認為符合要求的圖形是（

）A．B． C． D．【答案】D【詳解】解：由選項D中圖可知：作點關于直線的對稱點，連接交于點，由對稱性可知，，，當、、三點共線時，的距離最短，故選：D2．（2023.浙江）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF=.【答案】∠ECF＝30o【詳解】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.故答案為30°3．（2022·安徽）如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點M，在OA上找一點N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為．【答案】5【詳解】作點P關于OB的對稱點C，作P點關于AO的對稱點D，連接CD交OA于N，交OB于M，連接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN，∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴當C、M、N、D點共線時，△PMN的周長最小，∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OP，∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周長最小值為5，故答案為：5．4．（2023·廣東）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點、分別是和上的動點，則的最小值是．【答案】【詳解】解：如圖，作Q關于AP的對稱點O，則PQ=PO，所以O、P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，∵當CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值為，故答案為．5．（2023·江蘇）如圖，高速公路的同一側有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為．

【答案】【詳解】解：如圖所示：作A點關于直線的對稱點，再連接，交直線于點P，

則此時最小，過點B作交延長線于點E，∵，，．∴，，∴，，在中，，則的最小值為．故答案為：．6．（2023·浙江）已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermatpoint）．已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，過點D作DM⊥EF于點M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，則PM=，故DP=1﹣，則PD+PE+PF=2×+1﹣=．故選B．7．（2023·浙江）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：延長，過點B作交于點P，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，則，則，同理可得：，∴，∴當點E、P、B在同一條直線上時，的值最小，∵，∴．故選：A．

8．（2023·四川）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】解：過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當A，D，F在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．9．（2023·湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線同旁有兩個定點A、B，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作A點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】(1)(2)，圖和理由見解析【詳解】（1）解：如圖2所示，作點A關于的對稱點，連接交于P，此時的值最?。B接，由勾股定理得，，∵是的中點，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故答案為：；（2）解：如圖3，作點C關于直線的對稱點，作于N，交于M，連接，則，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為．10．（2023·陜西）在學習對稱的知識點時，我們認識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．問題提出：(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上確定一點P，并連接與，使的值最?。?/p>

問題探究：(2)如圖2所示，正方形的邊長為2，E為的中點，P是上一動點．連接和，則的最小值是___________；

問題解決：(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內一點，連接后測得米，現當地政府欲在三角形空地中修一個三角形花壇，點分別是邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．

【答案】(1)見解析(2)(3)【詳解】（1）解：如圖所示，當P點在如圖所示的位置時，的值最?。?/p>

（2）解：如下圖所示，

∵四邊形是正方形，∴垂直平分，∴，由題意易得：，當D、P、E共線時，在中，根據勾股定理得，．（3）解：如下圖所示，分別作點P關于，的對稱點，連接，交，于點，連接，此時周長的最小值等于．

由軸對稱性質可得，，∴，在中，即周長的最小值等于．1．（2023·山東）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】解：連接，設交于點，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴當取得最小值時，取得最小值，∴當時，取得最小值，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴此時是直角三角形，且是斜邊，∵,∴，∴的對角線的最小值是，故選：A．2．（2023·上虞市）如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【詳解】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．3．（2023·山東）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，∴當F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．4．（2023·四川）如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關于BD對稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中點，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故選B．5．（2023·湖北）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為．【答案】18【詳解】解：由翻折的性質可知，AM=AC，PM=PC，∴M點為AB上一個固定點，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當P、B、C三點共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點與D點重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DS⊥AB于S點，DT⊥AC延長線于T點，AQ⊥BC延長線于Q點，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．6．（2023·北京）如圖，是內一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為.

【答案】3【詳解】如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．

∵點P關于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．7．（2023·廣東）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當點D，P，E三點共線且DE⊥AB時,PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.8．（2023·廣東）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，作，連接，過B點作的延長線與G點，，且，，，．，∴當B、E、F三點共線時，，此時的值最小，為．，．又，，∴四邊形是矩形，，，，．故答案為：9．（2023·內蒙古）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等邊三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據垂線段最短，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案為：8．10．（2023·浙江）如圖，河的兩岸有，兩個水文觀測點，為方便聯絡，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現測得，兩點到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

【答案】18【詳解】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，過點A作交的延長線于點C，則且，于是為平行四邊形，故，

當時，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值為：（米）故答案為：18．11．（2023·廣東）如圖所示，已知O為坐標原點，矩形（點A與坐標原點重合）的頂點D、B分別在x軸、y軸上，且點C的坐標為，連接，將沿直線翻折至，交于點E．

(1)求點坐標．(2)試在x軸上找點P，使的長度最短，請求出這個最短距離．【答案】(1)；(2)的長度的最短距離為．【詳解】（1）點的坐標為，，，連接，與交于點，過作于點，

由折疊知，，，，，，，設，則，，即，解得，，即，，；（2）作點關于軸的對稱點，連接，與軸交于點，則的值最小，

，，故的長度的最短距離為．12．（2023·吉林）數學興趣活動課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點在邊所在的直線上移動，根據“直線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現的最小值是____________．（2）為進一步運用該結論，在（1）的條件下，小致發(fā)現，當最短時，如圖(2)，在中，作平分交于點點分別是邊上的動點，連結小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結易證，從而將轉化為轉化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問題：如圖(3)，在中，，點是邊上的動點，連結將線段繞點順時針旋轉，得到線段連結，求線段的最小值．【答案】（